অনুশীলনী ৯.২: বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
১. $\cos\theta = \frac{1}{2}$ হলে, $\cot\theta$ এর মান কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\cos\theta = \frac{1}{2}$
বা, $\cos\theta = \cos 60^\circ$
বা, $\theta = 60^\circ$
এখন, $\cot\theta = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তর: ক) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
২. $\cos^2\theta – \sin^2\theta = \frac{1}{3}$ হলে, $\cos^4\theta – \sin^4\theta$ এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \cos^4\theta – \sin^4\theta$
$= (\cos^2\theta)^2 – (\sin^2\theta)^2$
$= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta – \sin^2\theta)$
$= 1 \times \frac{1}{3} \quad \left[\because \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \text{ এবং } \cos^2\theta – \sin^2\theta = \frac{1}{3}\right]$
$= \frac{1}{3}$
উত্তর: ঘ) $\frac{1}{3}$
৩. $\cot(\theta – 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\sin\theta = \text{কত?}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\cot(\theta – 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
বা, $\cot(\theta – 30^\circ) = \cot 60^\circ$
বা, $\theta – 30^\circ = 60^\circ$
বা, $\theta = 60^\circ + 30^\circ$
বা, $\theta = 90^\circ$
এখন, $\sin\theta = \sin 90^\circ = 1$
উত্তর: গ) $1$
৪. $\tan(3A) = \sqrt{3}$ হলে, $A = \text{কত?}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\tan(3A) = \sqrt{3}$
বা, $\tan(3A) = \tan 60^\circ$
বা, $3A = 60^\circ$
বা, $A = \frac{60^\circ}{3}$
বা, $A = 20^\circ$
উত্তর: গ) $20^\circ$
মান নির্ণয় করো (৫ – ৮):
৫. $\frac{1 – \cot^2 60^\circ}{1 + \cot^2 60^\circ}$
সমাধান:
আমরা জানি, $\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{1 – \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}$
$= \frac{1 – \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$
$= \frac{\frac{3 – 1}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$
$= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}$
$= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$
$= \frac{1}{2}$
উত্তর:$\frac{1}{2}$
৬. $\tan 45^\circ \cdot \sin^2 60^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = $\tan 45^\circ \cdot \sin^2 60^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ$
$= 1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}$
$= 1 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1$
$= \frac{3}{4}$
উত্তর:$\frac{3}{4}$
৭. $\frac{1 – \cos^2 60^\circ}{1 + \cos^2 60^\circ} + \sec^2 60^\circ$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = $\frac{1 – \cos^2 60^\circ}{1 + \cos^2 60^\circ} + \sec^2 60^\circ$
$= \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} + (2)^2$
$= \frac{1 – \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} + 4$
$= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} + 4$
$= \left(\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}\right) + 4$
$= \frac{3}{5} + 4$
$= \frac{3 + 20}{5}$
$= \frac{23}{5}$
উত্তর:$\frac{23}{5}$
৮. $\cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot \text{cosec}^2 30^\circ$
সমাধান:
আমরা জানি, $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\text{cosec } 30^\circ = 2$
প্রদত্ত রাশি = $\cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot \text{cosec}^2 30^\circ$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot (2)^2$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 4$
$= \frac{4}{3\sqrt{2}}$
$= \frac{2 \times 2}{3\sqrt{2}}$
$= \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$
$= \frac{2\sqrt{2}}{3}$
উত্তর:$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
দেখাও যে (৯ – ১৪):
৯. $\cos^2 30^\circ – \sin^2 30^\circ = \cos 60^\circ$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \cos^2 30^\circ – \sin^2 30^\circ$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$= \frac{3}{4} – \frac{1}{4}$
$= \frac{3 – 1}{4}$
$= \frac{2}{4}$
