অনুশীলনী ৩.৫: বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্র গঠন ও প্রয়োগ
১. $f(x) = x^2 – 4x + 4$ হলে, $f(2)$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 – 4x + 4$
$\therefore f(2) = (2)^2 – 4(2) + 4 = 4 – 8 + 4 = 8 – 8 = 0$
উত্তর: ঘ) $0$
২. $x + \frac{2}{x} = 3$ হলে, $x^3 + \frac{8}{x^3}$ এর মান কত?
সমাধান:
$x^3 + \frac{8}{x^3} = x^3 + \left(\frac{2}{x}\right)^3$
$= \left(x + \frac{2}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x} \left(x + \frac{2}{x}\right)$
$= (3)^3 – 6(3) = 27 – 18 = 9$
উত্তর: গ) $9$
৩. $p^4 + p^2 + 1$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?
সমাধান:
$p^4 + p^2 + 1 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot 1 + (1)^2 – p^2$
$= (p^2 + 1)^2 – p^2$
$= (p^2 + 1 + p)(p^2 + 1 – p)$
$= (p^2 + p + 1)(p^2 – p + 1)$
উত্তর: ঘ) $(p^2 + p + 1)(p^2 – p + 1)$
৪. যদি $x = 2 – \sqrt{3}$ হয়, তবে $x^2$ এর মান কত?
সমাধান:
$x^2 = (2 – \sqrt{3})^2$
$= (2)^2 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
$= 4 – 4\sqrt{3} + 3 = 7 – 4\sqrt{3}$
উত্তর: খ) $7 – 4\sqrt{3}$
৫. $f(x) = x^2 – 5x + 6$ এবং $f(x) = 0$ হলে, $x =$ কত?
সমাধান:
$x^2 – 5x + 6 = 0$
$\implies x^2 – 3x – 2x + 6 = 0$
$\implies x(x – 3) – 2(x – 3) = 0$
$\implies (x – 3)(x – 2) = 0$
$\therefore x = 2, 3$
উত্তর: ক) $2, 3$
৬. $9x^2 + 16y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
সমাধান:
$9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2$
পূর্ণবর্গ রাশিতে রূপান্তরের জন্য মধ্যপদ প্রয়োজন: $2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$
$\therefore (3x)^2 + 2(3x)(4y) + (4y)^2 = (3x + 4y)^2$
অতএব, $24xy$ যোগ করতে হবে।
উত্তর: গ) $24xy$
৭. $a^2 + b^2 = 9$ এবং $ab = 3$ হলে —
(i)$(a – b)^2 = 3$
(ii)$(a + b)^2 = 15$
(iii)$a^2 + b^2 + a^2b^2 = 18$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
(i)$(a – b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab = 9 – 2(3) = 9 – 6 = 3$(সঠিক)
(ii)$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 9 + 2(3) = 9 + 6 = 15$(সঠিক)
(iii)$a^2 + b^2 + a^2b^2 = 9 + (ab)^2 = 9 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$(সঠিক)
উত্তর: ঘ) $i, ii \text{ ও } iii$
৮. $p^3 – \frac{1}{64}$ এর উৎপাদক—
(i)$p – \frac{1}{4}$
(ii)$p^2 + \frac{p}{4} + \frac{1}{8}$
(iii)$p^2 + \frac{p}{4} + \frac{1}{16}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
$p^3 – \frac{1}{64} = p^3 – \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \left(p – \frac{1}{4}\right)\left(p^2 + p \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) = \left(p – \frac{1}{4}\right)\left(p^2 + \frac{p}{4} + \frac{1}{16}\right)$
সুতরাং উৎপাদকগুলো হলো $(i)$ এবং $(iii)$।
উত্তর: খ) $i, iii$
৯. ক একটি কাজ $p$ দিনে করে এবং খ, $2p$ দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে গেল। বাকি কাজটুকু খ $r$ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?
