অনুশীলনী ১৬.৩: বৃত্ত সংক্রান্ত পরিমাপ
১. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস $126$ সে.মি. হলে চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে,
কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta = 30^\circ$
বৃত্তের ব্যাস, $2r = 126$ সে.মি.
$\implies$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{126}{2} = 63$ সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $s = \frac{\pi r \theta}{180^\circ}$
$\implies s = \frac{3.1416 \times 63 \times 30}{180}$
$\implies s = \frac{5937.624}{180} = 32.9868 \approx 32.99$ সে.মি.
উত্তর: চাপের দৈর্ঘ্য প্রায় $32.99$ সে.মি.
২. প্রতি মিনিটে $66$ মিটার বেগে $1\frac{1}{2}$ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস নির্ণয় করো।
সমাধান:
ঘোড়াটি $1$ মিনিটে যায় $66$ মিটার।
$\therefore 1\frac{1}{2}$ বা $\frac{3}{2}$ মিনিটে যায় $= 66 \times \frac{3}{2} = 99$ মিটার।
যেহেতু ঘোড়াটি সম্পূর্ণ মাঠ ঘুরে এসেছে, তাই মাঠের পরিধি $= 99$ মিটার।
ধরি, মাঠের ব্যাস $d$ মিটার।
আমরা জানি, পরিধি $= \pi d$
প্রশ্নমতে, $\pi d = 99$
$\implies d = \frac{99}{\pi} = \frac{99}{3.1416} = 31.512605 \approx 31.51$ মিটার।
উত্তর: মাঠের ব্যাস প্রায় $31.51$ মিটার।
৩. একটি বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $77$ বর্গমিটার এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ $21$ মিটার। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $= 77$ বর্গমিটার
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 21$ মিটার
ধরি, উৎপন্ন কোণ $=\theta$
আমরা জানি, বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
প্রশ্নমতে, $\frac{\theta}{360} \times 3.1416 \times (21)^2 = 77$
$\implies \frac{\theta \times 3.1416 \times 441}{360} = 77$
$\implies \theta \times 1385.4456 = 77 \times 360$
$\implies \theta \times 1385.4456 = 27720$
$\implies \theta = \frac{27720}{1385.4456} = 20.0080032 \approx 20^\circ$
উত্তর: উৎপন্ন কোণ প্রায় $20^\circ$ (বা $20.008^\circ$)।
৪. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $14$ সে.মি. এবং বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $75^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, $r = 14$ সে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta = 75^\circ$
বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
$= \frac{75}{360} \times 3.1416 \times (14)^2$
$= \frac{75}{360} \times 3.1416 \times 196$
$= \frac{46181.52}{360} = 128.282 \approx 128.28$ বর্গ সে.মি.
উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় $128.28$ বর্গ সে.মি.