$= \frac{1}{2}$
ডানপক্ষ $= \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১০. $\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \sin 90^\circ$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
ডানপক্ষ $= \sin 90^\circ = 1$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১১. $\cos 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \cos 30^\circ$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \cos 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
ডানপক্ষ $= \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১২. $\sin 3A = \cos 3A$ যদি $A = 15^\circ$ হয়।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = 15^\circ$
বামপক্ষ $= \sin 3A$
$= \sin(3 \times 15^\circ)$
$= \sin 45^\circ$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
ডানপক্ষ $= \cos 3A$
$= \cos(3 \times 15^\circ)$
$= \cos 45^\circ$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১৩. $\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}$ যদি $A = 45^\circ$ হয়।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = 45^\circ$
বামপক্ষ $= \sin 2A$
$= \sin(2 \times 45^\circ)$
$= \sin 90^\circ = 1$
ডানপক্ষ $= \frac{2\tan 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ}$
$= \frac{2(1)}{1 + (1)^2}$
$= \frac{2}{1 + 1}$
$= \frac{2}{2} = 1$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১৪. $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 – \tan^2 A}$ যদি $A = 30^\circ$ হয়।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = 30^\circ$
বামপক্ষ $= \tan 2A$
$= \tan(2 \times 30^\circ)$
$= \tan 60^\circ$
$ = \sqrt{3}$
ডানপক্ষ $= \frac{2\tan 30^\circ}{1 – \tan^2 30^\circ}$
$= \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 – \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 – \frac{1}{3}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$= \sqrt{3}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
১৫. $2\cos(A + B) = 1 = 2\sin(A – B)$ এবং $A, B$ সূক্ষ্মকোণ হলে দেখাও যে, $A = 45^\circ, B = 15^\circ$।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$2\cos(A + B) = 1$
বা, $\cos(A + B) = \frac{1}{2}$
বা, $\cos(A + B) = \cos 60^\circ$
বা, $A + B = 60^\circ$ …….. (১)
আবার,
$2\sin(A – B) = 1$
বা, $\sin(A – B) = \frac{1}{2}$
বা, $\sin(A – B) = \sin 30^\circ$
বা, $A – B = 30^\circ$ …….. (২)
(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$2A = 90^\circ \implies A = 45^\circ$
(১) নং সমীকরণ থেকে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$2B = 30^\circ \implies B = 15^\circ$
অতএব, $A = 45^\circ$ এবং $B = 15^\circ$। (দেখানো হলো)
১৬. $\cos(A – B) = 1, 2\sin(A + B) = \sqrt{3}$ এবং $A, B$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $A$ এবং $B$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$\cos(A – B) = 1$
বা, $\cos(A – B) = \cos 0^\circ$
বা, $A – B = 0^\circ$ …….. (১)
আবার,
$2\sin(A + B) = \sqrt{3}$
বা, $\sin(A + B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
বা, $\sin(A + B) = \sin 60^\circ$
বা, $A + B = 60^\circ$ …….. (২)
(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$2A = 60^\circ \implies A = 30^\circ$
(২) নং সমীকরণ থেকে (১) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$2B = 60^\circ \implies B = 30^\circ$
উত্তর:$A = 30^\circ, B = 30^\circ$।
১৭. সমাধান করো: $\frac{\cos A – \sin A}{\cos A + \sin A} = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ,
$\frac{\cos A – \sin A}{\cos A + \sin A} = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}$
বা, $\frac{(\cos A – \sin A) + (\cos A + \sin A)}{(\cos A – \sin A) – (\cos A + \sin A)} = \frac{(\sqrt{3} – 1) + (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1) – (\sqrt{3} + 1)}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2\cos A}{-2\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{-2}$
বা, $\frac{\cos A}{\sin A} = \sqrt{3}$
বা, $\cot A = \sqrt{3}$
বা, $\cot A = \cot 30^\circ$
বা, $A = 30^\circ$