সমাধান:
ক $p$ দিনে করে $1$ অংশ কাজ$
$\therefore$ ক $1$ দিনে করে $\frac{1}{p}$ অংশ কাজ।
খ $2p$ দিনে করে $1$ অংশ কাজ$
$\therefore$ খ $1$ দিনে করে $\frac{1}{2p}$ অংশ কাজ।
ক ও খ একত্রে $1$ দিনে করে $= \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{2p}\right) = \frac{2 + 1}{2p} = \frac{3}{2p}$ অংশ কাজ।
ধরি, ক ও খ একত্রে $x$ দিন কাজ করেছিল।
$\therefore x$ দিনে ক ও খ একত্রে করে $= \frac{3x}{2p}$ অংশ কাজ।
বাকি কাজ খ একা $r$ দিনে শেষ করে।
খ $r$ দিনে করে $= \frac{r}{2p}$ অংশ কাজ।
প্রশ্নমতে,
$$\frac{3x}{2p} + \frac{r}{2p} = 1$$
$$\implies \frac{3x + r}{2p} = 1$$
$$\implies 3x + r = 2p$$
$$\implies 3x = 2p – r$$
$$\implies x = \frac{2p – r}{3}$$
$\therefore$ কাজটি মোট শেষ হতে সময় লেগেছিল $= (x + r)$ দিন
$$= \frac{2p – r}{3} + r = \frac{2p – r + 3r}{3} = \frac{2p + 2r}{3} = \frac{2(p + r)}{3}\text{ দিন।}$$
উত্তর:$\frac{2(p + r)}{3}$ দিনে।
১০. দৈনিক $6$ ঘণ্টা পরিশ্রম করে $10$ জন লোক একটি কাজ $7$ দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে $14$ জনে $6$ দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?
সমাধান:
$10$ জন লোক $7$ দিনে কাজ শেষ করতে দৈনিক পরিশ্রম করে $6$ ঘণ্টা
$\therefore1$ জন লোক $1$ দিনে কাজ শেষ করতে দৈনিক পরিশ্রম করে $6 \times 10 \times 7$ ঘণ্টা
$\therefore14$ জন লোক $6$ দিনে কাজ শেষ করতে দৈনিক পরিশ্রম করে $\frac{6 \times 10 \times 7}{14 \times 6} = 5$ ঘণ্টা।
উত্তর:$5$ ঘণ্টা।
১১. মিতা একটি কাজ $10$ দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ $15$ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?
সমাধান:
মিতা $1$ দিনে করে $=\frac{1}{10}$ অংশ কাজ।
রিতা $1$ দিনে করে $=\frac{1}{15}$ অংশ কাজ।
মিতা ও রিতা একত্রে $1$ দিনে করে $= \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right) = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ অংশ কাজ।
$\therefore$ তারা একত্রে পুরো কাজ ($\frac{1}{1}$ অংশ) শেষ করতে সময় নিবে $= 1 \div \frac{1}{6} = 6$ দিন।
উত্তর:$6$ দিনে।
১২. বনভোজনে যাওয়ার জন্য $5700$ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। $5$ জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া $3$ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল?
সমাধান: ধরি, মোট যাত্রী সংখ্যা ছিল $x$ জন।
$\therefore$ মাথাপিছু ভাড়া হওয়ার কথা ছিল $= \frac{5700}{x}$ টাকা।
$5$ জন না যাওয়ায় বাসে গিয়েছিল $= (x – 5)$ জন।
$\therefore$ বর্তমান মাথাপিছু ভাড়া $= \frac{5700}{x – 5}$ টাকা।
প্রশ্নমতে,
$$\frac{5700}{x – 5} – \frac{5700}{x} = 3$$
$$\implies 5700 \left(\frac{1}{x – 5} – \frac{1}{x}\right) = 3$$
$$\implies 5700 \left(\frac{x – (x – 5)}{x(x – 5)}\right) = 3$$
$$\implies 5700 \left(\frac{5}{x^2 – 5x}\right) = 3$$
$$\implies \frac{28500}{x^2 – 5x} = 3$$
$$\implies 3(x^2 – 5x) = 28500$$
$$\implies x^2 – 5x = 9500$$
$$\implies x^2 – 5x – 9500 = 0$$
$$\implies x^2 – 100x + 95x – 9500 = 0$$
$$\implies x(x – 100) + 95(x – 100) = 0$$
$$\implies (x – 100)(x + 95) = 0$$
যেহেতু যাত্রীসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \neq -95 \implies x = 100$।
$\therefore$ বাসে যাত্রী গিয়েছিল $= 100 – 5 = 95$ জন।
উত্তর:$95$ জন।
১৩. একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে $p$ ঘণ্টায় $d$ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের অনুকূলে ঐ পথ যেতে তার $q$ ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?
সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ $= \frac{d}{p}$ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ $= \frac{d}{q}$ কি.মি./ঘণ্টা
আমরা জানি,
নৌকার বেগ$= \frac{1}{2} \times (\text{অনুকূলে বেগ} + \text{প্রতিকূলে বেগ}) = \frac{1}{2} \left(\frac{d}{q} + \frac{d}{p}\right) = \frac{d}{2} \left(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}\right) = \frac{d(p + q)}{2pq}$ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ$= \frac{1}{2} \times (\text{অনুকূলে বেগ} – \text{প্রতিকূলে বেগ}) = \frac{1}{2} \left(\frac{d}{q} – \frac{d}{p}\right) = \frac{d}{2} \left(\frac{1}{q} – \frac{1}{p}\right) = \frac{d(p – q)}{2pq}$ কি.মি./ঘণ্টা
উত্তর:
নৌকার বেগ $\frac{d(p + q)}{2pq}$ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $\frac{d(p – q)}{2pq}$ কি.মি./ঘণ্টা।
১৪. একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে $15$ কি.মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে $4$ ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে $5$ কি.মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে $3$ কি.মি. যায়। দাঁড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, স্থির পানিতে দাঁড়ের বেগ $x$ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $y$ কি.মি./ঘণ্টা।
$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে বেগ $= (x + y)$ কি.মি./ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে বেগ $= (x – y)$ কি.মি./ঘণ্টা
প্রশ্নমতে, $5$ কি.মি. অনুকূলে যেতে সময় $=$$3$ কি.মি. প্রতিকূলে যেতে সময়
$$\implies \frac{5}{x + y} = \frac{3}{x – y}$$
$$\implies 5x – 5y = 3x + 3y$$
$$\implies 2x = 8y \implies x = 4y$$
আবার, $15$ কি.মি. গিয়ে ফিরে আসতে মোট সময় লাগে $4$ ঘণ্টা:
$$\frac{15}{x + y} + \frac{15}{x – y} = 4$$
$x = 4y$ বসিয়ে পাই:
$$\frac{15}{4y + y} + \frac{15}{4y – y} = 4$$
$$\implies \frac{15}{5y} + \frac{15}{3y} = 4$$
$$\implies \frac{3}{y} + \frac{5}{y} = 4$$
$$\implies \frac{8}{y} = 4 \implies 4y = 8 \implies y = 2$$
$\therefore x = 4 \times 2 = 8$
উত্তর: দাঁড়ের বেগ $8$ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $2$ কি.মি./ঘণ্টা।
১৫. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি $t_1$ মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা $t_2$ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে $t_2 > t_1$)
সমাধান:
প্রথম নল দ্বারা $1$ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{1}{t_1}$ অংশ।
দ্বিতীয় নল দ্বারা $1$ মিনিটে খালি হয় $= \frac{1}{t_2}$ অংশ।
যেহেতু $t_2 > t_1$, তাই প্রথম নলের পানি প্রবেশের হার বেশি।
নল দুটি একত্রে খুলে দিলে $1$ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \left(\frac{1}{t_1} – \frac{1}{t_2}\right) = \frac{t_2 – t_1}{t_1 t_2}$ অংশ।
$\therefore$ সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি ($\frac{1}{1}$ অংশ) পূর্ণ হতে সময় লাগবে $= 1 \div \frac{t_2 – t_1}{t_1 t_2} = \frac{t_1 t_2}{t_2 – t_1}$ মিনিট।
উত্তর:$\frac{t_1 t_2}{t_2 – t_1}$ মিনিটে।
১৬. একটি নল দ্বারা 12 মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা 1 মিনিটে তা থেকে 15 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি 48 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?
