অনুশীলনী ৫.২: এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
১. $x$ কে চলক ধরে $a^2x + b = 0$ সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
সমাধান: সমীকরণটিতে চলক $x$ এর সর্বোচ্চ পাওয়ার বা সূচক হলো $1$।
উত্তর: গ) 1
২. নিচের কোনটি অভেদ?
ক) $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 4x$
খ) $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 2(x^2 + 1)$
গ) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2ab$
ঘ) $(a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
সমাধান: বীজগণিতীয় সূত্রাবলি অভেদ নির্দেশ করে। আমরা জানি, $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 2(x^2 + 1^2) = 2(x^2 + 1)$।
উত্তর: খ) $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 2(x^2 + 1)$
৩. $x^2 – x – 12 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
ক) $3, 4$
খ) $3, -4$
গ) $-3, 4$
ঘ) $-3, -4$
সমাধান: $x^2 – x – 12 = 0$
$\implies x^2 – 4x + 3x – 12 = 0$
$\implies x(x – 4) + 3(x – 4) = 0$
$\implies (x – 4)(x + 3) = 0$ হয়
$x – 4 = 0 \implies x = 4$
অথবা $x + 3 = 0 \implies x = -3$
$\therefore$ মূলদ্বয় $-3, 4$।
উত্তর: গ) $-3, 4$
৪. $3x^2 – x + 5 = 0$ সমীকরণে $x$ এর সহগ কত?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) $-1$
সমাধান: সমীকরণটি হলো $3x^2 + (-1)x + 5 = 0$, যেখানে $x$ এর সাথে গুণক হিসেবে রয়েছে $-1$।
উত্তর: ঘ) $-1$
৫. $x^2 – (a+b)x + ab = 0$ সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
ক) $\{a, b\}$
খ) $\{a, -b\}$
গ) $\{-a, b\}$
ঘ) $\{-a, -b\}$
সমাধান: $x^2 – ax – bx + ab = 0$
$\implies x(x – a) – b(x – a) = 0$
$\implies (x – a)(x – b) = 0$ হয়,
$x – a = 0 \implies x = a$
অথবা $x – b = 0 \implies x = b$
$\therefore$ সমাধান সেট $\{a, b\}$।
উত্তর: ক) $\{a, b\}$
সমাধান করো(৬ – ১২)
৬. $(y+5)(y-5) = 24$
সমাধান: $(y+5)(y-5) = 24$
$\implies y^2 – 5^2 = 24$
$\implies y^2 – 25 = 24$
$\implies y^2 = 24 + 25$
$\implies y^2 = 49$
$\implies y = \pm\sqrt{49}$
$\implies y = \pm 7$
উত্তর:$y = 7, -7$
৭. $(\sqrt{2}x + 3)(\sqrt{3}x – 2) = 0$
সমাধান: $(\sqrt{2}x + 3)(\sqrt{3}x – 2) = 0$ হয়,
$\sqrt{2}x + 3 = 0$
$\implies \sqrt{2}x = -3$
$\implies x = -\frac{3}{\sqrt{2}}$
অথবা,
$\sqrt{3}x – 2 = 0$
$\implies \sqrt{3}x = 2$
$\implies x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
উত্তর:$x = -\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$
৮. $2(z^2 – 9) + 9z = 0$
সমাধান: $2(z^2 – 9) + 9z = 0$
$\implie 2z^2 – 18 + 9z = 0$
$\implies 2z^2 + 9z – 18 = 0$
$\implies 2z^2 + 12z – 3z – 18 = 0$
$\implies 2z(z + 6) – 3(z + 6) = 0$
$\implies (z + 6)(2z – 3) = 0$
হয় $z + 6 = 0 \implies z = -6$
অথবা $2z – 3 = 0 \implies 2z = 3 \implies z = \frac{3}{2}$
উত্তর:$z = -6, \frac{3}{2}$
৯. $\frac{3}{2z+1} + \frac{4}{5z-1} = 2$
সমাধান: $\frac{3}{2z+1} + \frac{4}{5z-1} = 2$
$\implies \frac{3(5z-1) + 4(2z+1)}{(2z+1)(5z-1)} = 2$