উত্তর:$A = 30^\circ$।
১৮. $A$ ও $B$ সূক্ষ্মকোণ এবং $\cot(A + B) = 1, \cot(A – B) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ ও $B$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$\cot(A + B) = 1$
বা, $\cot(A + B) = \cot 45^\circ$
বা, $A + B = 45^\circ$ …….. (১)
এবং $\cot(A – B) = \sqrt{3}$
বা, $\cot(A – B) = \cot 30^\circ$
বা, $A – B = 30^\circ$ …….. (২)
(১) ও (২) যোগ করে পাই,
$2A = 75^\circ \implies A = 37.5^\circ$ বা $37\frac{1}{2}^\circ$
(১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই,
$2B = 15^\circ \implies B = 7.5^\circ$ বা $7\frac{1}{2}^\circ$
উত্তর:$A = 37\frac{1}{2}^\circ, B = 7\frac{1}{2}^\circ$।
১৯. দেখাও যে, $\cos 3A = 4\cos^3 A – 3\cos A$ যদি $A = 30^\circ$ হয়।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = 30^\circ$
বামপক্ষ $= \cos 3A$
$= \cos(3 \times 30^\circ)$
$= \cos 90^\circ = 0$
ডানপক্ষ $= 4\cos^3 30^\circ – 3\cos 30^\circ$
$= 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 – 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= 4 \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) – \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{2} – \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
২০. সমাধান করো: $\sin\theta + \cos\theta = 1$, যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$
সমাধান:
$\sin\theta + \cos\theta = 1$
বা, $\sin\theta = 1 – \cos\theta$
$\sin^2\theta = (1 – \cos\theta)^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $1 – \cos^2\theta = 1 – 2\cos\theta + \cos^2\theta$
বা, $2\cos^2\theta – 2\cos\theta = 0$
বা, $2\cos\theta(\cos\theta – 1) = 0$ হয়,
$2\cos\theta = 0 \implies \cos\theta = 0 \implies \cos\theta = \cos 90^\circ \implies \theta = 90^\circ$
অথবা, $\cos\theta – 1 = 0 \implies \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = \cos 0^\circ \implies \theta = 0^\circ$
উত্তর:$\theta = 0^\circ$ অথবা $90^\circ$।
২১. সমাধান করো: $\cos^2\theta – \sin^2\theta = 2 – 5\cos\theta$ যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
$\cos^2\theta – \sin^2\theta = 2 – 5\cos\theta$
বা, $\cos^2\theta – (1 – \cos^2\theta) = 2 – 5\cos\theta$
বা, $\cos^2\theta – 1 + \cos^2\theta – 2 + 5\cos\theta = 0$
বা, $2\cos^2\theta + 5\cos\theta – 3 = 0$
বা, $2\cos^2\theta + 6\cos\theta – \cos\theta – 3 = 0$
বা, $2\cos\theta(\cos\theta + 3) – 1(\cos\theta + 3) = 0$
বা, $(\cos\theta + 3)(2\cos\theta – 1) = 0$
যেহেতু $\cos\theta + 3 \neq 0$ (কারণ $\cos\theta$-এর মান $-1$ থেকে $+1$-এর বাইরে হতে পারে না),
সুতরাং, $2\cos\theta – 1 = 0$
বা, $2\cos\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \cos\theta = \cos 60^\circ \implies \theta = 60^\circ$
উত্তর:$\theta = 60^\circ$।
২২. সমাধান করো: $2\sin^2\theta + 3\cos\theta – 3 = 0, \theta$ সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
$2\sin^2\theta + 3\cos\theta – 3 = 0$
বা, $2(1 – \cos^2\theta) + 3\cos\theta – 3 = 0$
বা, $2 – 2\cos^2\theta + 3\cos\theta – 3 = 0$
বা, $-2\cos^2\theta + 3\cos\theta – 1 = 0$
বা, $2\cos^2\theta – 3\cos\theta + 1 = 0$
বা, $2\cos^2\theta – 2\cos\theta – \cos\theta + 1 = 0$
বা, $2\cos\theta(\cos\theta – 1) – 1(\cos\theta – 1) = 0$
বা, $(\cos\theta – 1)(2\cos\theta – 1) = 0$
যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই $\theta \neq 0^\circ$ (অর্থাৎ $\cos\theta \neq 1$)।
সুতরাং, $2\cos\theta – 1 = 0 \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ$
উত্তর:$\theta = 60^\circ$।
২৩. সমাধান করো: $\tan^2\theta – (1 + \sqrt{3})\tan\theta + \sqrt{3} = 0$
সমাধান:
$\tan^2\theta – (1 + \sqrt{3})\tan\theta + \sqrt{3} = 0$
বা, $\tan^2\theta – \tan\theta – \sqrt{3}\tan\theta + \sqrt{3} = 0$
বা, $\tan\theta(\tan\theta – 1) – \sqrt{3}(\tan\theta – 1) = 0$
বা, $(\tan\theta – 1)(\tan\theta – \sqrt{3}) = 0$
হয়, $\tan\theta – 1 = 0 \implies \tan\theta = 1 \implies \tan\theta = \tan 45^\circ \implies \theta = 45^\circ$
