অনুশীলনী ১১.২: ধারাবাহিক অনুপাত
১. $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
ক) $a^2 = bc$
খ) $b^2 = ac$
গ) $ab = bc$
ঘ) $a = b = c$
সমাধান: $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
$\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
বা, $b^2 = ac$
উত্তর:খ) $b^2 = ac$
২. আরিফ ও আকিবের বয়সের অনুপাত $5 : 3$, আরিফের বয়স $20$ বছর হলে, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত $7 : 5$ হবে?
ক) $5$ বছর
খ) $6$ বছর
গ) $8$ বছর
ঘ) $10$ বছর
সমাধান: ধরি, আরিফের বর্তমান বয়স $5x$ এবং আকিবের বর্তমান বয়স $3x$।
প্রশ্নানুসারে, $5x = 20$
বা, $x = \frac{20}{5}$
বা, $x = 4$
তাহলে,
আরিফের বয়স = $20$ বছর
আকিবের বয়স = $3 \times 4 = 12$ বছর
ধরি, $y$ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত $7 : 5$ হবে।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{20 + y}{12 + y} = \frac{7}{5}$
বা, $7(12 + y) = 5(20 + y)$
বা, $84 + 7y = 100 + 5y$
বা, $7y – 5y = 100 – 84$
বা, $2y = 16$
বা, $y = \frac{16}{2}$
বা, $y = 8$
উত্তর:গ) $8$ বছর
৩. $x : y = 7 : 5, y : z = 5 : 7$ হলে, $x : z =$ কত?
ক) $35 : 49$
খ) $35 : 35$
গ) $25 : 49$
ঘ) $49 : 25$
সমাধান: দেওয়া আছে,
$\frac{x}{y} = \frac{7}{5}$ এবং $\frac{y}{z} = \frac{5}{7}$
বা, $\frac{x}{y} \times \frac{y}{z} = \frac{7}{5} \times \frac{5}{7}$ [গুণ করে]
বা, $\frac{x}{z} = \frac{1}{1}$
বা, $x : z = 1 : 1 = 35 : 35$
উত্তর:খ) $35 : 35$(নোট: অপশনে $1:1$ কে ৩৫ দিয়ে গুণ করে $35:35$ রাখা হয়েছে)
৪. $x : y = 2 : 1$ এবং $y : z = 2 : 1$ হলে —
(i) $x, y, z$ ক্রমিক সমানুপাতী
(ii) $z : x = 1 : 4$
(iii) $y^2 + zx = 4yz$
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সমাধান:
i. $x : y = 2 : 1 = 4 : 2$ এবং $y : z = 2 : 1$
অতএব, $x : y : z = 4 : 2 : 1$
যেহেতু $\frac{x}{y} \neq \frac{y}{z}$ (অর্থাৎ $\frac{4}{2} \neq \frac{2}{1}$ না, দুটি অনুপাত ভিন্ন), তাই $x, y, z$ ক্রমিক সমানুপাতী নয়।
(i) ভুল
ii. $z : x = 1 : 4$
(ii) সঠিক
ii. $y^2 + zx = 2^2 + (1 \times 4) = 4 + 4 = 8$
ডানপক্ষ = $4yz = 4 \times 2 \times 1 = 8$
(iii) সঠিক
উত্তর: গ) ii ও iii
৫. $\frac{a}{x} = \frac{m^2 + n^2}{2mn}$ হলে, $\frac{\sqrt{a + x}}{\sqrt{a – x}} =$ কত?
ক) $\frac{m}{n}$
খ) $\frac{m + n}{m – n}$
গ) $\frac{m – n}{m + n}$
ঘ) $\frac{n}{m}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{a}{x} = \frac{m^2 + n^2}{2mn}$
বা, $\frac{a + x}{a – x} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{m^2 + n^2 – 2mn}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{a + x}{a – x} = \frac{(m + n)^2}{(m – n)^2}$
বা, $\sqrt{\frac{a + x}{a – x}} = \frac{m + n}{m – n}$ [উভয়পাশে বর্গমূল করে]
বা, $\frac{\sqrt{a + x}}{\sqrt{a – x}} = \frac{m + n}{m – n}$
উত্তর:খ) $\frac{m + n}{m – n}$
৬. $1$ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন $7$ ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ?
