অনুশীলনী ২.২: সেট ও ফাংশন
১. $8$ এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?
ক) $\{8, 16, 24, \dots\}$
খ) $\{1, 2, 4, 8\}$
গ) $\{2, 4, 8\}$
ঘ) $\{1, 2\}$
সমাধান:
$8$ কে যেসব সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় সেগুলো হলো $8$ এর গুণনীয়ক।
$8$ এর গুণনীয়কসমূহ হলো: $1, 2, 4, 8$
উত্তর: খ) $\{1, 2, 4, 8\}$
২. সেট $C$ হতে সেট $B$ এ একটি সম্পর্ক $R$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) $R \subseteq C$
খ) $R \subseteq B$
গ) $R \subseteq C \times B$
ঘ) $C \times B \subseteq R$
সমাধান:
অন্বয় বা সম্পর্কের সংজ্ঞানুসারে, সেট $C$ হতে সেট $B$ এ একটি সম্পর্ক $R$ হলে, $R$ হবে কার্তেশীয় গুণজ $C \times B$ এর একটি উপসেট। অর্থাৎ $R \subseteq C \times B$।
উত্তর: গ) $R \subseteq C \times B$
৩. $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 5\}$ হলে $P(A \cap B)$ এর সদস্য সংখ্যা নিচের কোনটি?
ক) $1$
খ) $2$
গ) $3$
ঘ) $8$
সমাধান:
প্রথমে, $A \cap B = \{1, 2\} \cap \{2, 5\} = \{2\}$
এখানে $A \cap B$ সেটের উপাদান সংখ্যা $n = 1$
পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র $2^n$ অনুসারে,
$P(A \cap B)$ এর সদস্য সংখ্যা $= 2^1 = 2$
উত্তর: খ) $2$
৪. নিচের কোনটি $\{x \in \mathbb{N} : 13 < x < 17 \text{ এবং } x \text{ মৌলিক সংখ্যা}\}$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে?
ক) $\emptyset$
খ) $\{\emptyset\}$
গ) $\{13, 17\}$
ঘ) $\{14, 15, 16\}$
সমাধান:
$13$ অপেক্ষা বড় এবং $17$ অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো: $14, 15, 16$
এদের মধ্যে কোনটিই মৌলিক সংখ্যা নয় ($14 = 2 \times 7$, $15 = 3 \times 5$, $16 = 2 \times 8$)।
যেহেতু কোনো মান শর্ত পূরণ করে না, তাই এটি একটি ফাঁকা সেট $\emptyset$।
উত্তর: ক) $\emptyset$
৫. যদি $A = \{3, 4\}$, $B = \{2, 4\}$, $x \in A$ এবং $y \in B$ হয়, তবে $A$ ও $B$ এর উপাদানগুলোর মধ্যে $x > y$ সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয়টি নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = \{3, 4\}$ এবং $B = \{2, 4\}$
$A$ ও $B$ এর কার্তেশীয় গুণজ:
$A \times B = \{3, 4\} \times \{2, 4\} = \{(3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4)\}$
প্রশ্নমতে নির্ণেয় অন্বয়, $R = \{(x, y) \in A \times B : x > y\}$
শর্তানুসারে জোড়গুলো যাচাই করি:
$(3, 2)$ এর ক্ষেত্রে $3 > 2$ (শর্ত মেনে চলে)
$(3, 4)$ এর ক্ষেত্রে $3 \ngtr 4$
$(4, 2)$ এর ক্ষেত্রে $4 > 2$ (শর্ত মেনে চলে)
$(4, 4)$ এর ক্ষেত্রে $4 \ngtr 4$
$\therefore R = \{(3, 2), (4, 2)\}$
উত্তর:$\{(3, 2), (4, 2)\}$
৬. যদি $C = \{2, 5\}$, $D = \{4, 6, 7\}$, $x \in C$ এবং $y \in D$ হয়, তবে $C$ ও $D$ এর উপাদানগুলোর মধ্যে $x + 1 < y$ সম্পর্কটি বিবেচনায় থাকে তবে অন্বয়টি নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $C = \{2, 5\}$ এবং $D = \{4, 6, 7\}$
$C \times D = \{2, 5\} \times \{4, 6, 7\} = \{(2, 4), (2, 6), (2, 7), (5, 4), (5, 6), (5, 7)\}$
প্রশ্নমতে নির্ণেয় অন্বয়, $R = \{(x, y) \in C \times D : x + 1 < y\}$
শর্তানুসারে যাচাই করি ($x + 1 < y$):
$(2, 4)$ এর ক্ষেত্রে $2 + 1 = 3 < 4$ (শর্ত মেনে চলে)
$(2, 6)$ এর ক্ষেত্রে $2 + 1 = 3 < 6$ (শর্ত মেনে চলে)