অথবা, $\tan\theta – \sqrt{3} = 0 \implies \tan\theta = \sqrt{3} \implies \tan\theta = \tan 60^\circ \implies \theta = 60^\circ$
উত্তর:$\theta = 45^\circ$ অথবা $60^\circ$।
২৪. মান নির্ণয় করো: $3\cot^2 60^\circ + \frac{1}{4}\text{cosec}^2 30^\circ + 5\sin^2 45^\circ – 4\cos^2 60^\circ$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = $3\cot^2 60^\circ + \frac{1}{4}\text{cosec}^2 30^\circ + 5\sin^2 45^\circ – 4\cos^2 60^\circ$
$= 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{1}{4}(2)^2 + 5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 – 4\left(\frac{1}{2}\right)^2$
$= 3 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot 4 + 5 \cdot \frac{1}{2} – 4 \cdot \frac{1}{4}$
$= 1 + 1 + \frac{5}{2} – 1$
$= 1 + \frac{5}{2}$
$= \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}$
উত্তর:$\frac{7}{2}$ বা $3\frac{1}{2}$।
২৫. $\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ, AB = 5\text{ সে.মি.}, BC = 12\text{ সে.মি.}$
ক) $AC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ সে.মি.}$
উত্তর:$AC = 13\text{ সে.মি.}$
খ) $\angle C = \theta$ হলে $\sin\theta + \cos\theta$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
$\angle C = \theta$ কোণের সাপেক্ষে,
লম্ব $= AB = 5$, ভূমি $= BC = 12$, অতিভুজ $= AC = 13$
সুতরাং,
$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{5}{13}$
$\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{12}{13}$
প্রদত্ত রাশি $=\sin\theta + \cos\theta$
$= \frac{5}{13} + \frac{12}{13}$
$= \frac{5 + 12}{13}$
$= \frac{17}{13}$
উত্তর:$\frac{17}{13}$
গ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\sec^2 A + \text{cosec}^2 A = \sec^2 A \cdot \text{cosec}^2 A$
প্রমাণ:
$\angle A$ কোণের সাপেক্ষে,
লম্ব $= BC = 12$, ভূমি $= AB = 5$, অতিভুজ $= AC = 13$
সুতরাং,
$\sec A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}} = \frac{13}{5}$
$\text{cosec } A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}} = \frac{13}{12}$
বামপক্ষ $= \sec^2 A + \text{cosec}^2 A$
$= \left(\frac{13}{5}\right)^2 + \left(\frac{13}{12}\right)^2$
$= \frac{169}{25} + \frac{169}{144}$
$= \frac{169 \times 144 + 169 \times 25}{3600}$
$= \frac{169(144 + 25)}{3600}$
$= \frac{169 \times 169}{3600}$
$= \frac{28561}{3600}$
ডানপক্ষ $= \sec^2 A \cdot \text{cosec}^2 A$
$= \left(\frac{13}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{13}{12}\right)^2$
$= \frac{169}{25} \cdot \frac{169}{144}$
$= \frac{28561}{3600}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)
নমুনা প্রশ্ন: বহুনির্বাচনী
১. $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ এর জন্য, $\sin\theta$ এর সর্বোচ্চ মান কত?
সমাধান:
$\sin 0^\circ = 0$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^\circ = 1$
সুতরাং, $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ সীমার মধ্যে $\sin\theta$-এর সর্বোচ্চ মান $1$ (যখন $\theta = 90^\circ$)।
উত্তর: ঘ) $1$
২. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ $AC = 2$, $AB = 1$ হলে—
(i) $\angle ACB = 30^\circ$
(ii) $\tan A = \sqrt{3}$
(iii) $\sin(A + C) = 0$
যাচাই:
$\sin C = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} \implies \sin C = \sin 30^\circ \implies \angle ACB = 30^\circ$ [উক্তি (i) সত্য]
যেহেতু $\angle B = 90^\circ$ এবং $C = 30^\circ$, সুতরাং $A = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ$
$\tan A = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ [উক্তি (ii) সত্য]
আবার, $A + C = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$
$\sin(A + C) = \sin 90^\circ = 1 \neq 0$ [উক্তি (iii) মিথ্যা]
উত্তর: গ) i ও ii
উদ্দীপক (৩ ও ৪ নং প্রশ্নের জন্য):
$ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $AC = 2$, $AB = 1$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $BC = \sqrt{AC^2 – AB^2} = \sqrt{2^2 – 1^2} = \sqrt{3}$
৩. $\tan C = \text{কত?}$
সমাধান:
$\tan C = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তর: ঘ) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
৪. $\sin^2 A – \cos^2 A$ এর মান কত?