সমাধান:
ধরি, চৌবাচ্চাটিতে মোট $V$ লিটার পানি ধরে।
প্রথম নল দিয়ে $12$ মিনিটে পূর্ণ হয় $V$ লিটার
$\therefore 1$ মিনিটে পানি প্রবেশ করে $=\frac{V}{12}$ লিটার।
দ্বিতীয় নল দিয়ে $1$ মিনিটে পানি বের হয় $= 15$ লিটার।
দুইটি নল একসাথে খোলা থাকলে $1$ মিনিটে মোট জমা হয় $=\left(\frac{V}{12} – 15\right)$ লিটার।
প্রশ্নমতে, দুইটি নল খোলা থাকলে $48$ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়:
$48 \times \left(\frac{V}{12} – 15\right) = V$
$\implies 48 \times \frac{V}{12} – 48 \times 15 = V$
$\implies 4V – 720 = V$
$\implies 4V – V = 720$
$\implies 3V = 720$
$\implies V = \frac{720}{3} = 240$
উত্তর: চৌবাচ্চাটিতে $240$ লিটার পানি ধরে।
১৭. ক, খ ও গ এর মধ্যে 260 টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের 2 গুণ, খ এর অংশের 3 গুণ এবং গ এর অংশের 4 গুণ পরস্পর সমান হয়।
সমাধান:
ধরি, ক, খ ও গ এর প্রাপ্য অংশ যথাক্রমে $A$, $B$ ও $C$ টাকা।
শর্তমতে, $2A = 3B = 4C = k$ (ধরি)
$\therefore A = \frac{k}{2}$, $B = \frac{k}{3}$ এবং $C = \frac{k}{4}$
প্রশ্নমতে, $A + B + C = 260$
$\implies \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 260$
$\implies \frac{6k + 4k + 3k}{12} = 260$
$\implies \frac{13k}{12} = 260$
$\implies 13k = 260 \times 12$
$\implies k = \frac{3120}{13} = 240$
$\therefore$ ক পায় $A = \frac{240}{2} = 120$ টাকা,
খ পায় $B = \frac{240}{3} = 80$ টাকা,
গ পায় $C = \frac{240}{4} = 60$ টাকা।
উত্তর: ক পায় $120$ টাকা, খ পায় $80$ টাকা এবং গ পায় $60$ টাকা।
১৮. একটি দ্রব্য $x\%$ ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, $3x\%$ লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে $18x$ টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
সমাধান: ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য $P$ টাকা।
$x\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= P – P \times \frac{x}{100} = P\left(1 – \frac{x}{100}\right)$ টাকা
$3x\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য $= P + P \times \frac{3x}{100} = P\left(1 + \frac{3x}{100}\right)$ টাকা
প্রশ্নমতে,
$P\left(1 + \frac{3x}{100}\right) – P\left(1 – \frac{x}{100}\right) = 18x$
$\implies P \left(1 + \frac{3x}{100} – 1 + \frac{x}{100}\right) = 18x$
$\implies P \left(\frac{4x}{100}\right) = 18x$
$\implies P \times 4x = 18x \times 100$
$\implies P = \frac{1800x}{4x} = 450$
উত্তর: দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ছিল $450$ টাকা।
১৯. একটি কলম 11 টাকায় বিক্রয় করলে 10% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
$10\%$ লাভে, ক্রয়মূল্য $100$ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য $= (100 + 10) = 110$ টাকা।
বিক্রয়মূল্য $110$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $100$ টাকা
$\therefore$ বিক্রয়মূল্য $1$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $\frac{100}{110}$ টাকা
$\therefore$ বিক্রয়মূল্য $11$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $\frac{100 \times 11}{110} = 10$ টাকা।
উত্তর: কলমটির ক্রয়মূল্য $10$ টাকা।
২০. একটি খাতা 36 টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, 72 টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো, খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
ধরি, খাতাটির ক্রয়মূল্য $P$ টাকা।
$36$ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় $= (P – 36)$ টাকা
$72$ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় $= (72 – P)$ টাকা
প্রশ্নমতে, $72 – P = 2(P – 36)$
$\implies 72 – P = 2P – 72$
$\implies 2P + P = 72 + 72$
$\implies 3P = 144$
$\implies P = \frac{144}{3} = 48$
উত্তর: খাতাটির ক্রয়মূল্য $48$ টাকা।
২১. মুনাফার একই হারে 300 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা ও 400 টাকার 5 বছরের সরল মুনাফা একত্রে 128 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
সমাধান: ধরি, মুনাফার হার $r\%$ বা $\frac{r}{100}$।
আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = Pnr$
$300$ টাকার $4$ বছরের মুনাফা $= 300 \times 4 \times \frac{r}{100} = 12r$ টাকা
$400$ টাকার $5$ বছরের মুনাফা $= 400 \times 5 \times \frac{r}{100} = 20r$ টাকা
প্রশ্নমতে, $12r + 20r = 128$
$\implies 32r = 128$
$\implies r = \frac{128}{32} = 4$
উত্তর: শতকরা মুনাফার হার $4\%$ (বা $4$ টাকা)।
২২. 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে, মূলধন কত?