$(2, 7)$ এর ক্ষেত্রে $2 + 1 = 3 < 7$ (শর্ত মেনে চলে)
$(5, 4)$ এর ক্ষেত্রে $5 + 1 = 6 \nless 4$
$(5, 6)$ এর ক্ষেত্রে $5 + 1 = 6 \nless 6$
$(5, 7)$ এর ক্ষেত্রে $5 + 1 = 6 < 7$ (শর্ত মেনে চলে)
$\therefore R = \{(2, 4), (2, 6), (2, 7), (5, 7)\}$
উত্তর:$\{(2, 4), (2, 6), (2, 7), (5, 7)\}$
৭. $f(x) = x^4 + 5x – 3$ হলে, $f(-1)$, $f(2)$ এবং $f\left(\frac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = x^4 + 5x – 3$
$\therefore f(-1) = (-1)^4 + 5(-1) – 3 = 1 – 5 – 3 = -7$
$\therefore f(2) = 2^4 + 5(2) – 3 = 16 + 10 – 3 = 23$
$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 5\left(\frac{1}{2}\right) – 3$
$= \frac{1}{16} + \frac{5}{2} – 3$
$= \frac{1 + 40 – 48}{16} = \frac{-7}{16}$
উত্তর:$f(-1) = -7$, $f(2) = 23$ এবং $f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{16}$
৮. যদি $f(y) = y^3 + ky^2 – 4y – 8$ হয়, তবে $k$ এর কোন মানের জন্য $f(-2) = 0$ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(y) = y^3 + ky^2 – 4y – 8$
$y = -2$ বসিয়ে পাই:
$f(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 – 4(-2) – 8$
$\implies f(-2) = -8 + 4k + 8 – 8$
$\implies f(-2) = 4k – 8$
প্রশ্নমতে, $f(-2) = 0$
$\implies 4k – 8 = 0$
$\implies 4k = 8$
$\implies k = 2$
উত্তর:$k = 2$
৯. $f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6$ হয়, তবে $x$ এর কোন মানের জন্য $f(x) = 0$ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6$
প্রশ্নমতে, $f(x) = 0$
$\implies x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0$
$\implies x^3 – x^2 – 5x^2 + 5x + 6x – 6 = 0$
$\implies x^2(x – 1) – 5x(x – 1) + 6(x – 1) = 0$
$\implies (x – 1)(x^2 – 5x + 6) = 0$
$\implies (x – 1)(x^2 – 2x – 3x + 6) = 0$
$\implies (x – 1)[x(x – 2) – 3(x – 2)] = 0$
$\implies (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0$ হয়,
$x – 1 = 0 \implies x = 1$
অথবা, $x – 2 = 0 \implies x = 2$
অথবা, $x – 3 = 0 \implies x = 3$
উত্তর:$x = 1, 2, 3$
১০. যদি $f(x) = \frac{2x + 1}{2x – 1}$ হয়, তবে $\frac{f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{x^2}\right) – 1}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{2x + 1}{2x – 1}$
বা, $f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}{2\left(\frac{1}{x^2}\right) – 1} = \frac{\frac{2 + x^2}{x^2}}{\frac{2 – x^2}{x^2}} = \frac{2 + x^2}{2 – x^2}$
বা, $\frac{f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{x^2}\right) – 1} = \frac{\frac{2 + x^2}{2 – x^2} + 1}{\frac{2 + x^2}{2 – x^2} – 1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $= \frac{\frac{(2 + x^2) + (2 – x^2)}{2 – x^2}}{\frac{(2 + x^2) – (2 – x^2)}{2 – x^2}}$
বা, $= \frac{2 + x^2 + 2 – x^2}{2 + x^2 – 2 + x^2}$
বা, $= \frac{4}{2x^2} = \frac{2}{x^2}$
উত্তর:$\frac{2}{x^2}$
১১. $g(x) = \frac{1 + x^2 + x^4}{x^2}$ হলে, দেখাও যে $g\left(\frac{1}{x^2}\right) = g(x^2)$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $g(x) = \frac{1 + x^2 + x^4}{x^2}$
বামপক্ষ:
$g\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^4}{\left(\frac{1}{x^2}\right)^2}$
