নবম-দশম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১৩.২

অনুশীলনী ১৩.২: গুণোত্তর ধারা

১. $a, b, c$ ও $d$ সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $b = \frac{c + d}{2}$

খ) $a = \frac{b + c}{2}$

গ) $c = \frac{b + d}{2}$

ঘ) $d = \frac{a + c}{2}$

সমাধান:

সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে যেকোনো পদের আগের ও পরের পদের যোগফলের অর্ধেক হলো ওই পদটি (অর্থাৎ মধ্যক)।

এখানে $b, c, d$ হলো পরপর তিনটি পদ।

তাই, $c – b = d – c \implies 2c = b + d \implies c = \frac{b + d}{2}$

উত্তর:গ) $c = \frac{b + d}{2}$

২. $64 + 32 + 16 + 8 + \dots$ ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 64$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির $n$-তম পদ $= a r^{n-1}$

সুতরাং, ধারাটির অষ্টম পদ $= 64 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{8-1}$

$= 64 \times \left(\frac{1}{2}\right)^7$

$= 64 \times \frac{1}{128}$

$= \frac{1}{2}$

উত্তর:$\frac{1}{2}$

৩. $3 + 9 + 27 + \dots$ ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে, প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{9}{3} = 3 > 1$

পদসংখ্যা, $n = 14$

যেহেতু $r > 1$, তাই সমষ্টির সূত্র,

$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$

সুতরাং, প্রথম $14$টি পদের সমষ্টি,

$S_{14} = \frac{3(3^{14} – 1)}{3 – 1}$

$= \frac{3(4782969 – 1)}{2}$

$= \frac{3 \times 4782968}{2}$

$= 3 \times 2391484$

$= 7174452$

(অথবা $\frac{3}{2}(3^{14} – 1)$ আকারেও রাখা যায়)

উত্তর:$7174452$ (অথবা $\frac{3}{2}(3^{14} – 1)$)

৪. $128 + 64 + 32 + \dots$ ধারাটির কোন পদ $\frac{1}{2}$?

সমাধান: এখানে, প্রথম পদ, $a = 128$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= \frac{1}{2}$

গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= a r^{n-1}$

বা, $128 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2 \times 128}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{256}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^8$

বা, $n – 1 = 8$

বা, $n = 9$

উত্তর:$9$-তম পদ।

৫. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ এবং দশম পদ $\frac{8\sqrt{2}}{81}$ হলে, ধারাটির তৃতীয় পদ কত?

সমাধান:

ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$।

প্রশ্নানুসারে,

৫ম পদ $= a r^{5-1} = a r^4 = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ ——- (১)

১০ম পদ $= a r^{10-1} = a r^9 = \frac{8\sqrt{2}}{81}$ ——- (২)

(২) নং সমীকরণকে (১) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই:

$\frac{a r^9}{a r^4} = \frac{\frac{8\sqrt{2}}{81}}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}$

বা, $r^5 = \frac{8\sqrt{2}}{81} \times \frac{9}{2\sqrt{3}}$

বা, $r^5 = \frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$

বা, $r^5 = \frac{(\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3}}$

বা, $r^5 = \frac{(\sqrt{2})^5}{(\sqrt{3})^5}$

বা, $r^5 = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^5$

বা, $r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

(১) নং সমীকরণে $r$-এর মান বসিয়ে পাই,

$a \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^4 = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

বা, $a \left(\frac{4}{9}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

বা, $a = \frac{2\sqrt{3}}{9} \times \frac{9}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

এখন, ৩য় পদ $= a r^{3-1} = a r^2$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3}$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

উত্তর:$\frac{1}{\sqrt{3}}$

৬. $\frac{1}{\sqrt{2}} – 1 + \sqrt{2} – \dots$ ধারাটির কোন পদ $8\sqrt{2}$?

