১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:
(ক) $\{x \in \mathbb{N} : x^2 > 9 \text{ এবং } x^3 < 130\}$
সমাধান:
এখানে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$
এখন,
$x = 1$ হলে, $x^2 = 1^2 = 1 \ngtr 9$ এবং $x^3 = 1^3 = 1 < 130$
$x = 2$ হলে, $x^2 = 2^2 = 4 \ngtr 9$ এবং $x^3 = 2^3 = 8 < 130$
$x = 3$ হলে, $x^2 = 3^2 = 9 \ngtr 9$ এবং $x^3 = 3^3 = 27 < 130$
$x = 4$ হলে, $x^2 = 4^2 = 16 > 9$ এবং $x^3 = 4^3 = 64 < 130$
$x = 5$ হলে, $x^2 = 5^2 = 25 > 9$ এবং $x^3 = 5^3 = 125 < 130$
$x = 6$ হলে, $x^2 = 6^2 = 36 > 9$ এবং $x^3 = 6^3 = 216 \nless 130$
শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো হলো: $4, 5$
উত্তর:$\{4, 5\}$
(খ) $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 > 5 \text{ এবং } x^3 \le 36\}$
সমাধান:
এখানে পূর্ণসংখ্যার সেট, $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
ধণাত্মক ও ঋণাত্মক মান যাচাই করি:
$x = 0$ হলে, $x^2 = 0 \ngtr 5$ এবং $x^3 = 0 \le 36$
$x = 1$ হলে, $x^2 = 1 \ngtr 5$ এবং $x^3 = 1 \le 36$
$x = 2$ হলে, $x^2 = 4 \ngtr 5$ এবং $x^3 = 8 \le 36$
$x = 3$ হলে, $x^2 = 9 > 5$ এবং $x^3 = 27 \le 36$
$x = 4$ হলে, $x^2 = 16 > 5$ এবং $x^3 = 64 \nleq 36$
ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে:
$x = -1$ হলে, $x^2 = 1 \ngtr 5$ এবং $x^3 = -1 \le 36$
$x = -2$ হলে, $x^2 = 4 \ngtr 5$ এবং $x^3 = -8 \le 36$
$x = -3$ হলে, $x^2 = 9 > 5$ এবং $x^3 = -27 \le 36$
$x = -4$ হলে, $x^2 = 16 > 5$ এবং $x^3 = -64 \le 36$
একইভাবে, $x \le -3$ এর সকল ঋণাত্মক মানের জন্য $x^2 > 5$ এবং $x^3 \le 36$ শর্ত দুটি সত্য হবে।
শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো হলো: $3, -3, -4, -5, \dots$
উত্তর:$\{\dots, -5, -4, -3, 3\}$
(গ) $\{x \in \mathbb{N} : x, 36 \text{ এর গুণনীয়ক এবং } 6 \text{ এর গুণিতক }\}$
সমাধান:
$36$ এর গুণনীয়কসমূহ: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$
$6$ এর গুণিতকসমূহ: $6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, \dots$
উভয় শর্ত পূরণ করে এমন সংখ্যাগুলো হলো: $6, 12, 18, 36$
উত্তর:$\{6, 12, 18, 36\}$
(ঘ) $\{x \in \mathbb{N} : x^3 > 25 \text{ এবং } x^4 < 264\}$
সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
$x = 1$ হলে, $x^3 = 1 \ngtr 25$
$x = 2$ হলে, $x^3 = 8 \ngtr 25$
$x = 3$ হলে, $x^3 = 27 > 25$ এবং $x^4 = 81 < 264$
$x = 4$ হলে, $x^3 = 64 > 25$ এবং $x^4 = 256 < 264$
$x = 5$ হলে, $x^3 = 125 > 25$ এবং $x^4 = 625 \nless 264$
শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো হলো: $3, 4$
উত্তর:$\{3, 4\}$
২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:
(ক) $\{3, 5, 7, 9, 11\}$
সমাধান:
উপাদানগুলো হলো বিজোড় সংখ্যা, যা $1$ অপেক্ষা বড় এবং $13$ অপেক্ষা ছোট।
উত্তর:$\{x \in \mathbb{N} : x \text{ বিজোড় সংখ্যা এবং } 1 < x < 13\}$
(খ) $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$
সমাধান:
উপাদানগুলো প্রত্যেকেই $36$ এর গুণনীয়ক।
উত্তর:$\{x \in \mathbb{N} : x, 36 \text{ এর গুণনীয়ক }\}$
(গ) $\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40\}$
সমাধান:
উপাদানগুলো $4$ এর গুণিতক এবং $40$ এর সমান বা ছোট।
উত্তর:$\{x \in \mathbb{N} : x, 4 \text{ এর গুণিতক এবং } x \le 40\}$
(ঘ) $\{\pm 4, \pm 5, \pm 6\}$
সমাধান:
এখানে উপাদানগুলো পূর্ণসংখ্যা ($\mathbb{Z}$)।
বর্গ করলে পাই: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$
