অনুশীলনী ৩.১: বীজগাণিতিক রাশি (বর্গ ও বর্গ সংবলিত)
১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করো:
ক) $2a + 3b$
সমাধান: $(2a + 3b)^2$
$= (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2$
$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$
উত্তর: $4a^2 + 12ab + 9b^2$
খ) $x^2 + \frac{2}{y^2}$
সমাধান: $\left(x^2 + \frac{2}{y^2}\right)^2$
$= (x^2)^2 + 2 \cdot (x^2) \cdot \left(\frac{2}{y^2}\right) + \left(\frac{2}{y^2}\right)^2$
$= x^4 + \frac{4x^2}{y^2} + \frac{4}{y^4}$
উত্তর: $x^4 + \frac{4x^2}{y^2} + \frac{4}{y^4}$
গ) $4y – 5x$
সমাধান: $(4y – 5x)^2$
$= (4y)^2 – 2 \cdot (4y) \cdot (5x) + (5x)^2$
$= 16y^2 – 40xy + 25x^2$
উত্তর: $16y^2 – 40xy + 25x^2$
ঘ) $5x^2 – y$
সমাধান: $(5x^2 – y)^2$
$= (5x^2)^2 – 2 \cdot (5x^2) \cdot y + y^2$
$= 25x^4 – 10x^2y + y^2$
উত্তর: $25x^4 – 10x^2y + y^2$
ঙ) $3b – 5c – 2a$
সমাধান: $(3b – 5c – 2a)^2$
$= \{(3b – 5c) – 2a\}^2$
$= (3b – 5c)^2 – 2 \cdot (3b – 5c) \cdot (2a) + (2a)^2$
$= (3b)^2 – 2 \cdot (3b) \cdot (5c) + (5c)^2 – 4a(3b – 5c) + 4a^2$
$= 9b^2 – 30bc + 25c^2 – 12ab + 20ca + 4a^2$
$= 4a^2 + 9b^2 + 25c^2 – 12ab – 30bc + 20ca$
উত্তর: $4a^2 + 9b^2 + 25c^2 – 12ab – 30bc + 20ca$
চ) $ax – by – cz$
সমাধান: $(ax – by – cz)^2$
$= \{ax – (by + cz)\}^2$
$= (ax)^2 – 2 \cdot (ax) \cdot (by + cz) + (by + cz)^2$
$= a^2x^2 – 2abxy – 2acxz + b^2y^2 + 2bcyz + c^2z^2$
$= a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 – 2abxy + 2bcyz – 2acxz$
উত্তর: $a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 – 2abxy + 2bcyz – 2acxz$
ছ) $2a + 3x – 2y – 5z$
সমাধান: $(2a + 3x – 2y – 5z)^2 $
$= \{(2a + 3x) – (2y + 5z)\}^2$
$= (2a + 3x)^2 – 2(2a + 3x)(2y + 5z) + (2y + 5z)^2$
$= (4a^2 + 12ax + 9x^2) – 2(4ay + 10az + 6xy + 15xz) + (4y^2 + 20yz + 25z^2)$
$= 4a^2 + 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12ax – 8ay – 20az – 12xy – 30xz + 20yz$
উত্তর: $4a^2 + 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12ax – 8ay – 20az – 12xy – 30xz + 20yz$
জ) $1007$
সমাধান: $(1007)^2$
$= (1000 + 7)^2$
$= (1000)^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 7 + 7^2$
$= 1000000 + 14000 + 49$
$= 1014049$
উত্তর: $1014049$
২. সরল করো:
ক) $(7p + 3q – 5r)^2 – 2(7p + 3q – 5r)(8p – 4q – 5r) + (8p – 4q – 5r)^2$
সমাধান: ধরি, $7p + 3q – 5r = a$ এবং $8p – 4q – 5r = b$
প্রদত্ত রাশি $= a^2 – 2ab + b^2$
$= (a – b)^2$
$= \{(7p + 3q – 5r) – (8p – 4q – 5r)\}^2$
$= (7p + 3q – 5r – 8p + 4q + 5r)^2$
$= (-p + 7q)^2$
$= (7q – p)^2$
$= (7q)^2 – 2(7q)(p) + p^2$
$= 49q^2 – 14pq + p^2$
উত্তর: $p^2 – 14pq + 49q^2$
খ) $(2m + 3n – p)^2 + (2m – 3n + p)^2 – 2(2m + 3n – p)(2m – 3n + p)$
সমাধান: ধরি, $2m + 3n – p = a$ এবং $2m – 3n + p = b$
প্রদত্ত রাশি $= a^2 + b^2 – 2ab$
$= (a – b)^2$