$\implies \frac{15z – 3 + 8z + 4}{10z^2 – 2z + 5z – 1} = 2$
$\implies \frac{23z + 1}{10z^2 + 3z – 1} = 2$
$\implies 2(10z^2 + 3z – 1) = 23z + 1$
$\implies 20z^2 + 6z – 2 = 23z + 1$
$\implies 20z^2 + 6z – 23z – 2 – 1 = 0$
$\implies 20z^2 – 17z – 3 = 0$
$\implies 20z^2 – 20z + 3z – 3 = 0$
$\implies 20z(z – 1) + 3(z – 1) = 0$
$\implies (z – 1)(20z + 3) = 0$
হয় $z – 1 = 0 \implies z = 1$
অথবা $20z + 3 = 0 \implies 20z = -3 \implies z = -\frac{3}{20}$
উত্তর:$z = 1, -\frac{3}{20}$
১০. $\frac{x-2}{x+2} + \frac{6(x-2)}{x-6} = 1$
সমাধান: $\frac{x-2}{x+2} + \frac{6(x-2)}{x-6} = 1$
$\implies (x-2) \left[ \frac{1}{x+2} + \frac{6}{x-6} \right] = 1$
$\implies (x-2) \left[ \frac{1(x-6) + 6(x+2)}{(x+2)(x-6)} \right] = 1$
$\implies (x-2) \left[ \frac{x – 6 + 6x + 12}{x^2 – 6x + 2x – 12} \right] = 1$
$\implies (x-2) \left[ \frac{7x + 6}{x^2 – 4x – 12} \right] = 1$
$\implies \frac{7x^2 + 6x – 14x – 12}{x^2 – 4x – 12} = 1$
$\implies \frac{7x^2 – 8x – 12}{x^2 – 4x – 12} = 1$
$\implies 7x^2 – 8x – 12 = x^2 – 4x – 12$
$\implies 7x^2 – x^2 – 8x + 4x = 0$
$\implies 6x^2 – 4x = 0$
$\implies 2x(3x – 2) = 0$
হয় $2x = 0 \implies x = 0$
অথবা $3x – 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$
উত্তর:$x = 0, \frac{2}{3}$
১১. $\frac{x}{a} + \frac{a}{x} = \frac{x}{b} + \frac{b}{x}$
সমাধান: $\frac{x}{a} + \frac{a}{x} = \frac{x}{b} + \frac{b}{x}$
$\implies \frac{x}{a} – \frac{x}{b} = \frac{b}{x} – \frac{a}{x}$
$\implies x\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b}\right) = \frac{1}{x}(b – a)$
$\implies x\left(\frac{b – a}{ab}\right) = \frac{b – a}{x}$
$\implies \frac{x}{ab} = \frac{1}{x}$ [উভয়পক্ষকে $(b-a)$ দ্বারা ভাগ করে যেখানে $a \neq b$]
$\implies x^2 = ab$
$\implies x = \pm\sqrt{ab}$
উত্তর:$x = \pm\sqrt{ab}$
১২. $\frac{x-a}{x-b} + \frac{x-b}{x-a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
সমাধান: $\frac{x-a}{x-b} + \frac{x-b}{x-a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$\implies \left(\frac{x-a}{x-b} – \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{x-b}{x-a} – \frac{b}{a}\right) = 0$
$\implies \frac{b(x-a) – a(x-b)}{b(x-b)} + \frac{a(x-b) – b(x-a)}{a(x-a)} = 0$
$\implies \frac{bx – ab – ax + ab}{b(x-b)} + \frac{ax – ab – bx + ab}{a(x-a)} = 0$
$\implies \frac{x(b-a)}{b(x-b)} + \frac{x(a-b)}{a(x-a)} = 0$
$\implies \frac{x(b-a)}{b(x-b)} – \frac{x(b-a)}{a(x-a)} = 0$
$\implies x(b-a) \left[ \frac{1}{b(x-b)} – \frac{1}{a(x-a)} \right] = 0$
যেহেতু $a \neq b$, তাই $b-a \neq 0$।
হয় $x = 0$
অথবা,
$\frac{1}{b(x-b)} – \frac{1}{a(x-a)} = 0$
$\implies \frac{1}{b(x-b)} = \frac{1}{a(x-a)}$
$\implies a(x-a) = b(x-b)$
$\implies ax – a^2 = bx – b^2$
$\implies ax – bx = a^2 – b^2$
$\implies x(a-b) = (a-b)(a+b)$
$\implies x = a + b$
উত্তর:$x = 0, a+b$
সমাধান সেট নির্ণয় করো (১৩ – ১৭):