ঘন করলে পাই: $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$
শর্ত অনুযায়ী বর্গ $9$ এর চেয়ে বড় এবং ঘন $216$ এর সমান বা ছোট।
উত্তর:$\{x \in \mathbb{Z} : x^2 > 9 \text{ এবং } x^3 \le 216\}$
৩. $A = \{2, 3, 4\}$, $B = \{1, 2, a\}$ এবং $C = \{2, a, b\}$ হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো:
(ক) $B \setminus C$
সমাধান:
$B \setminus C = \{1, 2, a\} \setminus \{2, a, b\} = \{1\}$
উত্তর:$\{1\}$
(খ) $A \cup B$
সমাধান:
$A \cup B = \{2, 3, 4\} \cup \{1, 2, a\} = \{1, 2, 3, 4, a\}$
উত্তর:$\{1, 2, 3, 4, a\}$
(গ) $A \cap C$
সমাধান:
$A \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{2, a, b\} = \{2\}$
উত্তর:$\{2\}$
(ঘ) $A \cup (B \cap C)$
সমাধান:
প্রথমে, $B \cap C = \{1, 2, a\} \cap \{2, a, b\} = \{2, a\}$
এখন, $A \cup (B \cap C) = \{2, 3, 4\} \cup \{2, a\} = \{2, 3, 4, a\}$
উত্তর:$\{2, 3, 4, a\}$
(ঙ) $A \cap (B \cup C)$
সমাধান:
প্রথমে, $B \cup C = \{1, 2, a\} \cup \{2, a, b\} = \{1, 2, a, b\}$
এখন, $A \cap (B \cup C) = \{2, 3, 4\} \cap \{1, 2, a, b\} = \{2\}$
উত্তর:$\{2\}$
৪. $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A = \{1, 3, 5\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ এবং $C = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করো:
(ক) $(A \cup B)’ = A’ \cap B’$
সমাধান:
বামপক্ষ:
$A \cup B = \{1, 3, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$\therefore (A \cup B)’ = U \setminus (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{7\}$
ডানপক্ষ:
$A’ = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{2, 4, 6, 7\}$
$B’ = U \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7\}$
$\therefore A’ \cap B’ = \{2, 4, 6, 7\} \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{7\}$
সত্যতা যাচাই করা হলো। (বামপক্ষ = ডানপক্ষ)
(খ) $(B \cap C)’ = B’ \cup C’$
সমাধান:
বামপক্ষ:
$B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{4, 6\}$
$\therefore (B \cap C)’ = U \setminus (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{4, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 7\}$
ডানপক্ষ:
$B’ = \{1, 3, 5, 7\}$
$C’ = U \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{1, 2\}$
$\therefore B’ \cup C’ = \{1, 3, 5, 7\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 5, 7\}$
সত্যতা যাচাই করা হলো। (বামপক্ষ = ডানপক্ষ)
(গ) $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
সমাধান:
বামপক্ষ:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$\therefore (A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{3, 4, 5, 6\}$
ডানপক্ষ:
$A \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{3, 5\}$
$B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{4, 6\}$
$\therefore (A \cap C) \cup (B \cap C) = \{3, 5\} \cup \{4, 6\} = \{3, 4, 5, 6\}$
সত্যতা যাচাই করা হলো। (বামপক্ষ = ডানপক্ষ)
(ঘ) $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
সমাধান:
বামপক্ষ:
$A \cap B = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$
$\therefore (A \cap B) \cup C = \emptyset \cup \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{3, 4, 5, 6, 7\}$
ডানপক্ষ:
$A \cup C = \{1, 3, 5\} \cup \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$B \cup C = \{2, 4, 6\} \cup \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$\therefore (A \cup C) \cap (B \cup C) = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\} \cap \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = \{3, 4, 5, 6, 7\}$
সত্যতা যাচাই করা হলো। (বামপক্ষ = ডানপক্ষ)
৫. $Q = \{x, y\}$ এবং $R = \{m, n, l\}$ হলে, $P(Q)$ এবং $P(R)$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $Q = \{x, y\}$
$\therefore P(Q) = \{\{x, y\}, \{x\}, \{y\}, \emptyset\}$
আবার, $R = \{m, n, l\}$
$\therefore P(R) = \{\{m, n, l\}, \{m, n\}, \{m, l\}, \{n, l\}, \{m\}, \{n\}, \{l\}, \emptyset\}$
উত্তর:
$P(Q) = \{\{x, y\}, \{x\}, \{y\}, \emptyset\}$
$P(R) = \{\{m, n, l\}, \{m, n\}, \{m, l\}, \{n, l\}, \{m\}, \{n\}, \{l\}, \emptyset\}$
৬. $A = \{a, b\}$, $B = \{a, b, c\}$ এবং $C = A \cup B$ হলে, দেখাও যে, $P(C)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$, যেখানে $n$ হচ্ছে $C$ এর উপাদান সংখ্যা।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$A = \{a, b\}$
$B = \{a, b, c\}$
$\therefore C = A \cup B = \{a, b\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c\}$
এখানে $C$ এর উপাদান সংখ্যা, $n = 3$
এখন, $C$ এর পাওয়ার সেট:
$P(C) = \{\{a, b, c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \emptyset\}$
$\therefore P(C)$ এর উপাদান সংখ্যা $= 8 = 2^3 = 2^n$ (দেখানো হলো)
৭. (ক) $(x – 1, y + 2) = (y – 2, 2x + 1)$ হলে, $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের নিয়মানুসারে,
$x – 1 = y – 2 \implies x – y = -2 + 1 \implies x – y = -1 \text{— (i)}$
এবং
$y + 2 = 2x + 1 \implies 2x – y = 2 – 1 \implies 2x – y = 1 \text{— (ii)}$
সমীকরণ (ii) থেকে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই:
$(2x – y) – (x – y) = 1 – (-1)$
$\implies x = 2$
$x = 2$ মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2 – y = -1 \implies y = 3$
উত্তর:$x = 2, y = 3$
(খ) $(ax – cy, a^2 – c^2) = (0, ay – cx)$ হলে, $(x, y)$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের নিয়মানুসারে,
$ax – cy = 0 \implies ax = cy \implies x = \frac{cy}{a} \text{— (i)}$
এবং
$ay – cx = a^2 – c^2 \text{— (ii)}$
(i) নং সমীকরণ থেকে $x$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$ay – c\left(\frac{cy}{a}\right) = a^2 – c^2$
$\implies \frac{a^2 y – c^2 y}{a} = a^2 – c^2$
$\implies y(a^2 – c^2) = a(a^2 – c^2)$
$\implies y = a$
$y = a$ মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x = \frac{c \cdot a}{a} = c$
উত্তর:$(x, y) = (c, a)$
(গ) $(6x – y, 13) = (1, 3x + 2y)$ হলে, $(x, y)$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের নিয়মানুসারে,
$6x – y = 1 \implies y = 6x – 1 \text{— (i)}$
এবং
$3x + 2y = 13 \text{— (ii)}$
(i) নং সমীকরণ থেকে $y$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3x + 2(6x – 1) = 13$
$\implies 3x + 12x – 2 = 13$
$\implies 15x = 15$
$\implies x = 1$
$x = 1$ মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$y = 6(1) – 1 = 5$
উত্তর:$(x, y) = (1, 5)$
৮. (ক) $P = \{a\}$, $Q = \{b, c\}$ হলে, $P \times Q$ এবং $Q \times P$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $P = \{a\}$ এবং $Q = \{b, c\}$
$P \times Q = \{a\} \times \{b, c\} = \{(a, b), (a, c)\}$
এবং $Q \times P = \{b, c\} \times \{a\} = \{(b, a), (c, a)\}$
উত্তর:$P \times Q = \{(a, b), (a, c)\}$ এবং $Q \times P = \{(b, a), (c, a)\}$