সমাধান:এখানে,

প্রথম পদ, $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\sqrt{2}$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 8\sqrt{2}$

আমরা জানি, $a r^{n-1} = 8\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} \times (-\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$

বা, $(-\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2}$

বা, $(-\sqrt{2})^{n-1} = 16$

বা, $(-\sqrt{2})^{n-1} = (-\sqrt{2})^8$ [কারণ $(-\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16$]

বা $n – 1 = 8$

বা, $n = 9$

উত্তর:$9$-তম পদ।

৭. $5 + x + y + 135$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

১ম পদ, $a = 5$

২য় পদ $= x$

৩য় পদ $= y$

৪র্থ পদ $= 135$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, ৪র্থ পদ $= a r^{4-1} = a r^3$

বা, $5 r^3 = 135$

বা, $r^3 = \frac{135}{5}$

বা, $r^3 = 27$

বা, $r^3 = 3^3$

বা, $r = 3$

অতএব,

$x = \text{২য় পদ} = a r = 5 \times 3 = 15$

$y = \text{৩য় পদ} = a r^2 = 5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45$

উত্তর:$x = 15$ এবং $y = 45$

৮. $3 + x + y + z + 243$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, $x, y$ এবং $z$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

১ম পদ, $a = 3$

৫ম পদ $= 243$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, ৫ম পদ $= a r^{5-1} = a r^4$

বা, $3 r^4 = 243$

বা, $r^4 = \frac{243}{3}$

বা, $r^4 = 81$

বা, $r^4 = 3^4$

বা, $r = 3$

অতএব,

$x = \text{২য় পদ} = a r = 3 \times 3 = 9$

$y = \text{৩য় পদ} = a r^2 = 3 \times 3^2 = 27$

$z = \text{৪র্থ পদ} = a r^3 = 3 \times 3^3 = 81$

উত্তর:$x = 9$, $y = 27$ এবং $z = 81$

৯. $2 – 4 + 8 – 16 + \dots$ ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{-4}{2} = -2 < 1$

পদসংখ্যা, $n = 7$

যেহেতু $r < 1$, তাই সমষ্টির সূত্র,

$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

সুতরাং,

$S_7 = \frac{2 [1 – (-2)^7]}{1 – (-2)}$

$= \frac{2 [1 – (-128)]}{1 + 2}$

$= \frac{2 (1 + 128)}{3}$

$= \frac{2 \times 129}{3}$

$= 2 \times 43$

$= 86$

উত্তর:$86$

১০. $1 – 1 + 1 – 1 + \dots$ ধারাটির $(2n + 1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1 – 1 + 1 – 1 + \dots$

১ম পদ $= 1$

১ম ২ পদের সমষ্টি $= 1 – 1 = 0$

১ম ৩ পদের সমষ্টি $= 1 – 1 + 1 = 1$

১ম ৪ পদের সমষ্টি $= 1 – 1 + 1 – 1 = 0$

দেখা যাচ্ছে, পদের সংখ্যা জোড় হলে সমষ্টি $0$ এবং বিজোড় হলে সমষ্টি $1$ হয়।

এখানে পদসংখ্যা $(2n + 1)$, যা যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$-এর জন্য একটি বিজোড় সংখ্যা।

অতএব, $(2n + 1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি হবে $1$।

উত্তর:$1$

১১. $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \dots$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: ধারাটিকে সাজিয়ে পাই:

$\log 2 + \log 2^2 + \log 2^3 + \dots$

$= \log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \dots$

এটি একটি সমান্তর ধারা। যার –

প্রথম পদ, $a = \log 2$

সাধারণ অন্তর, $d = 2\log 2 – \log 2 = \log 2$

পদসংখ্যা, $n = 10$

প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10 – 1)d]$

$= 5 [2\log 2 + 9\log 2]$

$= 5 \times 11\log 2$

$= 55\log 2$

উত্তর:$55\log 2$

১২. $2 + 4 + 8 + 16 + \dots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $254$ হলে, $n$ এর মান কত?