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ ঘন সে.মি. বিশুদ্ধ পানির ওজন $1$ গ্রাম = $10$ ডেসিগ্রাম।
দেওয়া আছে, $1$ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন $7$ ডেসিগ্রাম।
কাঠের ওজন পানির ওজনের শতকরা ভাগ:
$= \left( \frac{7}{10} \times 100 \right)\%$
$= 70\%$
উত্তর:$70\%$
৭. ক, খ, গ, ঘ এর মধ্যে $300$ টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন, ক এর অংশ : খ এর অংশ $= 2 : 3$, খ এর অংশ : গ এর অংশ $= 1 : 2$ এবং গ এর অংশ : ঘ এর অংশ $= 3 : 2$ হয়।
সমাধান: দেওয়া অনুপাতসমূহ,
ক : খ $= 2 : 3$
খ : গ $= 1 : 2 = (1 \times 3) : (2 \times 3) = 3 : 6$
গ : ঘ $= 3 : 2 = (3 \times 2) : (2 \times 2) = 6 : 4$
সুতরাং, ক : খ : গ : ঘ $= 2 : 3 : 6 : 4$
অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল $= 2 + 3 + 6 + 4 = 15$
মোট টাকা $= 300$ টাকা।
ক পাবে $= 300$ এর $\frac{2}{15} = 40$ টাকা
খ পাবে $= 300$ এর $\frac{3}{15} = 60$ টাকা
গ পাবে $= 300$ এর $\frac{6}{15} = 120$ টাকা
ঘ পাবে $= 300$ এর $\frac{4}{15} = 80$ টাকা
উত্তর: ক পাবে $40$ টাকা, খ পাবে $60$ টাকা, গ পাবে $120$ টাকা এবং ঘ পাবে $80$ টাকা।
৮. তিনজন জেলে $690$টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}$ এবং $\frac{5}{6}$ হলে, কে কয়টি মাছ পেল?
সমাধান:
দেওয়া আছে, অনুপাতগুলো হলো: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} : \frac{5}{6}$
হরের ল.সা.গু. (৩, ৫, ৬ এর ল.সা.গু. = ৩০) দিয়ে প্রতিটি ভগ্নাংশকে গুণ করে পাই,
প্রথম জেলে $= \frac{2}{3} \times 30 = 20$
দ্বিতীয় জেলে $= \frac{4}{5} \times 30 = 24$
তৃতীয় জেলে $= \frac{5}{6} \times 30 = 25$
অতএব, তিন জেলের মাছের অনুপাত $= 20 : 24 : 25$
অনুপাতের সমষ্টি $= 20 + 24 + 25 = 69$
মোট মাছ $= 690$টি।
প্রথম জেলে পাবে $= 690$ এর $\frac{20}{69} = 200$টি
দ্বিতীয় জেলে পাবে $= 690$ এর $\frac{24}{69} = 240$টি
তৃতীয় জেলে পাবে $= 690$ এর $\frac{25}{69} = 250$টি
উত্তর: প্রথম জেলে $200$টি, দ্বিতীয় জেলে $240$টি এবং তৃতীয় জেলে $250$টি মাছ পেল।
অনুশীলনী ১১.২
৯. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা $45$ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত $3 : 5 : 7$ হলে, প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3x$ সে.মি., $5x$ সে.মি. এবং $7x$ সে.মি.।
প্রশ্নানুসারে, $3x + 5x + 7x = 45$
বা, $15x = 45$
বা, $x = \frac{45}{15}$
বা, $x = 3$
অতএব,
প্রথম বাহুর দৈর্ঘ্য = $3 \times 3 = 9$ সে.মি.
দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = $5 \times 3 = 15$ সে.মি.
