অনুশীলনী ৩.৪: উৎপাদকে বিশ্লেষণ
১. $3a^3 + 2a + 5$
সমাধান: ধরি, $f(a) = 3a^3 + 2a + 5$
$f(a)$ একটি বহুপদী। $a = -1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1) + 5 = -3 – 2 + 5 = 0$
ফলে $(a + 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(a) = 3a^3 + 2a + 5$
$= 3a^3 + 3a^2 – 3a^2 – 3a + 5a + 5$
$= 3a^2(a + 1) – 3a(a + 1) + 5(a + 1)$
$= (a + 1)(3a^2 – 3a + 5)$
উত্তর:$(a + 1)(3a^2 – 3a + 5)$
২. $x^3 – 7xy^2 – 6y^3$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 – 7xy^2 – 6y^3$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = -y$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-y) = (-y)^3 – 7(-y)y^2 – 6y^3 = -y^3 + 7y^3 – 6y^3 = 0$
ফলে $(x + y)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 – 7xy^2 – 6y^3$
$= x^3 + x^2y – x^2y – xy^2 – 6xy^2 – 6y^3$
$= x^2(x + y) – xy(x + y) – 6y^2(x + y)$
$= (x + y)(x^2 – xy – 6y^2)$
$= (x + y)(x^2 – 3xy + 2xy – 6y^2)$
$= (x + y)\{x(x – 3y) + 2y(x – 3y)\}$
$= (x + y)(x – 3y)(x + 2y)$
উত্তর:$(x + y)(x + 2y)(x – 3y)$
৩. $x^3 + 2x^2 – 5x – 6$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = -1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0$
ফলে $(x + 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6$
$= x^3 + x^2 + x^2 + x – 6x – 6$
$= x^2(x + 1) + x(x + 1) – 6(x + 1)$
$= (x + 1)(x^2 + x – 6)$
$= (x + 1)(x^2 + 3x – 2x – 6)$
$= (x + 1)\{x(x + 3) – 2(x + 3)\}$
$= (x + 1)(x + 3)(x – 2)$
উত্তর:$(x + 1)(x – 2)(x + 3)$
৪. $x^3 + 4x^2 + x – 6$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 + 4x^2 + x – 6$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = 1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(1) = 1^3 + 4(1)^2 + 1 – 6 = 1 + 4 + 1 – 6 = 0$
ফলে $(x – 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 + 4x^2 + x – 6$
$= x^3 – x^2 + 5x^2 – 5x + 6x – 6$
$= x^2(x – 1) + 5x(x – 1) + 6(x – 1)$
$= (x – 1)(x^2 + 5x + 6)$
$= (x – 1)(x^2 + 3x + 2x + 6)$
$= (x – 1)\{x(x + 3) + 2(x + 3)\}$
$= (x – 1)(x + 3)(x + 2)$
উত্তর:$(x – 1)(x + 2)(x + 3)$
৫. $a^3 + 3a + 36$
সমাধান: ধরি, $f(a) = a^3 + 3a + 36$
$f(a)$ একটি বহুপদী। $a = -3$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3) + 36 = -27 – 9 + 36 = 0$
ফলে $(a + 3)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(a) = a^3 + 3a + 36$
$= a^3 + 3a^2 – 3a^2 – 9a + 12a + 36$
$= a^2(a + 3) – 3a(a + 3) + 12(a + 3)$
$= (a + 3)(a^2 – 3a + 12)$
উত্তর:$(a + 3)(a^2 – 3a + 12)$
৬. $a^4 – 4a + 3$
সমাধান: ধরি, $f(a) = a^4 – 4a + 3$
$f(a)$ একটি বহুপদী। $a = 1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(1) = 1^4 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0$
ফলে $(a – 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(a) = a^4 – 4a + 3$
$= a^4 – a^3 + a^3 – a^2 + a^2 – a – 3a + 3$
$= a^3(a – 1) + a^2(a – 1) + a(a – 1) – 3(a – 1)$
$= (a – 1)(a^3 + a^2 + a – 3)$
আবার, $g(a) = a^3 + a^2 + a – 3$ ধরলে, $g(1) = 1 + 1 + 1 – 3 = 0$