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{4}{2} = 2 > 1$

প্রশ্নানুসারে,

$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1} = 254$

বা, $\frac{2(2^n – 1)}{2 – 1} = 254$

বা, $2(2^n – 1) = 254$

বা, $2^n – 1 = \frac{254}{2}$

বা, $2^n – 1 = 127$

বা, $2^n = 128$

বা, $2^n = 2^7$

বা, $n = 7$

উত্তর:$n = 7$

১৩. $2 – 2 + 2 – 2 + \dots$ ধারাটির $(2n + 2)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: প্রদত্ত ধারা: $2 – 2 + 2 – 2 + \dots$

১ম পদের সমষ্টি $= 2$

১ম ২ পদের সমষ্টি $= 2 – 2 = 0$

১ম ৩ পদের সমষ্টি $= 2 – 2 + 2 = 2$

১ম ৪ পদের সমষ্টি $= 2 – 2 + 2 – 2 = 0$

এখানে পদসংখ্যা $(2n + 2) = 2(n + 1)$, যা নিশ্চিতভাবেই একটি জোড় সংখ্যা।

যেহেতু জোড় সংখ্যক পদের যোগফল শূন্য ($0$), তাই $(2n + 2)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি হবে $0$।

উত্তর:$0$

১৪. প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি $441$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো এবং ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$

প্রশ্নানুসারে, $\left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2 = 441$

বা, $\frac{n(n + 1)}{2} = \sqrt{441}$

বা, $\frac{n(n + 1)}{2} = 21$ ——- (১)

বা, $n(n + 1) = 42$

বা, $n^2 + n – 42 = 0$

বা, $n^2 + 7n – 6n – 42 = 0$

বা, $n(n + 7) – 6(n + 7) = 0$

বা, $(n + 7)(n – 6) = 0$

হয়, $n – 6 = 0 \implies n = 6$

অথবা, $n + 7 = 0 \implies n = -7$(গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)

সুতরাং, $n = 6$

আবার, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র $= \frac{n(n + 1)}{2}$

(১) নং সমীকরণ হতে সরাসরি পাই, ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $= 21$

উত্তর:$n = 6$ এবং সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $21$

১৫. দেখাও যে, $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + 10)^2$

সমাধান:

বামপক্ষ: $= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$

এখানে $n = 10$ বসিয়ে পাই,

$= \left\{\frac{10(10 + 1)}{2}\right\}^2$

$= \left\{\frac{10 \times 11}{2}\right\}^2$

$= (5 \times 11)^2$

$= 55^2$

$= 3025$

ডানপক্ষ: $= (1 + 2 + 3 + \dots + 10)^2$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)}{2}$

এখানে $n = 10$ বসিয়ে পাই,

$= \left\{\frac{10(10 + 1)}{2}\right\}^2$

$= \left\{\frac{10 \times 11}{2}\right\}^2$

$= (5 \times 11)^2$

$= 55^2$

$= 3025$

যেহেতু $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ} = 3025$

অতএব, $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + 10)^2$(দেখানো হলো)

১৬. $\frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}{1 + 2 + 3 + \dots + n} = 210$ হলে, $n$ এর মান কত?

সমাধান: আমরা জানি,

লব $= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$

হর $= 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{\left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2}{\frac{n(n + 1)}{2}} = 210$

বা, $\frac{n(n + 1)}{2} = 210$

বা, $n(n + 1) = 420$

বা, $n^2 + n – 420 = 0$

বা, $n^2 + 21n – 20n – 420 = 0$

বা, $n(n + 21) – 20(n + 21) = 0$

বা, $(n + 21)(n – 20) = 0$

হয়, $n – 20 = 0 \implies n = 20$

অথবা, $n + 21 = 0 \implies n = -21$(গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)