১৩. $\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
সমাধান: $\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
$\implies \frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\implies \frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\implies \frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
$\implies 2(x^2 + x) = 7x + 3$
$\implies 2x^2 + 2x – 7x – 3 = 0$
$\implies 2x^2 – 5x – 3 = 0$
$\implies 2x^2 – 6x + x – 3 = 0$
$\implies 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0$
$\implies (x – 3)(2x + 1) = 0$ হয়,
$x – 3 = 0 \implies x = 3$
অথবা $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \left\{3, -\frac{1}{2}\right\}$
১৪. $\frac{x+7}{x+1} + \frac{2x+6}{2x+1} = 5$
সমাধান: $\frac{x+7}{x+1} + \frac{2x+6}{2x+1} = 5$
$\implies \left(\frac{x+7}{x+1} – 2\right) + \left(\frac{2x+6}{2x+1} – 3\right) = 0$
$\implies \frac{x+7 – 2(x+1)}{x+1} + \frac{2x+6 – 3(2x+1)}{2x+1} = 0$
$\implies \frac{x+7 – 2x – 2}{x+1} + \frac{2x+6 – 6x – 3}{2x+1} = 0$
$\implies \frac{5-x}{x+1} + \frac{3-4x}{2x+1} = 0$
$\implies \frac{(5-x)(2x+1) + (3-4x)(x+1)}{(x+1)(2x+1)} = 0$
$\implies (10x + 5 – 2x^2 – x) + (3x + 3 – 4x^2 – 4x) = 0$
$\implies -6x^2 + 8x + 8 = 0$
$\implies 3x^2 – 4x – 4 = 0$ [উভয়পক্ষকে $-2$ দ্বারা ভাগ করে ]
$\implies 3x^2 – 6x + 2x – 4 = 0$
$\implies 3x(x – 2) + 2(x – 2) = 0$
$\implies (x – 2)(3x + 2) = 0$ হয়,
$x – 2 = 0 \implies x = 2$
অথবা $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \left\{2, -\frac{2}{3}\right\}$
১৫. $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x+a+b}$
সমাধান: $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x+a+b}$
$\implies \frac{1}{x} – \frac{1}{x+a+b} = -\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$
$\implies \frac{(x+a+b) – x}{x(x+a+b)} = -\left(\frac{a+b}{ab}\right)$
$\implies \frac{a+b}{x^2 + ax + bx} = -\frac{a+b}{ab}$ [উভয়পক্ষকে $(a+b)$ দ্বারা ভাগ করে যেখানে $a+b \neq 0$]
$\frac{1}{x^2 + ax + bx} = -\frac{1}{ab}$
$\implies x^2 + ax + bx = -ab$
$\implies x^2 + ax + bx + ab = 0$
$\implies x(x + a) + b(x + a) = 0$
$\implies (x + a)(x + b) = 0$ হয়,
$x + a = 0 \implies x = -a$
অথবা $x + b = 0 \implies x = -b$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \{-a, -b\}$
১৬. $x + \frac{1}{x} = 2$
সমাধান: $x + \frac{1}{x} = 2$
$\implies \frac{x^2 + 1}{x} = 2$
$\implies x^2 + 1 = 2x$
$\implies x^2 – 2x + 1 = 0$
$\implies (x – 1)^2 = 0$
$\implies x – 1 = 0$
$\implies x = 1$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \{1\}$
১৭. $\frac{(x+1)^3 – (x-1)^3}{(x+1)^2 – (x-1)^2} = 2$
সমাধান: $\frac{(x+1)^3 – (x-1)^3}{(x+1)^2 – (x-1)^2} = 2$
লব $= (x+1)^3 – (x-1)^3 = 2(3x^2 + 1) = 6x^2 + 2$
হর $= (x+1)^2 – (x-1)^2 = 4x$
সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
$\frac{6x^2 + 2}{4x} = 2$
