নবম-দশম শ্রেণি উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ৯.১

অনুশীলনী ৯.১: সূচকীয় ফাংশন

১. প্রমাণ করো যে, $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p = a^{\frac{mp}{n}}$, যেখানে $m, p \in \mathbb{Z}$ এবং $n \in \mathbb{N}$

সমাধান: ধরি, $x = a^{\frac{1}{n}}$

তাহলে সূচকের মূল সংজ্ঞা অনুযায়ী, $x^n = a$

এখন, বামপক্ষ $= \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p$

$= \left\{\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m\right\}^p$

$= (x^m)^p$

$= x^{mp}$

আবার $x = a^{\frac{1}{n}}$ বসিয়ে পাই,

$= \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{mp}$

$= a^{\frac{mp}{n}} =$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

২. প্রমাণ করো যে, $\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{mn}}$, যেখানে $m, n \in \mathbb{Z}, m \neq 0, n \neq 0$

সমাধান: ধরি, $x = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}}$

বা, $x^n = \left\{\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}}\right\}^n$ [উভয়পক্ষের $n$-তম ঘাত (power) নিয়ে]

বা, $x^n = a^{\frac{1}{m}}$

বা, $(x^n)^m = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^m$ [পুনরায় উভয়পক্ষের $m$-তম ঘাত নিয়ে]

বা, $x^{mn} = a$ [উভয়পক্ষে $\frac{1}{mn}$ শক্তি নিয়ে]

বা, $x = a^{\frac{1}{mn}}$

সুতরাং, $\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{mn}}$(প্রমাণিত)

৩. প্রমাণ করো যে, $(ab)^{\frac{m}{n}} = (a)^{\frac{m}{n}}(b)^{\frac{m}{n}}$, যেখানে $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$

সমাধান: ধরি, $x = a^{\frac{1}{n}}$ এবং $y = b^{\frac{1}{n}}$

সূচকের নিয়মানুসারে, $x^n = a$ এবং $y^n = b$

এখন, $ab = x^n \cdot y^n = (xy)^n$

উভয়পক্ষে $\frac{1}{n}$ ঘাত নিয়ে পাই,

$(ab)^{\frac{1}{n}} = xy = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}$

এখন উভয়পক্ষে $m$ পাওয়ার উন্নীত করে পাই,

$\left\{(ab)^{\frac{1}{n}}\right\}^m = \left\{a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}\right\}^m$

বা, $(ab)^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m \cdot \left(b^{\frac{1}{n}}\right)^m$

বা, $(ab)^{\frac{m}{n}} = (a)^{\frac{m}{n}}(b)^{\frac{m}{n}}$(প্রমাণিত)

৪. দেখাও যে,

ক) $\left(a^{\frac{1}{3}} – b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) = a – b$

সমাধান: ধরি, $x = a^{\frac{1}{3}}$ এবং $y = b^{\frac{1}{3}}$

তাহলে, $x^2 = a^{\frac{2}{3}}$ এবং $y^2 = b^{\frac{2}{3}}$

বামপক্ষ $= \left(a^{\frac{1}{3}} – b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)$

$= (x – y)(x^2 + xy + y^2)$

$= x^3 – y^3$

$= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 – \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3$

$= a^{3 \times \frac{1}{3}} – b^{3 \times \frac{1}{3}}$

$= a – b =$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

খ) $\frac{a^3 + a^{-3} + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1} = a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} – 1$

সমাধান: ধরি, $x = a^{\frac{3}{2}}$ এবং $x^{-1} = a^{-\frac{3}{2}}$

তাহলে, $x^2 = \left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = a^3$ এবং $x^{-2} = \left(a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 = a^{-3}$

বামপক্ষ $= \frac{a^3 + a^{-3} + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}$

$= \frac{x^2 + x^{-2} + 1}{x + x^{-1} + 1}$

$= \frac{x^2 + 2 \cdot x \cdot x^{-1} + x^{-2} – 1}{x + x^{-1} + 1}$(যেহেতু $x \cdot x^{-1} = 1$)

$= \frac{(x + x^{-1})^2 – (1)^2}{x + x^{-1} + 1}$

$= \frac{(x + x^{-1} + 1)(x + x^{-1} – 1)}{x + x^{-1} + 1}$

$= x + x^{-1} – 1$

$= a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} – 1$ [ $x = a^{\frac{3}{2}}$ এবং $x^{-1} = a^{-\frac{3}{2}}$ বসিয়ে পাই]