উত্তর:$n = 20$

১৭. দুপুর ১টা ১৫ মিনিটে ১ জন এস.এস.সি পরীক্ষার ফলাফল জানতে পারল। ১টা ২০ মিনিটে জানল ৮ জন, ১টা ২৫ মিনিটে জানল ২৭ জন। এভাবে ফলাফল ছড়িয়ে পড়ল।

ক) উদ্দীপকের আলোকে প্যাটার্ন দুইটি লিখ।

সমাধান:

সময় ও ফলাফল জানার তথ্যানুযায়ী দুইটি আলাদা প্যাটার্ন লক্ষ্য করা যায়:

১. সময়ের প্যাটার্ন (মিনিটে):

প্রথম সময় $= 1$টা $15$ মিনিট

পরবর্তী সময়গুলো যথাক্রমে $1$টা $20$ মিনিট, $1$টা $25$ মিনিট $\dots$ ইত্যাদি।

অর্থাৎ, সময়ের প্যাটার্নটি হলো: $15, 20, 25, 30, \dots$ (যেখানে প্রতি ধাপে $5$ মিনিট করে বাড়ছে)।

২. জনসংখ্যার প্যাটার্ন (ফলাফল জানা মানুষের সংখ্যা):

১ম ধাপে জানল $= 1$ জন $= 1^3$

২য় ধাপে জানল $= 8$ জন $= 2^3$

৩য় ধাপে জানল $= 27$ জন $= 3^3$

অর্থাৎ, জনসংখ্যার প্যাটার্নটি হলো: $1^3, 2^3, 3^3, 4^3, \dots$ বা $1, 8, 27, 64, \dots$ (স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন-এর অনুক্রম)।

খ) ঠিক ২টা ১০ মিনিটে কত জন এবং ২টা ১০ মিনিট পর্যন্ত মোট কত জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধান:

প্রথম সময় $1$টা $15$ মিনিট থেকে ২টা ১০ মিনিট পর্যন্ত অতিবাহিত মোট সময় $= (2\text{টা } 10\text{ মিনিট}) – (1\text{টা } 15\text{ মিনিট})$

$= 55$ মিনিট।

যেহেতু প্রতি ধাপের ব্যবধান $5$ মিনিট,

সুতরাং, ধাপসংখ্যা ($n$) $= \frac{55}{5} + 1 = 11 + 1 = 12$

অর্থাৎ, ২টা ১০ মিনিট হলো ১২-তম ধাপ।

ঠিক ২টা ১০ মিনিটে যত জন জানতে পারবে:
১২-তম ধাপে ফলাফল জানা মানুষের সংখ্যা $= 12^3 = 1728$ জন।

২টা ১০ মিনিট পর্যন্ত মোট যত জন জানতে পারবে:
এটি হলো ১ম ১২টি ধাপের সমষ্টি:
$S_{12} = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 12^3$
$= \left\{\frac{12(12 + 1)}{2}\right\}^2$
$= (6 \times 13)^2$
$= 78^2$
$= 6084$ জন।

উত্তর: ঠিক ২টা ১০ মিনিটে $1728$ জন এবং ২টা ১০ মিনিট পর্যন্ত মোট $6084$ জন ফলাফল জানতে পারবে।

গ) কয়টার সময় ৬১৭৫২২৫ জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধান:

ধরি, $n$-তম সময়ে মোট $6175225$ জন ফলাফল জানতে পারবে।

শর্তানুসারে, $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = 6175225$

বা, $\left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2 = 6175225$

বা, $\frac{n(n + 1)}{2} = \sqrt{6175225}$

বা, $\frac{n(n + 1)}{2} = 2485$

বা, $n(n + 1) = 4970$

বা, $n^2 + n – 4970 = 0$

বা, $n^2 + 71n – 70n – 4970 = 0$

বা, $n(n + 71) – 70(n + 71) = 0$

বা, $(n + 71)(n – 70) = 0$

হয়, $n – 70 = 0 \implies n = 70$

অথবা, $n + 71 = 0 \implies n = -71$(গ্রহণযোগ্য নয়)