$\implies 6x^2 + 2 = 8x$
$\implies 6x^2 – 8x + 2 = 0$
$\implies 3x^2 – 4x + 1 = 0$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
$\implies 3x^2 – 3x – x + 1 = 0$
$\implies 3x(x – 1) – 1(x – 1) = 0$
$\implies (x – 1)(3x – 1) = 0$
হয় $x – 1 = 0 \implies x = 1$
অথবা $3x – 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \left\{1, \frac{1}{3}\right\}$
সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (১৮ – ২৬)
১৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15 এবং এদের গুণফল 56; সংখ্যাটি কত?
সমাধান: ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি $x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি $y$।
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10x + y$
প্রথম শর্তমতে, $x + y = 15 \implies y = 15 – x \quad \text{— (i)}$
দ্বিতীয় শর্তমতে, $xy = 56 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং সমীকরণে $y$ এর মান বসিয়ে পাই:
$x(15 – x) = 56$
$\implies 15x – x^2 = 56$
$\implies x^2 – 15x + 56 = 0$
$\implies x^2 – 8x – 7x + 56 = 0$
$\implies x(x – 8) – 7(x – 8) = 0$
$\implies (x – 8)(x – 7) = 0$
$\therefore x = 8$ অথবা $x = 7$
$x = 8$ হলে, $y = 15 – 8 = 7$$\implies$ সংখ্যাটি $= 10(8) + 7 = 87$
$x = 7$ হলে, $y = 15 – 7 = 8$$\implies$ সংখ্যাটি $= 10(7) + 8 = 78$
উত্তর: সংখ্যাটি $87$ অথবা $78$
১৯. একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= xy = 192 \implies y = \frac{192}{x} \quad \text{— (i)}$
প্রশ্নমতে, $(x – 4)(y + 4) = 192$
$\implies xy + 4x – 4y – 16 = 192$
$\implies 192 + 4x – 4y – 16 = 192$ [যেহেতু $xy = 192$]
$\implies 4x – 4y = 16$
$\implies x – y = 4 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং এ $y$ এর মান বসিয়ে পাই:
$x – \frac{192}{x} = 4$
$\implies \frac{x^2 – 192}{x} = 4$
$\implies x^2 – 192 = 4x$
$\implies x^2 – 4x – 192 = 0$
$\implies x^2 – 16x + 12x – 192 = 0$
$\implies x(x – 16) + 12(x – 16) = 0$
$\implies (x – 16)(x + 12) = 0$
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -12$
$\therefore x = 16$
(i) নং হতে, $y = \frac{192}{16} = 12$
উত্তর: দৈর্ঘ্য $16$ মিটার এবং প্রস্থ $12$ মিটার
২০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ সে.মি.।
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $(x – 3)$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
$x^2 + (x – 3)^2 = 15^2$
$\implies x^2 + x^2 – 6x + 9 = 225$
$\implies 2x^2 – 6x + 9 – 225 = 0$
$\implies 2x^2 – 6x – 216 = 0$
$\implies x^2 – 3x – 108 = 0$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
$\implies x^2 – 12x + 9x – 108 = 0$
$\implies x(x – 12) + 9(x – 12) = 0$
$\implies (x – 12)(x + 9) = 0$
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -9$
$\therefore x = 12$
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $= 12 – 3 = 9$ সে.মি.।
উত্তর: বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $12$ সে.মি. এবং $9$ সে.মি.