সমাধান: ধরি, মূলধন $P$ টাকা।
মুনাফার হার $r = 4\% = \frac{4}{100} = 0.04$, সময় $n = 2$ বছর।
সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য $= Pnr – [P(1+r)^n – P]$
$= 2Pr – [P(1+r)^2 – P]$
$= 2Pr – [P(1+2r+r^2) – P]$
$= 2Pr – P +2Pr+Pr^2 + P$
$= Pr^2$
প্রশ্নমতে, $ Pr^2 = 1$
$\implies P (0.04)^2 = 1$
$\implies P \times 0.0016 = 1$
$\implies P = \frac{1}{0.0016} = 625$
উত্তর: মূলধন $625$ টাকা।
২৩. কোনো আসল 3 বছরে সরল মুনাফাসহ 460 টাকা এবং 5 বছরে সরল মুনাফাসহ 600 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
সমাধান:
আসল + $5$ বছরের মুনাফা $= 600$ টাকা
আসল + $3$ বছরের মুনাফা $= 460$ টাকা
(বিয়োগ করে পাই)
$\therefore 2$ বছরের মুনাফা $= 140$ টাকা
$\implies 1$ বছরের মুনাফা $= \frac{140}{2} = 70$ টাকা
$\therefore 3$ বছরের মুনাফা $= 70 \times 3 = 210$ টাকা
$\therefore$ আসল $= 460 – 210 = 250$ টাকা
$250$ টাকার $3$ বছরের মুনাফা $210$ টাকা
$\therefore$ শতকরা মুনাফার হার $r = \frac{I \times 100}{P \times n} = \frac{210 \times 100}{250 \times 3} = \frac{21000}{750} = 28\%$
উত্তর: শতকরা মুনাফার হার $28\%$।
২৪. শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা 13 বছরে সবৃদ্ধিমূল 990 টাকা হবে?
সমাধান:
ধরি, মূলধন (আসল) $= P$ টাকা।
মুনাফার হার $r = 5\% = \frac{5}{100} = 0.05$, সময় $n = 13$ বছর।
সবৃদ্ধিমূল (মুনাফা-আসল), $A = P(1 + nr)$
প্রশ্নমতে, $P(1 + 13 \times 0.05) = 990$
$\implies P(1 + 0.65) = 990$
$\implies 1.65 P = 990$
$\implies P = \frac{990}{1.65} = 600$
উত্তর: মূলধন $600$ টাকা।
২৫. 5% হার মুনাফায় 8000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে, মূলধন $P = 8000$ টাকা, সময় $n = 3$ বছর, মুনাফার হার $r = 5\% = \frac{5}{100} = 0.05$
সরল মুনাফা:
$I = Pnr = 8000 \times 3 \times 0.05 = 1200 \text{ টাকা}$
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা:
$C – P = P(1 + r)^n – P = 8000(1 + 0.05)^3 – 8000$
$= 8000(1.05)^3 – 8000 = 8000 \times 1.157625 – 8000$
$= 9261 – 8000 = 1261 \text{ টাকা}$
$\therefore \text{চক্রবৃদ্ধি মুনাফা – সরল মুনাফা} = 1261 – 1200 = 61 \text{ টাকা}$
উত্তর:$61$ টাকা।
২৬. মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) $x\%$। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ $P$ টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে? $x = 15, P = 2300$ হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?
