SSC গণিত MCQ কুইজ ৩য় অধ্যায় বীজগাণিতিক রাশি

Explanation: 

দেওয়া আছে, $a^2 + \frac{1}{a^2} = 11$

i নম্বর উক্তি যাচাই:

আমরা জানি, $a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$

$\implies 11 = \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 + 2$

$\implies \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 11 - 2 = 9$

$\implies a - \frac{1}{a} = \sqrt{9} = 3$

অতএব, i নম্বর উক্তিটি সঠিক।

ii নম্বর উক্তি যাচাই:

আমরা জানি, $\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$

$= 11 + 2 = 13$

অতএব, ii নম্বর উক্তিটি সঠিক।

iii নম্বর উক্তি যাচাই:

$a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left(a - \frac{1}{a}\right)$

$= (3)^3 + 3(3)$

$= 27 + 9 = 36 \neq 18$

অতএব, iii নম্বর উক্তিটি ভুল।

সুতরাং, i ও ii উক্তি দুটি সঠিক।

Explanation: 

$10\%$ লাভে,

বিক্রয়মূল্য $110$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $100$ টাকা

$\therefore$ বিক্রয়মূল্য $1$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $\frac{100}{110}$ টাকা

$\therefore$ বিক্রয়মূল্য $220$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $\frac{100 \times 220}{110} = 200$ টাকা

Explanation: 

দেওয়া আছে,

$\frac{1}{a} = 3 + 2\sqrt{2}$

$a = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$

লব ও হরকে $(3 - 2\sqrt{2})$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$a = \frac{1 \times (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}$

$a = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$

$a = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8}$

$a = 3 - 2\sqrt{2}$

প্রদত্ত রাশি $= a - \frac{1}{a} = (3 - 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2})$

$a - \frac{1}{a} = 3 - 2\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2}$

$a - \frac{1}{a} = -4\sqrt{2}$

Explanation: 

প্রদত্ত রাশি $= 9x^2 + 30x$

$= (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 5$

আমরা জানি, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

এখানে রাশিটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে $b^2 = 5^2 = 25$ যোগ করতে হবে।

অতএব, রাশিটির সাথে $25$ যোগ করলে তা $(3x + 5)^2$ অর্থাৎ পূর্ণবর্গ হবে।

Explanation: 

আমরা জানি, $4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2$

বা, $2xy = \frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{2}$

বা, $2xy = \frac{(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{5})^2}{2}$

বা, $2xy = \frac{13 - 5}{2}$

বা, $2xy = \frac{8}{2} = 4$

Explanation: 

এখানে, আসল ($P$) $= 400$ টাকা

মুনাফা-আসল ($A$) $= 520$ টাকা

$\therefore$ মুনাফা ($I$) $= 520 - 400 = 120$ টাকা

মুনাফার হার ($r$) $= 5\% = \frac{5}{100}$

আমরা জানি, $I = Pnr$

$\implies n = \frac{I}{Pr}$

$= \frac{120}{400 \times \frac{5}{100}}$

$= \frac{120}{20} = 6$ বছর

Explanation: 

দেওয়া আছে, $a + b = \sqrt{16} = 4$ এবং $ab = 1$

$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$

বা, $(a - b)^2 = (4)^2 - 4(1)$

বা, $(a - b)^2 = 16 - 4 = 12$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $p + \frac{1}{p} = 2$

i নম্বর উক্তি যাচাই:

$p + \frac{1}{p} = 2$

$\implies \frac{p^2 + 1}{p} = 2$

$\implies p^2 + 1 = 2p$

$\implies p^2 - 2p = -1$

অতএব, i নম্বর উক্তিটি সঠিক।

ii নম্বর উক্তি যাচাই:

$p^2 + \frac{1}{p^2} = \left(p + \frac{1}{p}\right)^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p}$

$= (2)^2 - 2$

$= 4 - 2 = 2$

অতএব, ii নম্বর উক্তিটি সঠিক।

iii নম্বর উক্তি যাচাই:

$p^3 + \frac{1}{p^3} = \left(p + \frac{1}{p}\right)^3 - 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} \left(p + \frac{1}{p}\right)$

$= (2)^3 - 3(2)$

$= 8 - 6 = 2$

অতএব, iii নম্বর উক্তিটি সঠিক।

সুতরাং, i, ii ও iii তিনটি উক্তিয়েই সঠিক।

Explanation: 

$9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2$

পূর্ণবর্গ রাশির সূত্রানুসারে,

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

এখানে, $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$

অতএব, $9x^2 + 16y^2$ এর সাথে $24xy$ যোগ করলে রাশিটি $(3x + 4y)^2$ বা পূর্ণবর্গ হবে।