২১. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান: ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা $h$ সে.মি.।
$\therefore$ ভূমি $b = (2h + 6)$ সে.মি.।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2} \times (2h + 6) \times h = 810$
$\implies (h + 3) \times h = 810$
$\implies h^2 + 3h – 810 = 0$
$\implies h^2 + 30h – 27h – 810 = 0$
$\implies h(h + 30) – 27(h + 30) = 0$
$\implies (h + 30)(h – 27) = 0$
উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $h \neq -30$
$\therefore h = 27$
উত্তর: উচ্চতা $27$ সে.মি.
২২. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?
সমাধান: ধরি, শ্রেণিতে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $x$ জন।
একজন শিক্ষার্থীর সহপাঠীর সংখ্যা $= (x – 1)$ জন।
$\therefore$ প্রত্যেকে চাঁদা দেয় $= (x – 1)$ টাকা।
মোট চাঁদার পরিমাণ $= x(x – 1)$ টাকা।
প্রশ্নমতে, $x(x – 1) = 420$
$\implies x^2 – x – 420 = 0$
$\implies x^2 – 21x + 20x – 420 = 0$
$\implies x(x – 21) + 20(x – 21) = 0$
$\implies (x – 21)(x + 20) = 0$
ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -20$
$\therefore x = 21$
প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ $= 21 – 1 = 20$ টাকা।
উত্তর: ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $21$ জন এবং প্রত্যেকে $20$ টাকা করে চাঁদা দিল।
২৩. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট 70 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
সমাধান: ধরি, ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $x$ জন।
$\therefore$ প্রত্যেকে চাঁদা দেয় $= (x + 30)$ পয়সা
মোট চাঁদার পরিমাণ $= x(x + 30)$ পয়সা
দেওয়া আছে, মোট চাঁদা $= 70$ টাকা $= 70 \times 100$ পয়সা $= 7000$ পয়সা
প্রশ্নমতে, $x(x + 30) = 7000$
$\implies x^2 + 30x – 7000 = 0$
$\implies x^2 + 100x – 70x – 7000 = 0$
$\implies x(x + 100) – 70(x + 100) = 0$
$\implies (x + 100)(x – 70) = 0$
ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -100$
$\therefore x = 70$
উত্তর: ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $70$ জন।
২৪. দৃশ্যকল্প ১: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 9 বেশি।
দৃশ্যকল্প ২: করিম সাহেব 6400 টাকার কিছু টাকা বিনিয়োগ করেন বার্ষিক 8% মুনাফায় এবং বার্ষিক 9% মুনাফায় অবশিষ্ট টাকা বিনিয়োগ করেন। 2 বছর পরে তিনি 1092 টাকা মুনাফা পান।
(ক) সমাধান সেট নির্ণয় করো: $\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
সমাধান: $\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
$\implies \frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\implies \frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\implies \frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
$\implies 2(x^2 + x) = 7x + 3$
$\implies 2x^2 + 2x – 7x – 3 = 0$
$\implies 2x^2 – 5x – 3 = 0$
$\implies 2x^2 – 6x + x – 3 = 0$
$\implies 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0$
$\implies (x – 3)(2x + 1) = 0$ হয়,
$x – 3 = 0 \implies x = 3$
অথবা $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \left\{3, -\frac{1}{2}\right\}$