৮. (খ) $A = \{3, 4, 5\}$, $B = \{4, 5, 6\}$ এবং $C = \{x, y\}$ হলে, $(A \cap B) \times C$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = \{3, 4, 5\}$, $B = \{4, 5, 6\}$ এবং $C = \{x, y\}$
প্রথমে, $A \cap B = \{3, 4, 5\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4, 5\}$
$\therefore (A \cap B) \times C = \{4, 5\} \times \{x, y\} = \{(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)\}$
উত্তর: {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}
৮. (গ) $P = \{3, 5, 7\}$, $Q = \{5, 7\}$ এবং $R = P \setminus Q$ হলে, $(P \cup Q) \times R$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $P = \{3, 5, 7\}$ এবং $Q = \{5, 7\}$
এখানে, $R = P \setminus Q = \{3, 5, 7\} \setminus \{5, 7\} = \{3\}$
এবং $P \cup Q = \{3, 5, 7\} \cup \{5, 7\} = \{3, 5, 7\}$
$\therefore (P \cup Q) \times R = \{3, 5, 7\} \times \{3\} = \{(3, 3), (5, 3), (7, 3)\}$
উত্তর: {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}
৯. $A$ ও $B$ যথাক্রমে $35$ এবং $45$ এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, $A \cup B$ ও $A \cap B$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
$35$ এর সকল গুণনীয়ক: $1, 5, 7, 35$
$\therefore A = \{1, 5, 7, 35\}$
$45$ এর সকল গুণনীয়ক: $1, 3, 5, 9, 15, 45$
$\therefore B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$
এখন,
$A \cup B = \{1, 5, 7, 35\} \cup \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} = \{1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45\}$
এবং
$A \cap B = \{1, 5, 7, 35\} \cap \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} = \{1, 5\}$
উত্তর:$A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45\}$ এবং $A \cap B = \{1, 5\}$
১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা $346$ এবং $556$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $31$ অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় করো।
সমাধান:
যে সংখ্যা দ্বারা $346$ এবং $556$ কে ভাগ করলে $31$ অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাটি অবশ্যই $31$ অপেক্ষা বড় হবে এবং $(346 – 31)$ ও $(556 – 31)$ এর সাধারণ গুণনীয়ক হবে।
এখানে,
$346 – 31 = 315$
$556 – 31 = 525$
ধরি, $31$ অপেক্ষা বড় $315$ এর গুণনীয়কসমূহের সেট $A$ এবং $525$ এর গুণনীয়কসমূহের সেট $B$।
$315$ এর সকল গুণনীয়ক: $1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315$
$\therefore 31$ অপেক্ষা বড় গুণনীয়কসমূহের সেট, $A = \{35, 45, 63, 105, 315\}$
$525$ এর সকল গুণনীয়ক: $1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525$
$\therefore 31$ অপেক্ষা বড় গুণনীয়কসমূহের সেট, $B = \{35, 75, 105, 175, 525\}$
নির্ণেয় সেট হবে $A \cap B$:
$A \cap B = \{35, 45, 63, 105, 315\} \cap \{35, 75, 105, 175, 525\} = \{35, 105\}$
উত্তর:$\{35, 105\}$
১১. কোনো শ্রেণির $30$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $20$ জন ফুটবল এবং $15$ জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা $10$। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেনচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি,
মোট শিক্ষার্থীর সেট = $U$, $\therefore n(U) = 30$
ফুটবল পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সেট = $F$, $\therefore n(F) = 20$
ক্রিকেট পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সেট = $C$, $\therefore n(C) = 15$