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = $7 \times 3 = 21$ সে.মি.
১০. ক্রিকেট খেলায় সাকিব, মুশফিকুর ও মাশরাফি $171$ রান করলো। সাকিব ও মুশফিকুরের এবং মুশফিকুর ও মাশরাফির রানের অনুপাত $3 : 2$ হলে কে কত রান করেছে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাকিব : মুশফিকুর = $3 : 2 = (3 \times 3) : (2 \times 3) = 9 : 6$
মুশফিকুর : মাশরাফি = $3 : 2 = (3 \times 2) : (2 \times 2) = 6 : 4$
সুতরাং, সাকিব : মুশফিকুর : মাশরাফি = $9 : 6 : 4$
অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = $9 + 6 + 4 = 19$
মোট রান = $171$
অতএব,
সাকিবের রান = $171$ এর $\frac{9}{19} = 9 \times 9 = 81$
মুশফিকুরের রান = $171$ এর $\frac{6}{19} = 9 \times 6 = 54$
মাশরাফির রান = $171$ এর $\frac{4}{19} = 9 \times 4 = 36$
১১. একটি অফিসে $2$ জন কর্মকর্তা, $7$ জন অফিস সহকারী এবং $3$ জন অফিস সহায়ক আছে। একজন অফিস সহায়ক $1$ টাকা পেলে একজন অফিস সহকারী পায় $2$ টাকা, একজন কর্মকর্তা পায় $4$ টাকা। তাদের সকলের মোট বেতন $150,000$ টাকা হলে, কে কত বেতন পায়?
সমাধান:
ধরি,
১ জন অফিস সহায়কের বেতন = $x$ টাকা
১ জন অফিস সহকারীর বেতন = $2x$ টাকা
১ জন কর্মকর্তার বেতন = $4x$ টাকা
তাহলে,
৩ জন অফিস সহায়কের মোট বেতন = $3 \times 1x = 3x$ টাকা
৭ জন অফিস সহকারীর মোট বেতন = $7 \times 2x = 14x$ টাকা
২ জন কর্মকর্তার মোট বেতন = $2 \times 4x = 8x$ টাকা
সকলের মোট বেতন = $3x + 14x + 8x = 25x$ টাকা
প্রশ্নানুসারে, $25x = 150000$
বা, $x = \frac{150000}{25}$
বা, $x = 6000$
অতএব,
১ জন অফিস সহায়ক পায় = $6,000$ টাকা
১ জন অফিস সহকারী পায় = $2 \times 6000 = 12,000$ টাকা
১ জন কর্মকর্তা পায় = $4 \times 6000 = 24,000$ টাকা
(একত্রে: ৩ জন অফিস সহায়ক পায় $18,000$ টাকা, ৭ জন অফিস সহকারী পায় $84,000$ টাকা এবং ২ জন কর্মকর্তা পায় $48,000$ টাকা)
১২. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ $20\%$ বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ একক।
$20\%$ বৃদ্ধিতে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য $= a + (a \text{ এর } 20\%)$
$= a + \frac{20a}{100}$ একক
$= a + \frac{a}{5}$ একক
$= \frac{6a}{5}$ একক
নতুন ক্ষেত্রফল $= \left(\frac{6a}{5}\right)^2$ বর্গ একক
$= \frac{36a^2}{25}$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $= \frac{36a^2}{25} – a^2$ বর্গ একক
$= \frac{36a^2 – 25a^2}{25}$ বর্গ একক
$= \frac{11a^2}{25}$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি $= \left( \frac{\frac{11a^2}{25}}{a^2} \times 100 \right)\%$
$= \left( \frac{11}{25} \times 100 \right)\%$
$= 44\%$
উত্তর:$44\%$ বৃদ্ধি পাবে।
১৩. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $10\%$ বৃদ্ধি এবং প্রস্থ $10\%$ হ্রাস পেলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?