(খ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
সমাধান (দৃশ্যকল্প ১ হতে):
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি $x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি $y$।
$\therefore$ মূল সংখ্যাটি $= 10x + y$
প্রথম শর্তমতে, $x + y = 7 \implies y = 7 – x \quad \text{— (i)}$
স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি $= 10y + x$
দ্বিতীয় শর্তমতে,
$(10y + x) – (10x + y) = 9$
$\implies 9y – 9x = 9$
$\implies y – x = 1 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$(7 – x) – x = 1$
$\implies 7 – 2x = 1$
$\implies 2x = 6$
$\implies x = 3$
(i) নং সমীকরণ হতে, $y = 7 – 3 = 4$
$\therefore$ মূল সংখ্যাটি $= 10(3) + 4 = 30 + 4 = 34$
উত্তর: সংখ্যাটি $34$
(গ) বার্ষিক 8% ও 9% মুনাফায় বিনিয়োগ করা মূলধনের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান (দৃশ্যকল্প ২ হতে):
ধরি, বার্ষিক $8\%$ মুনাফায় বিনিয়োগ করেন $p$ টাকা।
$\therefore$ বার্ষিক $9\%$ মুনাফায় বিনিয়োগ করেন $(6400 – p)$ টাকা।
আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = Pnr$ (যেখানে সময় $n = 2$ বছর)
$8\%$ মুনাফায় ২ বছরের মুনাফা $= p \times 2 \times \frac{8}{100} = \frac{16p}{100}$ টাকা
$9\%$ মুনাফায় ২ বছরের মুনাফা $= (6400 – p) \times 2 \times \frac{9}{100} = \frac{18(6400 – p)}{100}$ টাকা
প্রশ্নমতে, $\frac{16p}{100} + \frac{18(6400 – p)}{100} = 1092$
$\implies \frac{16p + 115200 – 18p}{100} = 1092$
$\implies 115200 – 2p = 109200$
$\implies 2p = 115200 – 109200$
$\implies 2p = 6000$
$\implies p = 3000$
$\therefore 8\%$ মুনাফায় মূলধন $= 3000$ টাকা
এবং $9\%$ মুনাফায় মূলধন $= 6400 – 3000 = 3400$ টাকা
মূলধনের অনুপাত $= 3000 : 3400 = 30 : 34 = 15 : 17$
উত্তর: অনুপাত $15 : 17$
২৫. নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তার দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুজনের বয়সের যোগফল 63 হলে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
ধরি, নাবিলের বর্তমান বয়স $x$ বছর এবং শুভর বর্তমান বয়স $y$ বছর। (এখানে $x > y$)
অতীতের ঘটনা (যখন নাবিলের বয়স ছিল $y$ বছর, অর্থাৎ $x – y$ বছর আগে):
তখন শুভর বয়স ছিল $= y – (x – y) = 2y – x$ বছর।
প্রথম শর্তমতে, নাবিলের বর্তমান বয়স অতীতের শুভর বয়সের দ্বিগুণ:
$x = 2(2y – x)$
$\implies x = 4y – 2x$
$\implies 3x = 4y \implies y = \frac{3x}{4} \quad \text{— (i)}$
ভবিষ্যতের ঘটনা (যখন শুভর বয়স নাবিলের বর্তমান বয়স $x$-এর সমান হবে, অর্থাৎ $x – y$ বছর পর):
তখন নাবিলের বয়স হবে $= x + (x – y) = 2x – y$ বছর।
তখন শুভর বয়স হবে $= x$ বছর।
দ্বিতীয় শর্তমতে,
$(2x – y) + x = 63$
$\implies 3x – y = 63 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$3x – \frac{3x}{4} = 63$
$\implies \frac{12x – 3x}{4} = 63$
$\implies \frac{9x}{4} = 63$
$\implies 9x = 252$
$\implies x = 28$
(i) নং সমীকরণ হতে, $y = \frac{3(28)}{4} = 21$
উত্তর: নাবিলের বর্তমান বয়স $28$ বছর এবং শুভর বর্তমান বয়স $21$ বছর।
২৬. বাসে ওঠার লাইনে সোহাগের পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে দুইজন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুণ যাত্রী। লাইনে কতজন যাত্রী দাঁড়িয়ে আছে?