৫. একটি বৃত্তাকার মাঠকে ঘিরে একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ভেতরের পরিধি অপেক্ষা বাইরের পরিধি $44$ মিটার বড়। রাস্তাটির প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের বাইরের ব্যাসার্ধ $R$ মিটার এবং ভেতরের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
$\therefore$ রাস্তাটির প্রস্থ $= (R – r)$ মিটার।
বাইরের পরিধি $= 2\pi R$ এবং ভেতরের পরিধি $= 2\pi r$
প্রশ্নমতে, $2\pi R – 2\pi r = 44$
$\implies 2\pi (R – r) = 44$
$\implies R – r = \frac{44}{2\pi}$
$\implies R – r = \frac{44}{2 \times 3.1416}$
$\implies R – r = \frac{44}{6.2832} = 7.00280112 \approx 7.003$ মিটার।
উত্তর: রাস্তাটির প্রস্থ প্রায় $7.003$ মিটার।
৬. একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস $26$ মিটার। পার্কটিকে বেষ্টন করে বাইরে $2$ মিটার প্রশস্ত একটি পথ আছে। পথটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
পার্কের ব্যাস $= 26$ মিটার
$\implies$ ভেতরের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{26}{2} = 13$ মিটার।
পথের বিস্তার $= 2$ মিটার।
$\therefore$ পথসহ পার্কের বাইরের ব্যাসার্ধ, $R = 13 + 2 = 15$ মিটার।
পার্কের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 13^2 = 169\pi$ বর্গমিটার।
পথসহ পার্কের ক্ষেত্রফল $= \pi R^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi$ বর্গমিটার।
$\therefore$ পথের ক্ষেত্রফল $= 225\pi – 169\pi = 56\pi$ বর্গমিটার
$= 56 \times 3.1416 = 175.9296 \approx 175.93$ বর্গমিটার।
উত্তর: পথটির ক্ষেত্রফল প্রায় $175.93$ বর্গমিটার।
৭. একটি গাড়ির সামনের চাকার ব্যাস $28$ সে.মি. এবং পিছনের চাকার ব্যাস $35$ সে.মি.। $88$ মিটার পথ যেতে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা কত পূর্ণসংখ্যক বার বেশি ঘুরবে?
সমাধান:
মোট পথ $= 88$ মিটার $= 88 \times 100 = 8800$ সে.মি.।
সামনের চাকার ক্ষেত্রে:
ব্যাস $= 28$ সে.মি. $\implies$ পরিধি $= \pi d = 3.1416 \times 28 \approx 87.9648$ সে.মি.
ঘূর্ণন সংখ্যা $= \frac{8800}{87.9648} \approx 100.04 \approx 100$ বার।
পিছনের চাকার ক্ষেত্রে:
ব্যাস $= 35$ সে.মি. $\implies$ পরিধি $= \pi d = 3.1416 \times 35 \approx 109.956$ সে.মি.
ঘূর্ণন সংখ্যা $= \frac{8800}{109.956} \approx 80.03 \approx 80$ বার।
$\therefore$ সামনের চাকা বেশি ঘোরে $= 100 – 80 = 20$ বার।
উত্তর:$20$ বার বেশি ঘুরবে।
৮. একটি বৃত্তের পরিধি $220$ মিটার। ঐ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
$\therefore$ বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r = 220$
$\implies 2r = \frac{220}{\pi} = \frac{220}{3.1416} \approx 70.028$ মিটার।
এখানে $2r$ হলো বৃত্তের ব্যাস।
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস ($2r$)।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার।
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $= a\sqrt{2}$
প্রশ্নমতে, $a\sqrt{2} = 70.028$
$\implies a = \frac{70.028}{\sqrt{2}} = \frac{70.028}{1.4142} = 49.5177486 \approx 49.52$ মিটার।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় $49.52$ মিটার।
৯. একটি বৃত্তের পরিধি একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সমান। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r \implies$ পরিধি $= 2\pi r$
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $= a \implies$ পরিসীমা $= 3a$
প্রশ্নমতে, $2\pi r = 3a$
$\implies a = \frac{2\pi r}{3}$
বৃত্তের ক্ষেত্রফল$= \pi r^2$
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল$= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2\pi r}{3}\right)^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4\pi^2 r^2}{9}$
$= \frac{\sqrt{3}\pi^2 r^2}{9}$
$= \frac{\pi^2 r^2}{3\sqrt{3}}$
$\therefore$ক্ষেত্রফলের অনুপাত$= \pi r^2 : \frac{\pi^2 r^2}{3\sqrt{3}}$