সমাধান: ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $x$ একক এবং প্রস্থ = $y$ একক।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $xy$ বর্গ একক
$10\%$ বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য = $x + (x \text{ এর } 10\%) = x + 0.1x = 1.1x$ একক
$10\%$ হ্রাসে নতুন প্রস্থ = $y – (y \text{ এর } 10\%) = y – 0.1y = 0.9y$ একক
নতুন ক্ষেত্রফল = $1.1x \times 0.9y = 0.99xy$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় $= xy – 0.99xy$ বর্গ একক
$= 0.01xy$ বর্গ একক
শতকরা হ্রাস $= \left( \frac{0.01xy}{xy} \times 100 \right)\%$
$= 1\%$
উত্তর: ক্ষেত্রফল $1\%$ হ্রাস পাবে।
১৪. একটি মাঠের জমিতে সেচের সুযোগ আসার আগের ও পরের ফলনের অনুপাত $4 : 7$। ঐ মাঠে যে জমিতে আগে $304$ কুইন্টাল ধান ফলতো, সেচ পাওয়ার পর তার ফলন কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে, আগের ফলন : পরের ফলন = $4 : 7$
ধরি, সেচ পাওয়ার পর ফলন হবে $x$ কুইন্টাল।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{304}{x} = \frac{4}{7}$
বা, $4x = 304 \times 7$
বা, $x = \frac{304 \times 7}{4}$
বা, $x = 76 \times 7$
বা, $x = 532$
উত্তর: সেচ পাওয়ার পর ফলন হবে $532$ কুইন্টাল।
১৫. ধান ও ধান থেকে উৎপন্ন চালের অনুপাত $3 : 2$ এবং গম ও গম থেকে উৎপন্ন সুজির অনুপাত $4 : 3$ হলে, সমান পরিমাণের ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত বের করো।
সমাধান: দেওয়া আছে:
ধান : চাল = $3 : 2$
গম : সুজি = $4 : 3$
ধান ও গমের পরিমাণ সমান করার জন্য ১ম অনুপাতকে $4$ দিয়ে এবং ২য় অনুপাতকে $3$ দিয়ে গুণ করি (৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ১২):
ধান : চাল = $(3 \times 4) : (2 \times 4) = 12 : 8$
গম : সুজি = $(4 \times 3) : (3 \times 3) = 12 : 9$
এখন, সমান পরিমাণ ($12$ একক) ধান ও গম থেকে চাল উৎপন্ন হয় $8$ একক এবং সুজি উৎপন্ন হয় $9$ একক।
অতএব, উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত = $8 : 9$
১৬. একটি জমির ক্ষেত্রফল $432$ বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $3 : 4$ এবং $2 : 5$ হলে, অপর জমির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: ধরি, প্রথম জমির দৈর্ঘ্য = $3x$ এবং দ্বিতীয় জমির দৈর্ঘ্য = $4x$
প্রথম জমির প্রস্থ = $2y$ এবং দ্বিতীয় জমির প্রস্থ = $5y$
প্রথম জমির ক্ষেত্রফল = $3x \times 2y = 6xy$
দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল = $4x \times 5y = 20xy$
দেওয়া আছে, প্রথম জমির ক্ষেত্রফল = $432$ বর্গমিটার।
সুতরাং, $6xy = 432$
বা, $xy = \frac{432}{6}$
বা, $xy = 72$
অতএব, অপর (দ্বিতীয়) জমির ক্ষেত্রফল:
$= 20xy$
$= 20 \times 72$
$= 1440$ বর্গমিটার
১৭. জেমি ও সিমি একই ব্যাংক থেকে একই দিনে $10\%$ সরল মুনাফায় আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি $2$ বছর পর মুনাফা-আসলে যত টাকা শোধ করে $3$ বছর পর সিমি মুনাফা-আসলে তত টাকা শোধ করে। তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, জেমির ঋণের পরিমাণ (আসল) = $P_1$ টাকা এবং সিমির ঋণের পরিমাণ (আসল) = $P_2$ টাকা।