সমাধান:
ধরি, সোহাগের পিছনে দাঁড়িয়ে আছে $x$ জন যাত্রী।
$\therefore$ সোহাগের সামনে দাঁড়িয়ে আছে $(x + 2)$ জন যাত্রী।
সোহাগসহ সম্পূর্ণ লাইনের মোট যাত্রী সংখ্যা $= (x + 2) + 1 + x = 2x + 3$ জন।
প্রশ্নমতে, $2x + 3 = 3x$
$\implies 3x – 2x = 3$
$\implies x = 3$
$\therefore$ মোট যাত্রী সংখ্যা $= 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$ জন।
উত্তর: লাইনে মোট $9$ জন যাত্রী দাঁড়িয়ে আছে।
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনী)
১. $(x – 4)^2 = 0$ সমীকরণের মূল কয়টি?
ক) 1 টি
খ) 2 টি
গ) 3 টি
ঘ) 4 টি
সমাধান: $(x – 4)^2 = 0 \implies (x – 4)(x – 4) = 0$
এখানে, $x = 4, 4$
যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বদাই দুটি মূল থাকে (এখানে মূল দুটি সমান), তাই এর মূল সংখ্যা ২টি।
উত্তর: খ) 2 টি
২. দুইটি বীজগণিতিক রাশি $x$ ও $y$ এর গুণফল $xy = 0$ হলে —
(i) $x = 0$ অথবা $y = 0$
(ii) $x = 0$, যখন $y \neq 0$
(iii) $y = 0$, যখন $x \neq 0$
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সমাধান:
দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হলে যেকোনো একটি বা উভয়টি শূন্য হতে পারে। সুতরাং (i), (ii) এবং (iii) তিনটি বাক্যই গাণিতিকভাবে সত্য।
উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$। এই তথ্যের আলোকে নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. সংখ্যাটি কত?
ক) $2x$
খ) $3x$
গ) $12x$
ঘ) $21x$
সমাধান: ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক $= x$
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $= 2x$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10 \times (\text{দশক স্থানীয় অঙ্ক}) + (\text{একক স্থানীয় অঙ্ক})$
$= 10(2x) + x = 20x + x = 21x$
উত্তর: ঘ) $21x$
৪. অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
ক) $3x$
খ) $4x$
গ) $12x$
ঘ) $21x$
সমাধান: অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে —
নতুন একক স্থানীয় অঙ্ক $= 2x$
নতুন দশক স্থানীয় অঙ্ক $= x$
$\therefore$ স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি $= 10(x) + 2x = 10x + 2x = 12x$
উত্তর: গ) $12x$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫: একটি জমির ক্ষেত্রফল $192$ বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে এবং প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে $20$ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে $2$ সে.মি. কম।
(ক) সমাধান করো: $\frac{3x}{2} – \frac{5}{3} = \frac{2x}{3}$
সমাধান: $\frac{3x}{2} – \frac{5}{3} = \frac{2x}{3}$
$\implies \frac{3x}{2} – \frac{2x}{3} = \frac{5}{3}$
$\implies \frac{9x – 4x}{6} = \frac{5}{3}$
$\implies \frac{5x}{6} = \frac{5}{3}$
$\implies 5x = \frac{5 \times 6}{3}$
$\implies 5x = 10$
$\implies x = \frac{10}{5}$
$\implies x = 2$
উত্তর: $x = 2$
(খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, জমির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $xy = 192 \implies y = \frac{192}{x} \quad \text{— (i)}$
শর্তমতে, $(x – 4)(y + 4) = 192$
$\implies xy + 4x – 4y – 16 = 192$
$\implies 192 + 4x – 4y – 16 = 192$
$\implies 4x – 4y = 16$
$\implies x – y = 4 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং এ $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$x – \frac{192}{x} = 4$
$\implies x^2 – 192 = 4x$
$\implies x^2 – 4x – 192 = 0$
$\implies x^2 – 16x + 12x – 192 = 0$
$\implies x(x – 16) + 12(x – 16) = 0$
$\implies (x – 16)(x + 12) = 0$
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -12 \implies x = 16$ মিটার।
(i) নং হতে, প্রস্থ $y = \frac{192}{16} = 12$ মিটার।