উভয় খেলা পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সেট = $F \cap C$, $\therefore n(F \cap C) = 10$
ভেনচিত্রের ব্যাখ্যা:
ভেনচিত্রে আয়তক্ষেত্রটি সার্বিক সেট $U$ নির্দেশ করে। $U$ এর ভেতরে $F$ ও $C$ দ্বারা দুটি পরস্পরচ্ছেদী বৃত্তক্ষেত্র নির্দেশ করা হয়েছে, যা চারটি আলাদা অঞ্চলে বিভক্ত ($r_1, r_2, r_3, r_4$):
- কেবল ফুটবল পছন্দ করে = $r_1$
- উভয় খেলা পছন্দ করে = $r_2$
- কেবল ক্রিকেট পছন্দ করে = $r_3$
- কোনো খেলাই পছন্দ করে না = $r_4$
হিসাব:
উভয় খেলা পছন্দ করে, $r_2 = 10$
কেবল ফুটবল পছন্দ করে, $r_1 = n(F) – r_2 = 20 – 10 = 10$
কেবল ক্রিকেট পছন্দ করে, $r_3 = n(C) – r_2 = 15 – 10 = 5$
অতএব, অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থী, $n(F \cup C) = r_1 + r_2 + r_3 = 10 + 10 + 5 = 25$
সুতরাং, দুইটি খেলাই পছন্দ করে না এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা, $r_4 = n(U) – n(F \cup C) = 30 – 25 = 5$
উত্তর:$5$ জন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না।
১২. $100$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় $65$ শিক্ষার্থী বাংলায়, $48$ শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং $15$ শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
(ক) $(1, x + y) = (2x – y, 5)$ হলে $(x, y)$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের নিয়ম অনুযায়ী,
$2x – y = 1 \text{— (i)}$
এবং
$x + y = 5 \text{— (ii)}$
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$(2x – y) + (x + y) = 1 + 5$
$\implies 3x = 6$
$\implies x = 2$
$x = 2$ মানটি (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
উত্তর:$(x, y) = (2, 3)$
(খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি,
মোট পরীক্ষার্থীর সেট = $U$, $\therefore n(U) = 100$
বাংলায় পাশ করা শিক্ষার্থীর সেট = $B$, $\therefore n(B) = 65$
উভয় বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর সেট = $B \cap E$, $\therefore n(B \cap E) = 48$
উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = $15$
১. শুধু বাংলায় পাশ করেছে:
$n(\text{শুধু বাংলা}) = n(B) – n(B \cap E) = 65 – 48 = 17$ জন।
২. শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে:
যে কোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা $= n(U) – \text{উভয় বিষয়ে ফেল} = 100 – 15 = 85$ জন।
আমরা জানি,
$n(B \cup E) = n(\text{শুধু বাংলা}) + n(\text{উভয় বিষয়}) + n(\text{শুধু ইংরেজি})$
$\implies 85 = 17 + 48 + n(\text{শুধু ইংরেজি})$
$\implies 85 = 65 + n(\text{শুধু ইংরেজি})$
$\implies n(\text{শুধু ইংরেজি}) = 85 – 65 = 20$ জন।
উত্তর: শুধু বাংলায় পাশ করেছে $17$ জন এবং শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে $20$ জন।
(গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে,
উভয় বিষয়ে পাশ সংখ্যা = $48$
উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যা = $15$
$48$ এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ:
$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
ধরি, $48$ এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট, $P = \{2, 3\}$
$15$ এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ:
$15 = 3 \times 5$
ধরি, $15$ এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট, $Q = \{3, 5\}$
নির্ণেয় সংযোগ সেট ($P \cup Q$):
$P \cup Q = \{2, 3\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 5\}$
উত্তর:$\{2, 3, 5\}$