সমাধান:
ভ্যাট ছাড়া মিষ্টির দাম $100$ টাকা হলে, $x\%$ ভ্যাটসহ দাম $= (100 + x)$ টাকা।
$100 + x$ টাকা ভ্যাটসহ দাম হলে ভ্যাটের পরিমাণ $x$ টাকা।
$\therefore P$ টাকা ভ্যাটসহ দাম হলে ভ্যাটের পরিমাণ $= \frac{P x}{100 + x}$ টাকা।
এখন, $x = 15$ এবং $P = 2300$ হলে:
$$\text{ভ্যাটের পরিমাণ} = \frac{2300 \times 15}{100 + 15} = \frac{34500}{115} = 300 \text{ টাকা}$$
উত্তর: ভ্যাটের পরিমাণ $\frac{P x}{100 + x}$ টাকা; প্রদত্ত মানে ভ্যাটের পরিমাণ $300$ টাকা।
২৭. দাঁড় বেয়ে একটি খালের $A$ বিন্দু থেকে $B$ বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে। দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?
সমাধান:
ধরি, $A$ থেকে $B$ এর দূরত্ব $d$, দাঁড়ের বেগ $v$, এবং স্রোতের বেগ $u$।
স্রোত না থাকলে:
যাওয়া ও আসার বেগ উভয় ক্ষেত্রেই $v$।
$\therefore$ মোট সময় $T_1 = \frac{d}{v} + \frac{d}{v} = \frac{2d}{v}$
স্রোত থাকলে:
অনুকূলে বেগ $= v + u$ এবং প্রতিকূলে বেগ $= v – u$।
$\therefore$ মোট সময় $T_2 = \frac{d}{v + u} + \frac{d}{v – u} = d \left( \frac{v – u + v + u}{v^2 – u^2} \right) = \frac{2dv}{v^2 – u^2}$
যেহেতু $v^2 – u^2 < v^2$, তাই $\frac{2dv}{v^2 – u^2} > \frac{2dv}{v^2} = \frac{2d}{v} \implies T_2 > T_1$।
উত্তর: স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে।
২৮. একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। 17 টি গরু 30 দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে 19 টি গরুর লাগে 24 দিন। একদল গরু 6 দিন ঘাস খাওয়ার পর 4 টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরও 2 দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল?
সমাধান:
ধরি, ১টি গরু ১ দিনে ১ একক ঘাস খায়।
মাঠের মূল ঘাস $= M$ একক এবং প্রতিদিন নতুন ঘাস জন্মায় $= g$ একক।
১৭টি গরুর ৩০ দিনের মোট ঘাস:
$M + 30g = 17 \times 30 = 510$
১৯টি গরুর ২৪ দিনের মোট ঘাস:
$M + 24g = 19 \times 24 = 456$
সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে পাই:
$$6g = 54 \implies g = 9 \text{ একক/দিন}$$
$\therefore M = 510 – 30(9) = 510 – 270 = 240 \text{ একক}$
ধরি, শুরুতে গরুর সংখ্যা ছিল $x$ টি।
তারা $6$ দিন ঘাস খাওয়ার পর গরু থাকে $(x – 4)$ টি, যারা আরও $2$ দিন খায় (মোট সময় $6 + 2 = 8$ দিন)।
মোট ঘাসের সমীকরণ:
$$\text{মোট ঘাস} = M + 8g = 240 + 8(9) = 312 \text{ একক}$$
গরুগুলোর খাওয়া ঘাস:
$$6 \times x + 2 \times (x – 4) = 312$$
$$\implies 6x + 2x – 8 = 312$$
$$\implies 8x = 320$$
$$\implies x = 40$$
উত্তর: দলটিতে শুরুতে $40$ টি গরু ছিল।
২৯. দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওনা হয়ে 20 মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মুহূর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘণ্টায় 4 মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) 10 মাইল হলে সর্বনিম্ন কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?
