SSC গণিত MCQ কুইজ ৯ম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

Explanation: 

আমরা জানি, $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\cot 45^\circ = 1$

$\therefore \cos 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \cot 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Explanation: 

আমরা জানি, $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $= \sin\theta\sqrt{\sec^2\theta} = \sin\theta \cdot \sec\theta = \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\cos\theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\therefore \theta = 60^\circ$

এখন, $\cot\theta = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Explanation: 

i নম্বর: $\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ \implies \angle ACB = 30^\circ$ (সঠিক)।

ii নম্বর: সমকোণী ত্রিভুজে $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$।

$\angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$।

$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ (সঠিক)।

iii নম্বর: $A + C = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

$\sin(A + C) = \sin 90^\circ = 1 \neq 0$ (সঠিক নয়)।

অতএব, i ও ii সঠিক।

Explanation: 

$\cos^4\theta - \sin^4\theta$

$= (\cos^2\theta)^2 - (\sin^2\theta)^2$

$= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$= 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ [যেহেতু $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$]

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\sin\theta = \frac{1}{2} \implies \sin\theta = \sin 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$

$\therefore \tan\theta = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\tan\theta = 1$

আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$

$\therefore \theta = 45^\circ$

এখন, $\text{cosec}\theta = \text{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}$

Explanation: 

i নম্বর: $\text{cosec} 0^\circ = \frac{1}{\sin 0^\circ} = \frac{1}{0}$ (অসংজ্ঞায়িত) এবং $\cot 0^\circ = \frac{\cos 0^\circ}{\sin 0^\circ} = \frac{1}{0}$ (অসংজ্ঞায়িত) (সঠিক)।

ii নম্বর: কোণের মান $0^\circ$ হলে কোণ সৃষ্টিকারী আদি বাহু এবং প্রান্তীয় বাহু একই রশ্মিতে অবস্থান করে (সঠিক)।

iii নম্বর: $\sec 0^\circ = 1$ এবং $\tan 0^\circ = 0$, যা দুটিই সুনির্দিষ্ট ও সংজ্ঞায়িত মান (সঠিক)।

অতএব, i, ii ও iii সঠিক।

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

আমরা জানি, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies A = 45^\circ$

$\therefore \sec A = \sec 45^\circ = \sqrt{2}$

Explanation: 

$\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta)^2 - (\sin^2\theta)^2$

$= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$= 1 \times 2 = 2$ [যেহেতু $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$]

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\cot\theta = \sqrt{3} \implies \cot\theta = \cot 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$

i নম্বর: $\tan\theta = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (সঠিক)।

ii নম্বর: বামপক্ষ $= \sec\theta = \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ডানপক্ষ $= 2\tan\theta = 2 \times \tan 30^\circ = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\therefore \sec\theta = 2\tan\theta$ (সঠিক)।

iii নম্বর: বামপক্ষ $= 4\sin\theta = 4\sin 30^\circ = 4 \times \frac{1}{2} = 2$

ডানপক্ষ $= \frac{1}{\cos 2\theta} = \frac{1}{\cos(2 \times 30^\circ)} = \frac{1}{\cos 60^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$\therefore 4\sin\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$ (সঠিক)।

অতএব, i, ii ও iii তিনটেই সঠিক।

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\cos^2\theta - \sin^2\theta = 1$

বা, $\cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 1$

বা, $\cos^2\theta - 1 + \cos^2\theta = 1$

বা, $2\cos^2\theta = 2$

বা, $\cos^2\theta = 1$

বা, $\cos\theta = 1$

আমরা জানি, $\cos 0^\circ = 1$

$\therefore \theta = 0^\circ$

Explanation: 

$\cot(\theta - 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\cot(\theta - 30^\circ) = \cot 60^\circ$

বা, $\theta - 30^\circ = 60^\circ$

বা, $\theta = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

$\therefore \sin\theta = \sin 90^\circ = 1$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $2\cos^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0$

বা, $2(1 - \sin^2\theta) + 3\sin\theta - 3 = 0$ [যেহেতু $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$]

বা, $2 - 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0$

বা, $-2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 1 = 0$

বা, $2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0$ [$-1$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $2\sin^2\theta - 2\sin\theta - \sin\theta + 1 = 0$ [মিডল টার্ম করে]

বা, $2\sin\theta(\sin\theta - 1) - 1(\sin\theta - 1) = 0$

বা, $(\sin\theta - 1)(2\sin\theta - 1) = 0$ হয়,

$\sin\theta - 1 = 0 \implies \sin\theta = 1 \implies \sin\theta = \sin 90^\circ \implies \theta = 90^\circ$

(কিন্তু শর্তে বলা আছে $0^\circ \le \theta < 90^\circ$, তাই $\theta = 90^\circ$ গ্রহণযোগ্য নয়।)

অথবা,

$2\sin\theta - 1 = 0 \implies 2\sin\theta = 1 \implies \sin\theta = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

Explanation: 

$\tan(3A) = \sqrt{3} = \tan 60^\circ$

বা, $3A = 60^\circ$

বা, $A = \frac{60^\circ}{3} = 20^\circ$

Explanation: 

আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ এবং $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$\frac{1 - (\sqrt{3})^2}{1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \frac{1 - 3}{1 + \frac{3}{4}} + 2 \left(\frac{3}{4}\right)$

$= \frac{-2}{\frac{7}{4}} + \frac{3}{2}$

$= -2 \times \frac{4}{7} + \frac{3}{2} = -\frac{8}{7} + \frac{3}{2}$

$= \frac{-16 + 21}{14} = \frac{5}{14}$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $\tan\theta = \sqrt{3} \implies \tan\theta = \tan 60^\circ \implies \theta = 60^\circ$

$\therefore \sec\theta = \sec 60^\circ = 2$

Explanation: 

আমরা জানি, $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{y}{x}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - y^2}}{x}$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $A = 30^\circ$

আমরা জানি, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই:

$4\cos^3(30^\circ) - 3\cos(30^\circ)$

$= 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

Explanation: 

$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{\sec^2\theta}} = \frac{1}{\sec\theta} = \cos\theta$