$= ডানপক্ষ$ (দেখানো হলো)

৫. সরল করো:

ক) $\frac{\left(\frac{a + b}{b}\right)^{\frac{a}{a – b}} \times \left(\frac{a – b}{a}\right)^{\frac{a}{a – b}}}{\left(\frac{a + b}{b}\right)^{\frac{b}{a – b}} \times \left(\frac{a – b}{a}\right)^{\frac{b}{a – b}}}$

সমাধান: $\frac{\left(\frac{a + b}{b}\right)^{\frac{a}{a – b}} \times \left(\frac{a – b}{a}\right)^{\frac{a}{a – b}}}{\left(\frac{a + b}{b}\right)^{\frac{b}{a – b}} \times \left(\frac{a – b}{a}\right)^{\frac{b}{a – b}}}$

$= \frac{\left[\frac{a+b}{b} \times \frac{a-b}{a}\right]^{\frac{a}{a-b}}}{\left[\frac{a+b}{b} \times \frac{a-b}{a}\right]^{\frac{b}{a-b}}}$

$= \left[\frac{(a+b)(a-b)}{ab}\right]^{\frac{a}{a-b} – \frac{b}{a-b}}$

$= \left[\frac{a^2 – b^2}{ab}\right]^{\frac{a-b}{a-b}}$

$= \left[\frac{a^2 – b^2}{ab}\right]^1$

$= \frac{a^2 – b^2}{ab}$

উত্তর:$\frac{a^2 – b^2}{ab}$

খ) $\frac{a^{\frac{3}{2}} + ab}{ab – b^3} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

সমাধান: $\frac{a^{\frac{3}{2}} + ab}{ab – b^3} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

$= \frac{a \cdot a^{\frac{1}{2}} + ab}{b(a – b^2)} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

$= \frac{a\sqrt{a} + ab}{b(\sqrt{a} – b)(\sqrt{a} + b)} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

$= \frac{a(\sqrt{a} + b)}{b(\sqrt{a} – b)(\sqrt{a} + b)} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

$= \frac{a}{b(\sqrt{a} – b)} – \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – b}$

$= \frac{a – b\sqrt{a}}{b(\sqrt{a} – b)}$

$= \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} – b)}{b(\sqrt{a} – b)}$

$= \frac{\sqrt{a}}{b}$

উত্তর:$\frac{\sqrt{a}}{b}$

গ) $\frac{1}{1 + a^{-m}b^n + a^{-m}c^p} + \frac{1}{1 + b^{-n}c^p + b^{-n}a^m} + \frac{1}{1 + c^{-p}a^m + c^{-p}b^n}$

সমাধান: $\frac{1}{1 + a^{-m}b^n + a^{-m}c^p} + \frac{1}{1 + b^{-n}c^p + b^{-n}a^m} + \frac{1}{1 + c^{-p}a^m + c^{-p}b^n}$

$= \frac{1}{1 + \frac{b^n}{a^m} + \frac{c^p}{a^m}} + \frac{1}{1 + \frac{c^p}{b^n} + \frac{a^m}{b^n}} + \frac{1}{1 + \frac{a^m}{c^p} + \frac{b^n}{c^p}}$

$= \frac{1}{\frac{a^m + b^n + c^p}{a^m}} + \frac{1}{\frac{b^n + c^p + a^m}{b^n}} + \frac{1}{\frac{c^p + a^m + b^n}{c^p}}$

$= \frac{a^m}{a^m + b^n + c^p} + \frac{b^n}{a^m + b^n + c^p} + \frac{c^p}{a^m + b^n + c^p}$

$= \frac{a^m + b^n + c^p}{a^m + b^n + c^p}$

$= 1$

উত্তর:$1$

ঘ) $\sqrt[bc]{\frac{x^{\frac{b}{c}}}{x^{\frac{c}{b}}}} \times \sqrt[ca]{\frac{x^{\frac{c}{a}}}{x^{\frac{a}{c}}}} \times \sqrt[ab]{\frac{x^{\frac{a}{b}}}{x^{\frac{b}{a}}}}$