অতএব, $(a – 1)$ আবার একটি উৎপাদক।
$= (a – 1)(a^3 – a^2 + 2a^2 – 2a + 3a – 3)$
$= (a – 1)\{a^2(a – 1) + 2a(a – 1) + 3(a – 1)\}$
$= (a – 1)(a – 1)(a^2 + 2a + 3)$
$= (a – 1)^2(a^2 + 2a + 3)$
উত্তর:$(a – 1)^2(a^2 + 2a + 3)$
৭. $a^3 – a^2 – 10a – 8$
সমাধান: ধরি, $f(a) = a^3 – a^2 – 10a – 8$
$f(a)$ একটি বহুপদী। $a = -1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-1) = (-1)^3 – (-1)^2 – 10(-1) – 8 = -1 – 1 + 10 – 8 = 0$
ফলে $(a + 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(a) = a^3 – a^2 – 10a – 8$
$= a^3 + a^2 – 2a^2 – 2a – 8a – 8$
$= a^2(a + 1) – 2a(a + 1) – 8(a + 1)$
$= (a + 1)(a^2 – 2a – 8)$
$= (a + 1)(a^2 – 4a + 2a – 8)$
$= (a + 1)\{a(a – 4) + 2(a – 4)\}$
$= (a + 1)(a – 4)(a + 2)$
উত্তর:$(a + 1)(a + 2)(a – 4)$
৮. $x^3 – 3x^2 + 4x – 4$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x – 4$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = 2$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 4(2) – 4 = 8 – 12 + 8 – 4 = 0$
ফলে $(x – 2)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x – 4$
$= x^3 – 2x^2 – x^2 + 2x + 2x – 4$
$= x^2(x – 2) – x(x – 2) + 2(x – 2)$
$= (x – 2)(x^2 – x + 2)$
উত্তর:$(x – 2)(x^2 – x + 2)$
৯. $a^3 – 7a^2b + 7ab^2 – b^3$
সমাধান: ধরি, $f(a) = a^3 – 7a^2b + 7ab^2 – b^3$
$f(a)$ একটি বহুপদী। $a = b$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(b) = b^3 – 7b^3 + 7b^3 – b^3 = 0$
ফলে $(a – b)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(a) = a^3 – 7a^2b + 7ab^2 – b^3$
$= a^3 – a^2b – 6a^2b + 6ab^2 + ab^2 – b^3$
$= a^2(a – b) – 6ab(a – b) + b^2(a – b)$
$= (a – b)(a^2 – 6ab + b^2)$
উত্তর:$(a – b)(a^2 – 6ab + b^2)$
১০. $x^3 – x – 24$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 – x – 24$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = 3$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(3) = 3^3 – 3 – 24 = 27 – 27 = 0$
ফলে $(x – 3)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 – x – 24$
$= x^3 – 3x^2 + 3x^2 – 9x + 8x – 24$
$= x^2(x – 3) + 3x(x – 3) + 8(x – 3)$
$= (x – 3)(x^2 + 3x + 8)$
উত্তর:$(x – 3)(x^2 + 3x + 8)$
১১. $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
সমাধান: ধরি, $f(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = -1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 – 11 + 6 = 0$
ফলে $(x + 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
$= x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6$
$= x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1)$
$= (x + 1)(x^2 + 5x + 6)$
$= (x + 1)(x^2 + 3x + 2x + 6)$
$= (x + 1)\{x(x + 3) + 2(x + 3)\}$
$= (x + 1)(x + 2)(x + 3)$
উত্তর:$(x + 1)(x + 2)(x + 3)$
১২. $2x^4 – 3x^3 – 3x – 2$
সমাধান: ধরি, $f(x) = 2x^4 – 3x^3 – 3x – 2$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = 2$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(2) = 2(2)^4 – 3(2)^3 – 3(2) – 2 = 32 – 24 – 6 – 2 = 0$