$= \frac{1 + \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^8}}{\frac{1}{x^4}}$
$= \frac{\frac{x^8 + x^4 + 1}{x^8}}{\frac{1}{x^4}}$
$= \frac{x^8 + x^4 + 1}{x^8} \times x^4$
$= \frac{1 + x^4 + x^8}{x^4}$
ডানপক্ষ:
$g(x^2) = \frac{1 + (x^2)^2 + (x^2)^4}{(x^2)^2}$
$= \frac{1 + x^4 + x^8}{x^4}$
$\therefore g\left(\frac{1}{x^2}\right) = g(x^2)$ (দেখানো হলো।)
১২. নিচের অন্বয়গুলো থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় করো।
(ক) $R = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$
সমাধান:
কোনো অন্বয়ের ক্রোমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে রেঞ্জ বলে।
এখানে,
ডোমেন $R = \{2\}$
রেঞ্জ $R = \{1, 2, 3\}$
উত্তর: ডোমেন $R = \{2\}$, রেঞ্জ $R = \{1, 2, 3\}$
(খ) $S = \{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)\}$
সমাধান:
প্রথম উপাদানসমূহ: $-2, -1, 0, 1, 2$
দ্বিতীয় উপাদানসমূহ: $4, 1, 0, 1, 4$
ডোমেন $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
রেঞ্জ $S = \{0, 1, 4\}$
উত্তর: ডোমেন $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$, রেঞ্জ $S = \{0, 1, 4\}$
(গ) $F = \left\{\left(\frac{1}{2}, 0\right), (1, 1), (1, -1), \left(\frac{5}{2}, 2\right), \left(\frac{5}{2}, -2\right)\right\}$
সমাধান:
প্রথম উপাদানসমূহ: $\frac{1}{2}, 1, 1, \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$
দ্বিতীয় উপাদানসমূহ: $0, 1, -1, 2, -2$
ডোমেন $F = \left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}\right\}$
রেঞ্জ $F = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
উত্তর: ডোমেন $F = \left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}\right\}$, রেঞ্জ $F = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
১৩. নিচের অন্বয়গুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।
(ক) $R = \{(x, y) : x \in A, y \in A \text{ এবং } x + y = 1\}$ যেখানে $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
শর্ত: $x + y = 1 \implies y = 1 – x$
এখন প্রতিটি $x \in A$ এর জন্য $y = 1 – x$ এর মান নির্ণয় করি:
$x = -2$ হলে, $y = 1 – (-2) = 3 \notin A$
$x = -1$ হলে, $y = 1 – (-1) = 2 \in A$
$x = 0$ হলে, $y = 1 – 0 = 1 \in A$
$x = 1$ হলে, $y = 1 – 1 = 0 \in A$
$x = 2$ হলে, $y = 1 – 2 = -1 \in A$
$\therefore R = \{(-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, -1)\}$
ডোমেন $R = \{-1, 0, 1, 2\}$
রেঞ্জ $R = \{-1, 0, 1, 2\}$
উত্তর:
তালিকা পদ্ধতি: $R = \{(-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, -1)\}$
ডোমেন $R = \{-1, 0, 1, 2\}$, রেঞ্জ $R = \{-1, 0, 1, 2\}$
(খ) $F = \{(x, y) : x \in C, y \in C \text{ এবং } y = 2x\}$ যেখানে $C = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $C = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$
শর্ত: $y = 2x$
এখন প্রতিটি $x \in C$ এর জন্য $y = 2x$ এর মান নির্ণয় করি:
$x = -1$ হলে, $y = 2(-1) = -2 \notin C$
$x = 0$ হলে, $y = 2(0) = 0 \in C$
$x = 1$ হলে, $y = 2(1) = 2 \in C$
$x = 2$ হলে, $y = 2(2) = 4 \notin C$
$x = 3$ হলে, $y = 2(3) = 6 \notin C$
$\therefore F = \{(0, 0), (1, 2)\}$