সমাধান:
ধরি, প্রথম ভাই $= A$, দ্বিতীয় ভাই $= B$।
সর্বনিম্ন সময়ে পৌঁছাতে হলে ঘোড়াটিকে অবিরাম চলতে হবে এবং দুই ভাইকেই একই সাথে গন্তব্যে পৌঁছাতে হবে।
ধরি, $A$ ঘোড়ায় চড়ে $x$ মাইল যাওয়ার পর ঘোড়া থেকে নেমে হাঁটতে শুরু করে।
ঘোড়া সেখান থেকে ফিরে এসে $B$-কে নিয়ে আবার মেলার দিকে রওনা দেয় এবং $A$ ও $B$ একই সময়ে মেলায় পৌঁছায়।
প্রতিটি ভাইয়ের মোট হাঁটা পথ $y$ মাইল হলে, চড়া পথ $(20 – y)$ মাইল।
সময় সমান হওয়ার শর্তানুসারে জ্যামিতিক ও গতিবেগের অনুপাত বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, হেঁটে ও চড়ে অতিক্রম করা পথের অনুপাত:
$$\frac{\text{চড়া পথ}}{\text{হাঁটা পথ}} = \frac{v_{\text{ঘোড়া}} + v_{\text{মানুষ}}}{2 \times v_{\text{মানুষ}}} = \frac{10 + 4}{2 \times 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$$
অথবা সরাসরি সময় হিসাবের মাধ্যমে:
ধরি, $A$ চড়ে $x$ মাইল এবং হাঁটে $(20 – x)$ মাইল।
হাঁটার সময় $+ \text{চড়ার সময়} = \frac{x}{10} + \frac{20 – x}{4}$
সুষম বিন্যাস ও প্রতিসাম্যতার কারণে উভয় ভাই সমপরিমাণ পথ হাঁটবে ও চড়বে।
হাঁটা ও চড়ার পথ যথাক্রমে $y$ এবং $(20 – y)$ হলে:
$$y = 20 \times \frac{3}{8} = 7.5 \text{ মাইল}$$
$\therefore$ প্রতিটি ভাই হাঁটবে $= 7.5$ মাইল এবং চড়বে $= 12.5$ মাইল।
সর্বনিম্ন সময়:
$$\text{সময়} = \frac{12.5}{10} + \frac{7.5}{4} = 1.25 + 1.875 = 3.125 \text{ ঘণ্টা} = 3 \text{ ঘণ্টা } 7.5 \text{ মিনিট}$$
উত্তর: সর্বনিম্ন সময় $3.125$ ঘণ্টা (বা ৩ ঘণ্টা ৭ মিনিট ৩০ সেকেন্ড); প্রতিটি ভাই $7.5$ মাইল পথ হাঁটবে।
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১. $\frac{1}{2}\{(a + b)^2 – (a – b)^2\}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি, $(a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab$
$\therefore \frac{1}{2}\{(a + b)^2 – (a – b)^2\} = \frac{1}{2} \times 4ab = 2ab$
উত্তর: গ) $2ab$
২. $3a^5 – 6a^4 + 3a + 14$ একটি বীজগণিতীয় রাশি হলে—
(i) রাশিটির চলক $a$
(ii) রাশিটির মাত্রা $5$
(iii)$a^4$ এর সহগ $6$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
- রাশিটিতে একটিই অজানা চিহ্ন $a$ রয়েছে, তাই চলক $a$(i সঠিক)।
- চলকের সর্বোচ্চ ঘাত (পাওয়ার) $5$, তাই মাত্রা $5$(ii সঠিক)।
- $a^4$ পদের সহগ হলো $-6$ (শুধু $6$ নয়), তাই (iii ভুল)।
উত্তর: ক) $i, ii$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ হলে, ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান কত?
সমাধান:
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$$$$= (\sqrt{3})^2 – 2 = 3 – 2 = 1$$
উত্তর: গ) $1$
৪. $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান কত?