$= \{(2m + 3n – p) – (2m – 3n + p)\}^2$
$= (2m + 3n – p – 2m + 3n – p)^2$
$= (6n – 2p)^2$
$= (6n)^2 – 2(6n)(2p) + (2p)^2$
$= 36n^2 – 24np + 4p^2$
উত্তর: $36n^2 – 24np + 4p^2$
গ) $6.35 \times 6.35 + 2 \times 6.35 \times 3.65 + 3.65 \times 3.65$
সমাধান: ধরি, $a = 6.35$ এবং $b = 3.65$
প্রদত্ত রাশি $= a^2 + 2ab + b^2$
$= (a + b)^2$
$= (6.35 + 3.65)^2$
$= (10)^2$
$= 100$
উত্তর: $100$
ঘ) $\frac{2345 \times 2345 – 759 \times 759}{2345 – 759}$
সমাধান: ধরি, $a = 2345$ এবং $b = 759$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{a^2 – b^2}{a – b}$
$= \frac{(a + b)(a – b)}{a – b}$
$= a + b$
$= 2345 + 759$
$= 3104$
উত্তর: $3104$
৩. $a – b = 4$ এবং $ab = 60$ হলে, $a + b$ এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$
$= (4)^2 + 4 \times 60$
$= 16 + 240$
$= 256$
$\implies a + b = \pm \sqrt{256} = \pm 16$
উত্তর: $\pm 16$
৪. $a + b = 9m$ এবং $ab = 18m^2$ হলে, $a – b$ এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab$
$= (9m)^2 – 4(18m^2)$
$= 81m^2 – 72m^2$
$= 9m^2$
$\implies a – b = \pm \sqrt{9m^2} = \pm 3m$
উত্তর: $\pm 3m$
৫. $x – \frac{1}{x} = 4$ হলে, প্রমাণ করো যে, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 322$
প্রমাণ:
বামপক্ষ $= x^4 + \frac{1}{x^4}$
$= (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2$
$= \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$
$= \left\{\left(x – \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\right\}^2 – 2$
$= \{(4)^2 + 2\}^2 – 2$
$= (16 + 2)^2 – 2$
$= (18)^2 – 2 = 324 – 2 = 322 = \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)
৬. $2x + \frac{2}{x} = 3$ হলে, $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $2\left(x + \frac{1}{x}\right) = 3$
$\implies x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$
প্রদত্ত রাশি $= x^2 + \frac{1}{x^2}$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$$
$= \left(\frac{3}{2}\right)^2 – 2$
$= \frac{9}{4} – 2$
$= \frac{9 – 8}{4}$
$= \frac{1}{4}$
উত্তর: $\frac{1}{4}$
৭. $a + \frac{1}{a} = 2$ হলে, দেখাও যে, $a^2 + \frac{1}{a^2} = a^4 + \frac{1}{a^4}$
প্রমাণ:
বামপক্ষ $= a^2 + \frac{1}{a^2}$
$= \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2$
$= (2)^2 – 2$
$= 4 – 2$
$= 2$
ডানপক্ষ $= a^4 + \frac{1}{a^4}$
$= \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 – 2$
$= (2)^2 – 2$
$= 4 – 2$
$= 2$
অতএব, বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৮. $a + b = \sqrt{7}$ এবং $a – b = \sqrt{5}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $8ab(a^2 + b^2) = 24$
সমাধান:
বামপক্ষ $= 8ab(a^2 + b^2)$
$= 4ab \cdot 2(a^2 + b^2)$
$= \{(a + b)^2 – (a – b)^2\} \cdot \{(a + b)^2 + (a – b)^2\}$
$= \{(\sqrt{7})^2 – (\sqrt{5})^2\} \cdot \{(\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2\}$
$= (7 – 5)(7 + 5)$