ডোমেন $F = \{0, 1\}$
রেঞ্জ $F = \{0, 2\}$
উত্তর:
তালিকা পদ্ধতি: $F = \{(0, 0), (1, 2)\}$
ডোমেন $F = \{0, 1\}$, রেঞ্জ $F = \{0, 2\}$
১৪. ছক কাগজে $(-3, 2), (0, -5), \left(\frac{1}{2}, -\frac{5}{6}\right)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করো।
সমাধান (অঙ্কন নির্দেশিকা):
১. একটি ছক কাগজে পরষ্পরচ্ছেদী দুটি লম্ব রেখা $XOX’$ (X-অক্ষ) এবং $YOY’$ (Y-অক্ষ) আাঁকি, যেখানে $O$ মূলবিন্দু।
২. ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ঘরে $1$ একক ধরে:
- $(-3, 2)$ বিন্দু: মূলবিন্দু $O$ হতে বামে X-অক্ষ বরাবর $3$ ঘর এবং ওপরের দিকে Y-অক্ষ বরাবর $2$ ঘর গিয়ে বিন্দুটি স্থাপন করি।
- $(0, -5)$ বিন্দু: মূলবিন্দু $O$ হতে Y-অক্ষ বরাবর নিচের দিকে $5$ ঘর গিয়ে বিন্দুটি স্থাপন করি।
- $\left(\frac{1}{2}, -\frac{5}{6}\right)$ বিন্দু: মূলবিন্দু $O$ হতে ডানে X-অক্ষ বরাবর আধা ঘর ($0.5$) এবং নিচের দিকে Y-অক্ষ বরাবর প্রায় এক ঘরের একটু কম (বা $0.83$ ঘর) আনুমানিক দূরত্বে বিন্দুটি স্থাপন করি।
১৫. ছক কাগজে $(1, 2), (-1, 1), (11, 7)$ বিন্দু তিনটি স্থাপন করে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধান:
বীজগাণিতিক প্রমাণ (সহজ পদ্ধতি):
ধরি, বিন্দু তিনটি $A(1, 2)$, $B(-1, 1)$ এবং $C(11, 7)$।
$AB$ রেখাংশের ঢাল $= \frac{1 – 2}{-1 – 1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
$BC$ রেখাংশের ঢাল $= \frac{7 – 1}{11 – (-1)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
যেহেতু $AB$ এবং $BC$ এর ঢাল সমান এবং উভয় রেখাংশে $B$ বিন্দুটি সাধারণ (common), তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ (একই সরলরেখায় অবস্থিত)।
ছক কাগজে স্থাপন ও পর্যবেক্ষণ:
১. ছক কাগজে X ও Y অক্ষ টেনে মূলবিন্দু চিহ্নিত করি।
২. $A(1, 2)$, $B(-1, 1)$ এবং $C(11, 7)$ বিন্দু তিনটি স্থাপন করি।
৩. স্কেলের সাহায্যে বিন্দু তিনটি যোগ করলে দেখা যায় যে তিনটি বিন্দু একই সোজা রেখায় মিলে যায়।
দেখানো হলো।
১৬. নিচের ফাংশনগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করো:
(ক) $y = 3x + 5$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $y = 3x + 5$
$x$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান বের করি:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 |
| $y$ | $-1$ | $2$ | $5$ | $8$ |
লেখচিত্র অঙ্কন:
ছক কাগজে বিন্দুগুলো $A(-2, -1)$, $B(-1, 2)$, $C(0, 5)$, এবং $D(1, 8)$ স্থাপন করে সংযোগ করলে একটি সরলরেখা পাওয়া যাবে। এটিই প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র।
(খ) $x + y = 2$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x + y = 2 \implies y = 2 – x$
$x$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান বের করি:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
| $y$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ |
লেখচিত্র অঙ্কন:
ছক কাগজে বিন্দুগুলো $P(-1, 3)$, $Q(0, 2)$, $R(1, 1)$, এবং $S(2, 0)$ স্থাপন করে যোগ করলে একটি সরলরেখা পাওয়া যাবে। এটিই প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র।
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি প্রশ্ন)
১. $A = \{2, 3, 4\}$ ও $B = \{1, 2\}$ হলে, $(A \times B)$ সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?