ফলে $(x – 2)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = 2x^4 – 3x^3 – 3x – 2$
$= 2x^4 – 4x^3 + x^3 – 2x^2 + 2x^2 – 4x + x – 2$
$= 2x^3(x – 2) + x^2(x – 2) + 2x(x – 2) + 1(x – 2)$
$= (x – 2)(2x^3 + x^2 + 2x + 1)$
$= (x – 2)\{x^2(2x + 1) + 1(2x + 1)\}$
$= (x – 2)(2x + 1)(x^2 + 1)$
উত্তর:$(x – 2)(2x + 1)(x^2 + 1)$
১৩. $4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$
সমাধান: ধরি, $f(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = -1$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f(-1) = 4(-1)^4 + 12(-1)^3 + 7(-1)^2 – 3(-1) – 2 = 4 – 12 + 7 + 3 – 2 = 0$
ফলে $(x + 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$
$= 4x^4 + 4x^3 + 8x^3 + 8x^2 – x^2 – x – 2x – 2$
$= 4x^3(x + 1) + 8x^2(x + 1) – x(x + 1) – 2(x + 1)$
$= (x + 1)(4x^3 + 8x^2 – x – 2)$
$= (x + 1)\{4x^2(x + 2) – 1(x + 2)\}$
$= (x + 1)(x + 2)(4x^2 – 1)$
$= (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x – 1)$
উত্তর:$(x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x – 1)$
১৪. $x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x$
সমাধান: $x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x$
$= x(x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1)$
$= x\{x^4(x – 1) + x^2(x – 1) + 1(x – 1)\}$
$= x(x – 1)(x^4 + x^2 + 1)$
$= x(x – 1)\{(x^2)^2 + 2x^2 + 1 – x^2\}$
$= x(x – 1)\{(x^2 + 1)^2 – x^2\}$
$= x(x – 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1)$
উত্তর:$x(x – 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1)$
১৫. $4x^3 – 5x^2 + 5x – 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 4x^3 – 5x^2 + 5x – 1$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = \frac{1}{4}$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f\left(\frac{1}{4}\right) = 4\left(\frac{1}{64}\right) – 5\left(\frac{1}{16}\right) + 5\left(\frac{1}{4}\right) – 1 = \frac{1 – 5 + 20 – 16}{16} = 0$
ফলে $\left(x – \frac{1}{4}\right)$ বা $(4x – 1)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = 4x^3 – 5x^2 + 5x – 1$
$= 4x^3 – x^2 – 4x^2 + x + 4x – 1$
$= x^2(4x – 1) – x(4x – 1) + 1(4x – 1)$
$= (4x – 1)(x^2 – x + 1)$
উত্তর:$(4x – 1)(x^2 – x + 1)$
১৬. $18x^3 + 15x^2 – x – 2$
সমাধান: ধরি, $f(x) = 18x^3 + 15x^2 – x – 2$
$f(x)$ একটি বহুপদী। $x = -\frac{2}{3}$ বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।
কারণ, $f\left(-\frac{2}{3}\right) = 18\left(-\frac{8}{27}\right) + 15\left(\frac{4}{9}\right) – \left(-\frac{2}{3}\right) – 2 = -\frac{16}{3} + \frac{20}{3} + \frac{2}{3} – 2 = 0$
ফলে $\left(x + \frac{2}{3}\right)$ বা $(3x + 2)$ বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
$\therefore f(x) = 18x^3 + 15x^2 – x – 2$
$= 18x^3 + 12x^2 + 3x^2 + 2x – 3x – 2$
$= 6x^2(3x + 2) + x(3x + 2) – 1(3x + 2)$
$= (3x + 2)(6x^2 + x – 1)$
$= (3x + 2)(6x^2 + 3x – 2x – 1)$
$= (3x + 2)\{3x(2x + 1) – 1(2x + 1)\}$
$= (3x + 2)(2x + 1)(3x – 1)$
উত্তর:$(3x + 2)(3x – 1)(2x + 1)$