সুতরাং, ধাপসংখ্যা $n = 70$

প্রথম ধাপ ($1$টা $15$ মিনিট) এর পর অতিরিক্ত ধাপ সংখ্যা $= 70 – 1 = 69$ টি

অতিবাহিত সময় $= 69 \times 5$ মিনিট $= 345$ মিনিট

$= 5$ ঘণ্টা $45$ মিনিট

অতএব, নির্ণেয় সময় $= 1\text{টা } 15\text{ মিনিট} + 5\text{ ঘণ্টা } 45\text{ মিনিট}$

$= 6\text{টা } 60\text{ মিনিট}$

$= \text{সন্ধ্যা } 7\text{টা}$

উত্তর: সন্ধ্যা $7$টার সময়।

নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)

১. $5, 8, 11, \dots \dots, 99$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?

ক) $2n + 1$

খ) $3n – 1$

গ) $3n + 1$

ঘ) $3n + 2$

সমাধান:

প্রদত্ত অনুক্রমটি হলো: $5, 8, 11, \dots \dots, 99$

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 8 – 5 = 11 – 8 = 3$

আমরা জানি, সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ পদ বা $n$-তম পদের সূত্র:

$\text{সাধারণ পদ} = a + (n – 1)d$

$= 5 + (n – 1)3$

$= 5 + 3n – 3$

$= 3n + 2$

উত্তর:ঘ) $3n + 2$

২. $3 + 8 + 13 + \dots + 73$ ধারাটি—

(i) একটি সসীম ধারা

(ii) একটি সমান্তর ধারা

(iii) এর $11$ তম পদ $53$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ধারাটির শেষ পদ $73$ থাকায় এটি একটি সসীম ধারা। (i সঠিক)

সাধারণ অন্তর $= 8 – 3 = 13 – 8 = 5$ (সমান), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা। (ii সঠিক)

$11$-তম পদ $= a + (11 – 1)d = 3 + 10 \times 5 = 3 + 50 = 53$। (iii সঠিক)

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের দাও:

$\log 2 + \log 4 + \log 8 + \dots$

ধারাটিকে সাজিয়ে পাই: $\log 2 + \log 2^2 + \log 2^3 + \dots = \log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \dots$

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

ক) $2$

খ) $4$

গ) $\log 2$

ঘ) $2\log 2$

সমাধান:

সাধারণ অন্তর $= 2\log 2 – \log 2 = \log 2$

উত্তর:গ) $\log 2$

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক) $\log 32$

খ) $\log 64$

গ) $\log 128$

ঘ) $\log 256$

সমাধান:

৭ম পদ $= 7\log 2 = \log 2^7 = \log 128$

উত্তর:গ) $\log 128$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. কোনো শিক্ষার্থী প্রথম সপ্তাহে $10$ টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রত্যেক সপ্তাহে এর পূর্ববর্তী সপ্তাহের তুলনায় $5$ টাকা বেশি সঞ্চয় করে।

ক) প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)}{2}$

এখানে $n = 20$

সমষ্টি $= \frac{20(20 + 1)}{2} = 10 \times 21 = 210$

উত্তর:$210$

খ) শিক্ষার্থীর সঞ্চয়ের হিসাবটিকে $n$ সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর এবং প্রথম $21$ সপ্তাহে সঞ্চিত টাকার পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

১ম সপ্তাহের সঞ্চয়, $a = 10$ টাকা

২য় সপ্তাহের সঞ্চয় $= 10 + 5 = 15$ টাকা

৩য় সপ্তাহের সঞ্চয় $= 15 + 5 = 20$ টাকা

$n$ সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারাটি হলো:

$10 + 15 + 20 + \dots + [10 + (n – 1)5]$

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 10$

সাধারণ অন্তর, $d = 5$

সপ্তাহ সংখ্যা, $n = 21$

প্রথম $21$ সপ্তাহের মোট সঞ্চয়:

$S_{21} = \frac{21}{2} [2a + (21 – 1)d]$

$= \frac{21}{2} [2(10) + 20(5)]$

$= \frac{21}{2} [20 + 100]$

$= \frac{21}{2} \times 120$

$= 21 \times 60$

$= 1260$ টাকা

উত্তর: ধারাটি $10 + 15 + 20 + \dots$ এবং সঞ্চিত টাকা $1260$ টাকা।

গ) শিক্ষার্থীর প্রথম সপ্তাহের সঞ্চিত টাকার পরিমাণকে ১ম পদ এবং সাধারণ অনুপাত $10$ ধরে একটি নতুন ধারা তৈরি করো এবং সূত্র প্রয়োগ করে ধারাটির প্রথম $4$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে,

১ম পদ, $a = 10$

সাধারণ অনুপাত, $r = 10$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

১ম পদ $= 10$

২য় পদ $= a r = 10 \times 10 = 100$

৩য় পদ $= a r^2 = 10 \times 10^2 = 1000$

৪র্থ পদ $= a r^3 = 10 \times 10^3 = 10000$

ধারাটি হলো: $10 + 100 + 1000 + 10000 + \dots$

যেহেতু $r = 10 > 1$, তাই প্রথম $4$টি পদের সমষ্টি:

$S_4 = \frac{a(r^4 – 1)}{r – 1}$

$= \frac{10(10^4 – 1)}{10 – 1}$

$= \frac{10(10000 – 1)}{9}$

$= \frac{10 \times 9999}{9}$

$= 10 \times 1111$

$= 11110$

উত্তর: ধারাটি $10 + 100 + 1000 + 10000 + \dots$ এবং সমষ্টি $11110$।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) $3 + 7 + 11 + 15 + \dots$ ধারার পদগুলো নিয়ে গঠিত অনুক্রমটির সাধারণ পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে, প্রথম পদ $a = 3$, সাধারণ অন্তর $d = 7 – 3 = 4$

সাধারণ পদ ($n$-তম পদ) $= a + (n – 1)d$

$= 3 + (n – 1)4$

$= 3 + 4n – 4$

$= 4n – 1$

উত্তর:$4n – 1$

খ) $256 + 128 + 64 + \dots$ ধারাটির কোন পদ $\frac{1}{32}$ তা নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 256$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$

ধরি, $n$-তম পদ $= \frac{1}{32}$

$a r^{n-1} = \frac{1}{32}$

বা, $256 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{32}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{32 \times 256}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{8192}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{13}$

বা, $n – 1 = 13 \implies n = 14$

উত্তর:$14$-তম পদ।

গ) সূত্র প্রয়োগ করে $8^2 + 9^2 + 10^2 + \dots + 15^2$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধারাটিকে লেখা যায়: $(1^2 + 2^2 + \dots + 15^2) – (1^2 + 2^2 + \dots + 7^2)$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

১ম অংশ ($n = 15$):

$= \frac{15(15 + 1)(2 \times 15 + 1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 1240$

২য় অংশ ($n = 7$):

$= \frac{7(7 + 1)(2 \times 7 + 1)}{6} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$

নির্ণেয় সমষ্টি $= 1240 – 140 = 1100$

উত্তর:$1100$

ঘ) কোনো সমান্তর ধারার $17$ তম পদ $43$ হলে, এর প্রথম $33$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

১৭-তম পদ $= a + (17 – 1)d = a + 16d = 43$

প্রথম $33$টি পদের সমষ্টি,

$S_{33} = \frac{33}{2} [2a + (33 – 1)d]$

$= \frac{33}{2} [2a + 32d]$

$= \frac{33}{2} \times 2(a + 16d)$

$= 33 \times (a + 16d)$

$= 33 \times 43$

$= 1419$

উত্তর:$1419$