ক) 16টি
খ) 8টি
গ) 6টি
ঘ) 5টি
সমাধান:
$A$ সেটের উপাদান সংখ্যা $n(A) = 3$
$B$ সেটের উপাদান সংখ্যা $n(B) = 2$
কার্তেশীয় গুণজ $(A \times B)$ এর উপাদান সংখ্যা $= n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ টি।
উত্তর: গ) 6টি
২. $A \cup B = \{a, b, c\}$ হলে—
(i) $A = \{a, b\}$, $B = \{a, b, c\}$
(ii) $P(A \cup B)$ এর উপাদান সংখ্যা আটটি।
(iii) $A$ একটি সসীম সেট।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সমাধান:
(i) $A = \{a, b\}$ ও $B = \{a, b, c\}$ হলে $A \cup B = \{a, b, c\}$ যা সঠিক।
(ii) $A \cup B$ এর উপাদান সংখ্যা $3$, তাই পাওয়ার সেটের উপাদান $= 2^3 = 8$ টি, যা সঠিক।
(iii) $A$ সেটের উপাদান গণনা করা যায়, তাই এটি একটি সসীম সেট, যা সঠিক।
তিনটি বর্ণনাই সঠিক।
উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
$A = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ হলে, নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
৩. সেট গঠন পদ্ধতিতে $A$ সেটের সঠিক প্রকাশ কোনটি?
ক) $\{x \in \mathbb{N} : 6 < x < 13\}$
খ) $\{x \in \mathbb{N} : 6 \le x < 13\}$
গ) $\{x \in \mathbb{N} : 6 \le x \le 13\}$
ঘ) $\{x \in \mathbb{N} : 6 < x \le 13\}$
সমাধান:
$A$ সেটের উপাদানগুলো হলো স্বাভাবিক সংখ্যা ($\mathbb{N}$), যা $6$ এর সমান বা বড় এবং $13$ এর সমান বা ছোট।
অর্থাৎ $6 \le x \le 13$।
উত্তর: গ) $\{x \in \mathbb{N} : 6 \le x \le 13\}$
৪. $A$ সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলোর সেট কোনটি?
ক) $\{6, 8, 10, 12\}$
খ) $\{7, 9, 11, 13\}$
গ) $\{7, 11, 13\}$
ঘ) $\{9, 12\}$
সমাধান:
$A = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাসমূহ হলো: $7, 11, 13$।
উত্তর: গ) $\{7, 11, 13\}$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. $y = f(x) = \frac{4x – 7}{2x – 4}$ একটি ফাংশন।
(ক) $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{4x – 7}{2x – 4}$
$x$ এর জায়গায় $-\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{4\left(-\frac{1}{2}\right) – 7}{2\left(-\frac{1}{2}\right) – 4}$
$= \frac{-2 – 7}{-1 – 4} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}$
উত্তর:$\frac{9}{5}$
(খ) $\frac{f(x) + 2}{f(x) – 1}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{4x – 7}{2x – 4}$
এখন,
$\frac{f(x) + 2}{f(x) – 1} = \frac{\frac{4x – 7}{2x – 4} + 2}{\frac{4x – 7}{2x – 4} – 1}$
$= \frac{\frac{(4x – 7) + 2(2x – 4)}{2x – 4}}{\frac{(4x – 7) – 1(2x – 4)}{2x – 4}}$
$= \frac{4x – 7 + 4x – 8}{4x – 7 – 2x + 4}$
$= \frac{8x – 15}{2x – 3}$
উত্তর:$\frac{8x – 15}{2x – 3}$
(গ) দেখাও যে, $f(y) = x$
সমাধান:
উদ্দীপক হতে পাই, $y = \frac{4x – 7}{2x – 4}$ এবং $f(x) = \frac{4x – 7}{2x – 4}$
$f(y)$ এর মান নির্ণয় করতে, $f(x)$ এর সমীকরণে $x$ এর স্থলে $y$ বসিয়ে পাই:
$f(y) = \frac{4y – 7}{2y – 4}$
এখন $y$ এর মান বসিয়ে পাই:
$f(y) = \frac{4\left(\frac{4x – 7}{2x – 4}\right) – 7}{2\left(\frac{4x – 7}{2x – 4}\right) – 4}$
$= \frac{\frac{4(4x – 7) – 7(2x – 4)}{2x – 4}}{\frac{2(4x – 7) – 4(2x – 4)}{2x – 4}}$
$= \frac{16x – 28 – 14x + 28}{8x – 14 – 8x + 16}$
$= \frac{2x}{2} = x$
$\therefore f(y) = x$ (দেখানো হলো।)
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
(ক) সার্বিক সেট $U$-এর দুটি উপসেট $A$ এবং $B$ হলে $(A \cup B)’$-কে ভেনচিত্র অঙ্কনের মাধ্যমে চিহ্নিত করো।
সমাধান (ভেনচিত্রের বিবরণ ও চিহ্নিতকরণ):
১. একটি আয়তক্ষেত্র আঁকি যা সার্বিক সেট $U$ প্রকাশ করে।
২. আয়তক্ষেত্রের ভেতরে দুটি পরস্পরচ্ছেদী বৃত্তক্ষেত্র একে $A$ ও $B$ সেট নির্দেশ করি।
৩. $A \cup B$ হলো $A$ ও $B$ বৃত্ত দুটির ভেতরের পুরো অংশ।
৪. অতএব, $(A \cup B)’ = U \setminus (A \cup B)$ হবে $A$ ও $B$ বৃত্ত দুটির বাইরের কিন্তু আয়তক্ষেত্র $U$-এর ভেতরের অংশ।
(লেখচিত্রে আয়তক্ষেত্রের ভেতরের ফাঁকা জায়গায় অর্থাৎ বৃত্ত দুটির বাইরের অংশে শেড/রং নির্দেশ করা হবে।)
(খ) $10$ ও $21$ এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট যথাক্রমে $A$ এবং $B$ হলে, দেখাও যে, $(A \cap B)$ একটি নিশ্চেদ সেট।
সমাধান:
$10$ এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ: $2, 5$
$\therefore A = \{2, 5\}$
$21$ এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ: $3, 7$
$\therefore B = \{3, 7\}$
এখন,
$A \cap B = \{2, 5\} \cap \{3, 7\} = \emptyset$
যেহেতু $A \cap B = \emptyset$ (ফাঁকা সেট), তাই $A$ ও $B$ সেট দুটি পরস্পর নিশ্চেদ সেট।
দেখানো হলো।
(গ) $f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$ এবং $f(a) = 0$ হলে, $a$-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$
$\therefore f(a) = a^3 – 3a^2 + 3a – 1$
প্রশ্নমতে, $f(a) = 0$
$\implies a^3 – 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 – 1^3 = 0$
$\implies (a – 1)^3 = 0$
$\implies a – 1 = 0$
$\implies a = 1$
উত্তর:$a = 1$
(ঘ) $A = \{a, b, c\}$ সেটের উপসেটগুলো নির্ণয় করে তা থেকে প্রকৃত উপসেটগুলো লেখ।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = \{a, b, c\}$
$A$ সেটের উপসেটগুলো হলো:
$\{a, b, c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\emptyset$
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম উপাদানবিশিষ্ট উপসেটগুলোকে প্রকৃত উপসেট বলে (অর্থাৎ মূল সেটটি বাদ যাবে)।
$\therefore A$ সেটের প্রকৃত উপসেটগুলো হলো:
$\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\emptyset$
উত্তর:
উপসেটসমূহ:$\{a, b, c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \emptyset$
প্রকৃত উপসেটসমূহ:$\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \emptyset$