Explanation: 

আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

বা, $8 = (4)^2 - 2ab$

বা, $8 = 16 - 2ab$

বা, $2ab = 16 - 8$

বা, $2ab = 8 \implies ab = 4$

এখন,

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

$= (4)^3 - 3(4)(4)$

$= 64 - 48 = 16$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $x + \frac{2}{x} = 3$

প্রদত্ত রাশি $= x^3 + \frac{8}{x^3}$

$= x^3 + \left(\frac{2}{x}\right)^3$

$= \left(x + \frac{2}{x}\right)^3 - 3 \times x \times \frac{2}{x} \left(x + \frac{2}{x}\right)$

$= (3)^3 - 6(3)$

$= 27 - 18 = 9$

Explanation: 

ধরি, $f(x) = x^3 - 2x - 4$

এখন, $x = 2$ বসালে:

$f(2) = (2)^3 - 2(2) - 4$

$= 8 - 4 - 4 = 0$

যেহেতু $f(2) = 0$, তাই ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $(x - 2)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।

উৎপাদক বিশ্লেষণ

$x^3 - 2x - 4$

$= x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + 2x - 4$

$= x^2(x - 2) + 2x(x - 2) + 2(x - 2)$

$= (x - 2)(x^2 + 2x + 2)$

Explanation: 

এখানে, আসল ($P$) $= 5000$ টাকা

মুনাফার হার ($r$) $= 9\% = \frac{9}{100}$

সময় ($n$) $= 6$ বছর

আমরা জানি, সরল মুনাফা ($I$) $= Pnr$

$= 5000 \times 6 \times \frac{9}{100}$

$= 2700$ টাকা

Explanation: 

দেওয়া আছে, $x^4 - x^2 + 1 = 0$

বা, $x^4 + 1 = x^2$

উভয় পক্ষকে $x^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{x^4 + 1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2}$

বা, $\frac{x^4}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 1$

বা, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$

আমরা জানি,

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

$= \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2$

$= 1 + 2 = 3$

এখন,

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right)$

$= (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3})$

$= 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$

Explanation: 

আমরা জানি, $x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$

সুতরাং, উৎপাদক দুইটি হলো $\left(x + \frac{1}{x}\right)$ এবং $\left(x - \frac{1}{x}\right)$।

উৎপাদক দুইটির অন্তরফল $= \left(x + \frac{1}{x}\right) - \left(x - \frac{1}{x}\right)$

$= x + \frac{1}{x} - x + \frac{1}{x}$

$= \frac{2}{x}$

Explanation: 

আমরা জানি, $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

এখানে $a = x$, $b = 3y$, এবং $c = -z$ ধরে প্রসারিত করি-

$(x + 3y - z)^2 = (x)^2 + (3y)^2 + (-z)^2 + 2(x)(3y) + 2(3y)(-z) + 2(-z)(x)$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 6yz - 2zx$

Explanation: 

দেওয়া আছে, $a + \frac{1}{a} = 3$

$\frac{a^2 + 1}{a} = 3$

$a^2 + 1 = 3a$

উভয় পক্ষকে $3$ দ্বারা গুণ করে পাই

$3(a^2 + 1) = 3 \times 3a$

$3a^2 + 3 = 9a$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{2a}{3a^2 - 2a + 3} = \frac{2a}{(3a^2 + 3) - 2a}$

$= \frac{2a}{9a - 2a}$

$= \frac{2a}{7a}$

$= \frac{2}{7}$

Explanation: 

প্রশ্নানুসারে, $f(x) = 0$

বা, $x^2 - 5x - 6 = 0$

বা, $x^2 - 6x + x - 6 = 0$

বা, $x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$

বা, $(x - 6)(x + 1) = 0$

হয়, $x - 6 = 0 \implies x = 6$

অথবা, $x + 1 = 0 \implies x = -1$

অতএব, $x = -1, 6$

Explanation: 
i উক্তি: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 9 - 2(3) = 9 - 6 = 3$ (সঠিক)
ii উক্তি: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 9 + 2(3) = 9 + 6 = 15$ (সঠিক)
iii উক্তি: $a^2 + b^2 + a^2b^2 = (a^2 + b^2) + (ab)^2 = 9 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$ (সঠিক)
অতএব, i, ii ও iii তিনটি উক্তিয়েই সঠিক।

Explanation: 

ধরি, $\frac{a}{b} = x$

তাহলে, $\frac{b}{a} = \frac{1}{x}$

প্রশ্নানুসারে, $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{a^3}{b^3} + \frac{b^3}{a^3} = x^3 + \frac{1}{x^3}$

অনুপাতের সূত্রানুসারে,

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right)$

$= (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3})$

$= 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$