$= 1 : \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ [উভয়পক্ষকে $\pi r^2$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 3\sqrt{3} : \pi$
উত্তর: বৃত্ত ও সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $3\sqrt{3} : \pi$।
১০. নিচের চিত্রের তথ্য অনুযায়ী গাঢ় চিহ্নিত ক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
প্রথম চিত্র
চিত্রটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং একটি অর্ধবৃত্তের সমন্বয়ে গঠিত।
১. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
চিত্র অনুযায়ী, ত্রিভুজটির লম্ব $= 8\text{ সে.মি.}$ এবং অতিভুজ $= 10\text{ সে.মি.}$
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$\text{ভূমি} = \sqrt{10^2 – 8^2} = \sqrt{100 – 64} = \sqrt{36} = 6\text{ সে.মি.}$
$$\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\text{ বর্গ সে.মি.}$$
২. অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
অর্ধবৃত্তটির ব্যাস $= 9\text{ সে.মি.}$
$\therefore \text{ব্যাসার্ধ } r = \frac{9}{2} = 4.5\text{ সে.মি.}$
$$\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (4.5)^2 = 31.8087 \approx 31.81\text{ বর্গ সে.মি.}$$
মোট গাঢ় চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল:
$$= 24 + 31.81 = 55.81\text{ বর্গ সে.মি.}$$
উত্তর:$55.81\text{ বর্গ সে.মি.}$ (প্রায়)
দ্বিতীয় চিত্র
চিত্রটি একটি বর্গক্ষেত্র এবং তার ওপর একটি অর্ধবৃত্তের সমন্বয়ে গঠিত। দাগ চিহ্ন দিয়ে বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলো সমান দেখানো হয়েছে।
১. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 4\text{ সে.মি.}$
$$\text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} = a^2 = 4^2 = 16\text{ বর্গ সে.মি.}$$
২. অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
অর্ধবৃত্তের ব্যাস $= 4\text{ সে.মি.}$
$\therefore \text{ব্যাসার্ধ } r = \frac{4}{2} = 2\text{ সে.মি.}$
$$\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (2)^2 \approx 6.28\text{ বর্গ সে.মি.}$$
মোট গাঢ় চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল:
$$= 16 + 6.28 = 22.28\text{ বর্গ সে.মি.}$$
উত্তর:$22.28\text{ বর্গ সে.মি.}$ (প্রায়)
তৃতীয় চিত্র
চিত্রটিতে একটি আয়তক্ষেত্রের ভেতর থেকে একটি অর্ধবৃত্ত বাদ দেওয়া হয়েছে।
১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
দৈর্ঘ্য $= 12\text{ সে.মি.}$ এবং প্রস্থ $= 10\text{ সে.মি.}$
$$\text{আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} = 12 \times 10 = 120\text{ বর্গ সে.মি.}$$
২. অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
অর্ধবৃত্তটির ব্যাস $= 12\text{ সে.মি.}$
$\therefore \text{ব্যাসার্ধ } r = \frac{12}{2} = 6\text{ সে.মি.}$
$$\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (6)^2 = 56.5488 \approx 56.55\text{ বর্গ সে.মি.}$$
গাঢ় চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল:
$$= 120 – 56.55 = 63.45\text{ বর্গ সে.মি.}$$
উত্তর:$63.45\text{ বর্গ সে.মি.}$ (প্রায়)
চতুর্থ চিত্র
চিত্রটিতে একটি বর্গক্ষেত্রের ভেতর থেকে একটি অন্তর্লিখিত সম্পূর্ণ বৃত্ত বাদ দেওয়া হয়েছে।
১. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 12\text{ সে.মি.}$
$$\text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} = 12^2 = 144\text{ বর্গ সে.মি.}$$
২. অন্তর্লিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= 12\text{ সে.মি.}$
$\therefore \text{ব্যাসার্ধ } r = \frac{12}{2} = 6\text{ সে.মি.}$
$$\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল} = \pi r^2 = 3.1416 \times (6)^2 = 113.0976 \approx 113.10\text{ বর্গ সে.মি.}$$
গাঢ় চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল:
$$= 144 – 113.10 = 30.90\text{ বর্গ সে.মি.}$$
উত্তর:$30.90\text{ বর্গ সে.মি.}$ (প্রায়)