$= 2 \times 12$
$= 24$
$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)
৯. $a + b + c = 9$ এবং $ab + bc + ca = 31$ হলে, $a^2 + b^2 + c^2$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca)$
$= (9)^2 – 2(31)$
$= 81 – 62$
$= 19$
উত্তর: $19$
১০. $a^2 + b^2 + c^2 = 9$ এবং $ab + bc + ca = 8$ হলে, $(a + b + c)^2$ এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $(a + b + c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)$
$= 9 + 2(8)$
$= 9 + 16$
$= 25$
উত্তর: $25$
১১. $a + b + c = 6$ এবং $a^2 + b^2 + c^2 = 14$ হলে, $(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 =$ কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $2(ab + bc + ca) = (a + b + c)^2 – (a^2 + b^2 + c^2)$
$= 6^2 – 14$
$= 36 – 14$
$= 22$
প্রদত্ত রাশি $= (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2$
$= (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2)$
$= 2(a^2 + b^2 + c^2) – 2(ab + bc + ca)$
$= 2(14) – 22$
$= 28 – 22$
$= 6$
উত্তর: $6$
১২. $x = 3, y = 4$ এবং $z = 5$ হলে, $9x^2 + 16y^2 + 4z^2 – 24xy – 16yz + 12zx =$ কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= (3x)^2 + (-4y)^2 + (2z)^2 + 2(3x)(-4y) + 2(-4y)(2z) + 2(2z)(3x)$
$= (3x – 4y + 2z)^2$ [$x = 3, y = 4, z = 5$ বসিয়ে পাই]
$= (3(3) – 4(4) + 2(5))^2$
$= (9 – 16 + 10)^2$
$= (3)^2$
$= 9$
উত্তর: $9$
১৩. $(a + 2b)(3a + 2c)$ কে দুটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করো।
সমাধান: ধরি, $x = a + 2b$ এবং $y = 3a + 2c$
আমরা জানি, $xy = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 – \left(\frac{x – y}{2}\right)^2$
এখানে,
$x + y = (a + 2b) + (3a + 2c) = 4a + 2b + 2c$
$\implies \frac{x + y}{2} = \frac{4a + 2b + 2c}{2} = 2a + b + c$
এবং
$x – y = (a + 2b) – (3a + 2c) = -2a + 2b – 2c$
$\implies \frac{x – y}{2} = \frac{-2a + 2b – 2c}{2} = b – a – c$
অতএব,
$(a + 2b)(3a + 2c) = (2a + b + c)^2 – (b – a – c)^2$
উত্তর: $(2a + b + c)^2 – (b – a – c)^2$
১৪. $x^2 + 10x + 24$ কে দুটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করো।
সমাধান: $x^2 + 10x + 24$
$= x^2 + 10x + 25 – 1$
$= (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + (5)^2 – (1)^2$
$= (x + 5)^2 – (1)^2$
উত্তর: $(x + 5)^2 – 1^2$
১৫. $a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8$ এবং $a^2 + ab + b^2 = 4$ হলে,
ক) $a^2 + b^2$, খ) $ab$ এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8$
বা, $(a^2 + b^2)^2 – a^2b^2 = 8$
বা, $(a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2) = 8$
বা, $ (a^2 – ab + b^2) \times 4 = 8$
বা, $a^2 – ab + b^2 = 2$ …….. (১)
দেওয়া আছে, $a^2 + ab + b^2 = 4$ …….. (২)
ক) (১) ও (২) নং যোগ করে পাই:
$2(a^2 + b^2) = 6 \implies a^2 + b^2 = 3$
উত্তর (ক): $3$
খ) (২) নং থেকে (১) নং বিয়োগ করে পাই:
$2ab = 2 \implies ab = 1$
উত্তর (খ): $1$