মুনাফার হার, $r = 10\% = \frac{10}{100} = 0.1$
জেমির জন্য:
সময় $t_1 = 2$ বছর
মুনাফা $I_1 = P_1 \times r \times t_1 = P_1 \times 0.1 \times 2 = 0.2 P_1$
মুনাফা-আসল = $P_1 + 0.2 P_1 = 1.2 P_1$
সিমির জন্য:
সময় $t_2 = 3$ বছর
মুনাফা $I_2 = P_2 \times r \times t_2 = P_2 \times 0.1 \times 3 = 0.3 P_2$
মুনাফা-আসল = $P_2 + 0.3 P_2 = 1.3 P_2$
প্রশ্নানুসারে, $1.2 P_1 = 1.3 P_2$
বা, $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1.3}{1.2}$
বা, $\frac{P_1}{P_2} = \frac{13}{12}$
বা, $P_1 : P_2 = 13 : 12$
উত্তর: তাদের ঋণের অনুপাত $13 : 12$
১৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $x, y$ ও $z$ ($x > y > z$) এবং $\frac{(y^2 + z^2)}{(y + z)^2} = \frac{(x^2 + y^2)}{(x + y)^2}$। ঘনবস্তুটির উচ্চতা $10\%$ হ্রাস করা হলো।
ক) $10\%$ লাভে কোনো দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, ক্রয়মূল্য = $100$ টাকা।
$10\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য = $100 + 10 = 110$ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত $= 110 : 100$
$= 11 : 10$
খ) দেখাও যে, $y^2 = zx$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{y^2 + z^2}{(y + z)^2} = \frac{x^2 + y^2}{(x + y)^2}$
বা, $\frac{y^2 + z^2}{y^2 + 2yz + z^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$
বা, $\frac{y^2 + z^2}{x^2 + y^2} = \frac{y^2 + 2yz + z^2}{x^2 + 2xy + y^2}$ [একান্তরকরণ করে]
বা, $\frac{(y^2 + z^2) – (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = \frac{(y^2 + 2yz + z^2) – (x^2 + 2xy + y^2)}{x^2 + 2xy + y^2}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{z^2 – x^2}{x^2 + y^2} = \frac{2yz + z^2 – 2xy – x^2}{x^2 + 2xy + y^2}$
বা, $\frac{z^2 – x^2}{x^2 + y^2} = \frac{(z^2 – x^2) + 2y(z – x)}{(x + y)^2}$
বা, $\frac{(z – x)(z + x)}{x^2 + y^2} = \frac{(z – x)(z + x + 2y)}{(x + y)^2}$
বা, $\frac{z + x}{x^2 + y^2} = \frac{x + z + 2y}{x^2 + 2xy + y^2}$ [উভয়পক্ষকে $(z – x)$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($x \neq z$)]
বা, $(z + x)(x^2 + 2xy + y^2) = (x^2 + y^2)(x + z + 2y)$ [আড়গুণন করে]
বা, $x^2z + 2xyz + y^2z + x^3 + 2x^2y + xy^2 = x^3 + x^2z + 2x^2y + xy^2 + y^2z + 2y^3$
বা, $2xyz = 2y^3$
বা, $2y \cdot xz = 2y \cdot y^2$
বা, $y^2 = zx$(দেখান হলো)
গ) ঘনবস্তুটির আয়তন শতকরা কী পরিমাণ হ্রাস পাবে তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = $x$, প্রস্থ = $y$, উচ্চতা = $z$
প্রাথমিক আয়তন = $xyz$
উচ্চতা $z$, $10\%$ হ্রাস করা হলো।
নতুন উচ্চতা = $z – (z \text{ এর } 10\%) = z – 0.1z = 0.9z$
নতুন আয়তন = $x \times y \times 0.9z = 0.9xyz$
আয়তন হ্রাস $= xyz – 0.9xyz$
$= 0.1xyz$
শতকরা আয়তন হ্রাস $= \left( \frac{0.1xyz}{xyz} \times 100 \right)\%$
$= 10\%$