সমাধান:
$$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right)$$$$= (\sqrt{3})^3 – 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} – 3\sqrt{3} = 0$$
উত্তর: ঘ) $0$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. $x + \frac{1}{x} = 3$ এবং $p^2 + \frac{1}{p^2} = 7$
(ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $a^4 – 7a^2 – 18$
সমাধান: $a^4 – 7a^2 – 18$
$= a^4 – 9a^2 + 2a^2 – 18$
$= a^2(a^2 – 9) + 2(a^2 – 9)$
$= (a^2 – 9)(a^2 + 2)$
$= (a^2 – 3^2)(a^2 + 2)$
$= (a + 3)(a – 3)(a^2 + 2)$
উত্তর:$(a + 3)(a – 3)(a^2 + 2)$
(খ) $\left(x^3 – \frac{1}{x^3}\right)$-এর মান নির্ণয় করো; যখন $x > 1$।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 3$
আমরা জানি,
$\left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
বা, $ \left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = (3)^2 – 4 = 9 – 4 = 5$
$\therefore x – \frac{1}{x} = \sqrt{5} \quad [\text{যেহেতু } x > 1 \text{, তাই } x – \frac{1}{x} > 0]$
এখন,
$x^3 – \frac{1}{x^3} = \left(x – \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left(x – \frac{1}{x}\right)$
$= (\sqrt{5})^3 + 3(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
উত্তর:$8\sqrt{5}$
(গ) প্রমাণ করো যে, $p^5 + \frac{1}{p^5} = 123$, যখন $p > 0$।
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $p^2 + \frac{1}{p^2} = 7$
আমরা জানি,
$\left(p + \frac{1}{p}\right)^2 = p^2 + \frac{1}{p^2} + 2 = 7 + 2 = 9$
$\therefore p + \frac{1}{p} = \sqrt{9} = 3 \quad [\text{যেহেতু } p > 0]$
এখন,
$p^3 + \frac{1}{p^3} = \left(p + \frac{1}{p}\right)^3 – 3\left(p + \frac{1}{p}\right)$
$= (3)^3 – 3(3) = 27 – 9 = 18$
এবার, $\left(p^3 + \frac{1}{p^3}\right)$ এবং $\left(p^2 + \frac{1}{p^2}\right)$ গুণ করে পাই:
$\left(p^3 + \frac{1}{p^3}\right)\left(p^2 + \frac{1}{p^2}\right) = 18 \times 7$
$\implies p^5 + p + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^5} = 126$
$\implies \left(p^5 + \frac{1}{p^5}\right) + \left(p + \frac{1}{p}\right) = 126$
$\implies \left(p^5 + \frac{1}{p^5}\right) + 3 = 126$
$\implies p^5 + \frac{1}{p^5} = 126 – 3$
$\therefore p^5 + \frac{1}{p^5} = 123 \quad \text{(প্রমাণিত)}$
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. (ক) $a^2 + b^2 = 25$ এবং $ab = 12$ হলে, $(a^2 – b^2)$-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি,
$(a^2 – b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2 – 4a^2b^2$
$= (a^2 + b^2)^2 – 4(ab)^2$
$= (25)^2 – 4(12)^2 = 625 – 4(144) = 625 – 576 = 49$
$\therefore a^2 – b^2 = \pm \sqrt{49} = \pm 7$
উত্তর:$\pm 7$
(খ) $x^3 – y^3 = 208$ এবং $x – y = 4$ হলে, $xy$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি,
$x^3 – y^3 = (x – y)^3 + 3xy(x – y)$
$\implies 208 = (4)^3 + 3xy(4)$
$\implies 208 = 64 + 12xy$
$\implies 12xy = 208 – 64$
$\implies 12xy = 144$
$\implies xy = \frac{144}{12} = 12$
উত্তর:$12$
(গ) শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার মুনাফায় কত টাকা 12 বছরে সবৃদ্ধিমূল 1280 টাকা হবে?
সমাধান:
ধরি, মূলধন $= P$ টাকা।
মুনাফার হার $r = 5\% = \frac{5}{100} = 0.05$, সময় $n = 12$ বছর।
সবৃদ্ধিমূল (মুনাফা-আসল), $A = P(1 + nr)$
$\implies 1280 = P(1 + 12 \times 0.05)$
$\implies 1280 = P(1 + 0.60)$
$\implies 1280 = 1.6 P$
$\implies P = \frac{1280}{1.6} = 800$
উত্তর:$800$ টাকা।
(ঘ) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $2x^3 – 4x^2 + 3x – 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3x – 1$
$f(1) = 2(1)^3 – 4(1)^2 + 3(1) – 1 = 2 – 4 + 3 – 1 = 0$
$\therefore (x – 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
এখন,
$2x^3 – 4x^2 + 3x – 1$
$= 2x^3 – 2x^2 – 2x^2 + 2x + x – 1$
$= 2x^2(x – 1) – 2x(x – 1) + 1(x – 1)$
$= (x – 1)(2x^2 – 2x + 1)$
উত্তর:$(x – 1)(2x^2 – 2x + 1)$