সমাধান:
$A$ কোণের সাপেক্ষে, লম্ব $= BC = \sqrt{3}$, ভূমি $= AB = 1$, অতিভুজ $= AC = 2$
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\cos A = \frac{1}{2}$
প্রদত্ত রাশি,
$= \sin^2 A – \cos^2 A$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$= \frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
উত্তর: ক) $\frac{1}{2}$
৫. সৃজনশীল প্রশ্ন:
$\sin\theta = p$, $\cos\theta = q$, $\tan\theta = r$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।
ক) $r = \sqrt{(3)^{-1}}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $r = \sqrt{(3)^{-1}}$
বা, $\tan\theta = \sqrt{\frac{1}{3}}$
বা, $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
বা, $\tan\theta = \tan 30^\circ$
বা, $\theta = 30^\circ$
উত্তর:$\theta = 30^\circ$
খ) $p + q = \sqrt{2}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\theta = 45^\circ$
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $p + q = \sqrt{2}$
বা, $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$
বা, $\sin\theta = \sqrt{2} – \cos\theta$
বা, $\sin^2\theta = (\sqrt{2} – \cos\theta)^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $1 – \cos^2\theta = 2 – 2\sqrt{2}\cos\theta + \cos^2\theta$
বা, $2\cos^2\theta – 2\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$
বা, $(\sqrt{2}\cos\theta – 1)^2 = 0$
বা, $\sqrt{2}\cos\theta – 1 = 0$
বা, $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
বা, $\cos\theta = \cos 45^\circ$
বা, $\theta = 45^\circ$ (প্রমাণিত)
গ) $7p^2 + 3q^2 = 4$ হলে, দেখাও যে, $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $7p^2 + 3q^2 = 4$
বা, $7\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4$
বা, $4\sin^2\theta + 3\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4$
বা, $4\sin^2\theta + 3(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 4$
বা, $4\sin^2\theta + 3(1) = 4$
বা, $4\sin^2\theta = 1$
বা, $\sin^2\theta = \frac{1}{4}$
বা, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ ($\because \theta$ সূক্ষ্মকোণ)
বা, $\sin\theta = \sin 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$
এখন, $\tan\theta = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$(দেখানো হলো)
৬. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন:
ক) দেখাও যে, $\tan^2 A – \sin^2 A = \tan^2 A \cdot \sin^2 A$
প্রমাণ:
বামপক্ষ $= \tan^2 A – \sin^2 A$
$= \tan^2 A \left(1 – \frac{\sin^2 A}{\tan^2 A}\right)$
$= \tan^2 A \left(1 – \frac{\sin^2 A}{\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}\right)$
$= \tan^2 A (1 – \cos^2 A)$
$= \tan^2 A \cdot \sin^2 A$
$= \text{ডানপক্ষ}$(দেখানো হলো)
খ) $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$, $BC = 6\text{ সে.মি.}$ এবং $AB = 8\text{ সে.মি.}$ হলে, $\sin A$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ সে.মি.}$
$A$ কোণের সাপেক্ষে, লম্ব $= BC = 6\text{ সে.মি.}$ এবং অতিভুজ $= AC = 10\text{ সে.মি.}$
$\sin A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
উত্তর:$\sin A = \frac{3}{5}$
গ) $\sin^2 A = 1 + \cos^2 A$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় করো; যখন $A$ সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
$\sin^2 A = 1 + \cos^2 A$
বা, $1 – \cos^2 A = 1 + \cos^2 A$
বা, $2\cos^2 A = 0$
বা, $\cos A = 0$
বা, $\cos A = \cos 90^\circ \implies A = 90^\circ$
যেহেতু $A$ একটি সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < A < 90^\circ$), তাই $A = 90^\circ$ গ্রহণযোগ্য নয়। অর্থাৎ প্রদত্ত শর্তানুসারে সূক্ষ্মকোণ $A$-এর কোনো বাস্তব মান নেই।
উত্তর: মান গ্রহণযোগ্য নয় / কোনো সমাধান নেই।
ঘ) $A = 15^\circ$ হলে দেখাও যে, $\cos^3 3A = \sin^3 3A$
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $A = 15^\circ$
সুতরাং, $3A = 3 \times 15^\circ = 45^\circ$
বামপক্ষ $= \cos^3 3A = \cos^3 45^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$
$= \frac{1}{2\sqrt{2}}$
ডানপক্ষ $= \sin^3 3A$
$= \sin^3 45^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$
$= \frac{1}{2\sqrt{2}}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)