উত্তর: ঘনবস্তুটির আয়তন $10\%$ হ্রাস পাবে।
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ক) $2$ গুণ
খ) $3$ গুণ
গ) $4$ গুণ
ঘ) $6$ গুণ
সমাধান: ধরি, বর্গের প্রাথমিক বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $= x^2$
বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে নতুন বাহু $= 2x$
নতুন ক্ষেত্রফল $= (2x)^2 = 4x^2$
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় $= 4x^2 – x^2 = 3x^2$
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল প্রাথমিক ক্ষেত্রফলের $3$ গুণ বৃদ্ধি পাবে। (নোট: যদি প্রশ্ন করা হতো “ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?”, তবে উত্তর হতো $4$ গুণ। কিন্তু “কতগুণ বৃদ্ধি পাবে” বলায় বৃদ্ধিপ্রাপ্ত অংশ $3x^2$ হওয়ায় উত্তর হবে $3$ গুণ।)
উত্তর:খ) $3$ গুণ
২. $b, a, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
(i)$a^2 = bc$
(ii)$\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$
(iii)$\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + a}{c – a}$
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) i ও ii
গ) i ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সমাধান: $b, a, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
$\frac{b}{a} = \frac{a}{c}$
বা, $a^2 = bc$(উক্তি i সঠিক)
আবার, $\frac{b}{a} = \frac{a}{c}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{a}$ [ব্যস্তকরণ করে]
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + a}{c – a}$ (উক্তি iii সঠিক)
কিন্তু উক্তি (ii) দেওয়া আছে $\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$, যা ভুল (কারণ সঠিক রূপটি হলো $\frac{b}{a} = \frac{a}{c}$)।
উত্তর:গ) i ও iii
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত $3 : 4 : 5$ এবং এর পরিসীমা $36$ সে.মি. হলে, নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
সমাধান: বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ধরি, বাহু তিনটি যথাক্রমে $3x, 4x$ এবং $5x$ সে.মি.।
পরিসীমা = $3x + 4x + 5x = 12x$
প্রশ্নানুসারে, $12x = 36 \implies x = 3$
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম বাহু $= 3 \times 3 = 9$ সে.মি.
মধ্যম বাহু $= 4 \times 3 = 12$ সে.মি.
বৃহত্তম বাহু $= 5 \times 3 = 15$ সে.মি.
৩. ত্রিভুজটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের বিয়োগফল কত একক?
ক) $9$
খ) $6$
গ) $5$
ঘ) $2$
সমাধান:
বিয়োগফল $= 15 – 9 = 6$ সে.মি.
উত্তর:খ) $6$
৪. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ক) $6$
খ) $54$
গ) $67$
ঘ) $90$
সমাধান:
যেহেতু বাহু তিনটি $9, 12, 15$ এবং $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$, তাই ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
এখানে ভূমি $= 12$ সে.মি. এবং উচ্চতা $= 9$ সে.মি. (অথবা বিপরীত)।
ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
$= \frac{1}{2} \times 12 \times 9$
$= 6 \times 9 = 54$ বর্গ সে.মি.