$\therefore$ জমিটির পরিসীমা $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2(16 + 12) = 2 \times 28 = 56$ মিটার।
উত্তর:$56$ মিটার
(গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস $= 20$ সে.মি.।
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \frac{20}{2} = 10$ সে.মি.।
ধরি, জ্যা এর দৈর্ঘ্য $= 2a$ সে.মি.।
$\therefore$ জ্যা এর অর্ধেক $= a$ সে.মি.।
শর্তমতে, কেন্দ্র হতে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব $d = (a – 2)$ সে.মি.।
আমরা জানি, কেন্দ্র, লম্ব এবং ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়:
$d^2 + a^2 = r^2$
$\implies (a – 2)^2 + a^2 = 10^2$
$\implies a^2 – 4a + 4 + a^2 = 100$
$\implies 2a^2 – 4a + 4 – 100 = 0$
$\implies 2a^2 – 4a – 96 = 0$
$\implies a^2 – 2a – 48 = 0$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
$\implies a^2 – 8a + 6a – 48 = 0$
$\implies a(a – 8) + 6(a – 8) = 0$
$\implies (a – 8)(a + 6) = 0$
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $a \neq -6 \implies a = 8$
$\therefore$ জ্যা এর দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 8 = 16$ সে.মি.।
উত্তর:$16$ সে.মি.
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. (ক) সমাধান করো: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x+3}$
সমাধান: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x+3}$
$\implies \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3}$
$\implies \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+3} – \frac{1}{x+2}$
$\implies \frac{(x+3) – (x+1)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2) – (x+3)}{(x+3)(x+2)}$
$\implies \frac{2}{(x+1)(x+3)} = \frac{-1}{(x+3)(x+2)}$ [উভয়পক্ষকে $(x+3)$ দ্বারা গুণ করে যেখানে $x \neq -3$]
$\implies \frac{2}{x+1} = \frac{-1}{x+2}$
$\implies 2(x+2) = -1(x+1)$
$\implies 2x + 4 = -x – 1$
$\implies 2x + x = -1 – 4$
$\implies 3x = -5$
$\implies x = -\frac{5}{3}$
উত্তর:$x = -\frac{5}{3}$
(খ) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অপর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার $\frac{2}{5}$ অংশ থেকে $3$ বেশি হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, অপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাটি $= y$।
$\therefore$ মূল সংখ্যাটি $x = \frac{2}{5}y + 3$।
যেহেতু সংখ্যা দুটিকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, তাই $y$ অবশ্যই $5$ এর একটি গুণিতক হতে হবে।
$y = 5$ হলে, $x = \frac{2}{5}(5) + 3 = 2 + 3 = 5$
$y = 10$ হলে, $x = \frac{2}{5}(10) + 3 = 4 + 3 = 7$
(ব্রি:দ্র: সংখ্যার সর্বনিম্ন পূর্ণসংখ্যার মান হিসেবে উত্তর $5$ অথবা বীজগণিতীয় সম্পর্ক প্রকাশ হলো $x = \frac{2y + 15}{5}$)
(গ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $7$ এবং গুণফল $10$ হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি $x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি $y$।
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10x + y$
প্রথম শর্তমতে, $x + y = 7 \implies y = 7 – x \quad \text{— (i)}$
দ্বিতীয় শর্তমতে, $xy = 10 \quad \text{— (ii)}$
(ii) নং এ $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$x(7 – x) = 10$
$\implies 7x – x^2 = 10$
$\implies x^2 – 7x + 10 = 0$
$\implies x^2 – 5x – 2x + 10 = 0$
$\implies x(x – 5) – 2(x – 5) = 0$
$\implies (x – 5)(x – 2) = 0$
$\therefore x = 5$ অথবা $x = 2$
$x = 5$ হলে, $y = 7 – 5 = 2 \implies$ সংখ্যাটি $= 10(5) + 2 = 52$
$x = 2$ হলে, $y = 7 – 2 = 5 \implies$ সংখ্যাটি $= 10(2) + 5 = 25$
উত্তর: সংখ্যাটি $52$ অথবা $25$