উত্তর:খ) $54$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. দৃশ্যকল্প ১: একদিন কোনো শ্রেণিতে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত $1 : 4$। ওই দিন আরও $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত থাকলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত হতো $1 : 9$।
দৃশ্যকল্প ২: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $336$ বর্গ একক। জমিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $2 : 3$ এবং $4 : 5$।
ক) একটি দ্রব্য $400$ টাকায় ক্রয় করে $10\%$ ক্ষতিতে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান: দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = $400$ টাকা।
$10\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = $400 – (400 \text{ এর } 10\%)$
$= 400 – \left(400 \times \frac{10}{100}\right)$
$= 400 – 40$
$= 360$ টাকা।
অতএব, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের $= 360 : 400$
$= \frac{360}{400}$
$= \frac{9}{10}$
$= 9 : 10$
খ) দৃশ্যকল্প ১ এ উল্লেখিত শ্রেণির শিক্ষার্থী সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $x$
এবং উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $4x$
যেহেতু মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে, তাই $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত থাকা মানে অনুপস্থিতি থেকে $5$ জন কমে যাওয়া।
তাহলে নতুন অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $(x – 5)$
এবং নতুন উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $(4x + 5)$
প্রশ্নানুসারে, $\frac{x – 5}{4x + 5} = \frac{1}{9}$
বা, $9(x – 5) = 1(4x + 5)$
বা, $9x – 45 = 4x + 5$
বা, $9x – 4x = 5 + 45$
বা, $5x = 50$
বা, $x = \frac{50}{5}$
বা, $x = 10$
অতএব,
অনুপস্থিত শিক্ষার্থী = $10$ জন
উপস্থিত শিক্ষার্থী = $4 \times 10 = 40$ জন
সুতরাং, মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = $10 + 40 = 50$ জন।
গ) দৃশ্যকল্প ২ এ উল্লেখিত ২য় জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, ১ম জমির দৈর্ঘ্য = $2a$ এবং ২য় জমির দৈর্ঘ্য = $3a$
১ম জমির প্রস্থ = $4b$ এবং ২য় জমির প্রস্থ = $5b$
১ম জমির ক্ষেত্রফল = $2a \times 4b = 8ab$
২য় জমির ক্ষেত্রফল = $3a \times 5b = 15ab$
দেওয়া আছে, ১ম জমির ক্ষেত্রফল = $336$ বর্গ একক।
সুতরাং, $8ab = 336$
বা, $ab = \frac{336}{8}$
বা, $ab = 42$
অতএব, ২য় জমিটির ক্ষেত্রফল $= 15ab$
$= 15 \times 42$
$= 630$ বর্গ একক।
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $5 : 7$ এবং এদের গ.সা.গু. $4$ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?
সমাধান: ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $7x$ (যেখানে $x$ হলো সাধারণ গুণনীয়ক)।
এখানে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = $x$
দেওয়া আছে, গ.সা.গু. = $4$
অতএব, $x = 4$
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = $5 \times 7 \times x = 35x$
$= 35 \times 4$
$= 140$
খ) $\frac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = \frac{x}{z}$ এবং $z \neq x$ হলে, দেখাও যে, $x, y$ ও $z$ ক্রমিক সমানুপাতী।
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $\frac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = \frac{x}{z}$
বা, $z(x^2 + y^2) = x(y^2 + z^2)$ [আড়গুণন করে]
বা, $zx^2 + zy^2 = xy^2 + xz^2$
বা, $zy^2 – xy^2 = xz^2 – zx^2$
বা, $y^2(z – x) = xz(z – x)$
বা, $y^2 = xz$ [যেহেতু $z \neq x$, তাই উভয়পক্ষকে $(z – x)$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$
অতএব, $x, y$ ও $z$ ক্রমিক সমানুপাতী। (দেখানো হলো)
গ) এক ঘন সে.মি. কাঠের ভর $700$ মিলিগ্রাম হলে, সমআয়তনের কাঠের ভর ও পানির ভরের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ ঘন সে.মি. বিশুদ্ধ পানির ভর = $1$ গ্রাম = $1000$ মিলিগ্রাম।
দেওয়া আছে, $1$ ঘন সে.মি. কাঠের ভর = $700$ মিলিগ্রাম।
অতএব, সমআয়তনের কাঠের ভর ও পানির ভরের অনুপাত $= 700 : 1000$
$= 7 : 10$
ঘ) $x : y = 3 : 4$ এবং $y : z = 2 : 3$ হলে, দেখাও যে, $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$।
সমাধান: দেওয়া আছে,
$x : y = 3 : 4 \implies \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \implies \frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ ——- (১)
আবার,
$y : z = 2 : 3 = (2 \times 2) : (3 \times 2) = 4 : 6$
$\implies \frac{y}{z} = \frac{4}{6} \implies \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$ ——- (২)
(১) ও (২) নম্বর সমীকরণ হতে পাই:
$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$(দেখানো হলো)