সমাধান: $\sqrt[bc]{\frac{x^{\frac{b}{c}}}{x^{\frac{c}{b}}}} \times \sqrt[ca]{\frac{x^{\frac{c}{a}}}{x^{\frac{a}{c}}}} \times \sqrt[ab]{\frac{x^{\frac{a}{b}}}{x^{\frac{b}{a}}}}$

$= \left(x^{\frac{b}{c} – \frac{c}{b}}\right)^{\frac{1}{bc}} \times \left(x^{\frac{c}{a} – \frac{a}{c}}\right)^{\frac{1}{ca}} \times \left(x^{\frac{a}{b} – \frac{b}{a}}\right)^{\frac{1}{ab}}$

$= \left(x^{\frac{b^2 – c^2}{bc}}\right)^{\frac{1}{bc}} \times \left(x^{\frac{c^2 – a^2}{ca}}\right)^{\frac{1}{ca}} \times \left(x^{\frac{a^2 – b^2}{ab}}\right)^{\frac{1}{ab}}$

$= x^{\frac{b^2 – c^2}{b^2c^2}} \times x^{\frac{c^2 – a^2}{c^2a^2}} \times x^{\frac{a^2 – b^2}{a^2b^2}}$

$= x^{\frac{b^2 – c^2}{b^2c^2} + \frac{c^2 – a^2}{c^2a^2} + \frac{a^2 – b^2}{a^2b^2}}$

$= x^{\frac{a^2(b^2 – c^2) + b^2(c^2 – a^2) + c^2(a^2 – b^2)}{a^2b^2c^2}}$

$= x^{\frac{a^2b^2 – a^2c^2 + b^2c^2 – a^2b^2 + a^2c^2 – b^2c^2}{a^2b^2c^2}}$

$= x^{\frac{0}{a^2b^2c^2}}$

$= x^0$

$= 1$

উত্তর:$1$

ঙ) $\frac{(a^2 – b^{-2})^a (a – b^{-1})^{b – a}}{(b^2 – a^{-2})^b (b + a^{-1})^{a – b}}$

সমাধান: $\frac{(a^2 – b^{-2})^a (a – b^{-1})^{b – a}}{(b^2 – a^{-2})^b (b + a^{-1})^{a – b}}$

$= \frac{\left(a + \frac{1}{b}\right)^a \left(a – \frac{1}{b}\right)^a \left(a – \frac{1}{b}\right)^{b – a}}{\left(b + \frac{1}{a}\right)^b \left(b – \frac{1}{a}\right)^b \left(b + \frac{1}{a}\right)^{a – b}}$

$= \frac{\left(\frac{ab + 1}{b}\right)^a \left(\frac{ab – 1}{b}\right)^{a + b – a}}{\left(\frac{ab + 1}{a}\right)^{b + a – b} \left(\frac{ab – 1}{a}\right)^b}$

$= \frac{\left(\frac{ab + 1}{b}\right)^a \left(\frac{ab – 1}{b}\right)^b}{\left(\frac{ab + 1}{a}\right)^a \left(\frac{ab – 1}{a}\right)^b}$

$= \frac{\frac{(ab + 1)^a}{b^a} \cdot \frac{(ab – 1)^b}{b^b}}{\frac{(ab + 1)^a}{a^a} \cdot \frac{(ab – 1)^b}{a^b}}$

$= \frac{\frac{(ab + 1)^a (ab – 1)^b}{b^{a+b}}}{\frac{(ab + 1)^a (ab – 1)^b}{a^{a+b}}}$

$= \frac{a^{a+b}}{b^{a+b}}$

$= \left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}$

উত্তর:$\left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}$

৬. দেখাও যে,

ক) যদি $x = a^{q+r}b^p$, $y = a^{r+p}b^q$, $z = a^{p+q}b^r$ হয়, তবে $x^{q-r} \cdot y^{r-p} \cdot z^{p-q} = 1$

সমাধান: দেওয়া আছে,

$x = a^{q+r}b^p$

$y = a^{r+p}b^q$

$z = a^{p+q}b^r$

বামপক্ষ $= x^{q-r} \cdot y^{r-p} \cdot z^{p-q}$

$= (a^{q+r}b^p)^{q-r} \cdot (a^{r+p}b^q)^{r-p} \cdot (a^{p+q}b^r)^{p-q}$

$= \left(a^{(q+r)(q-r)} \cdot b^{p(q-r)}\right) \cdot \left(a^{(r+p)(r-p)} \cdot b^{q(r-p)}\right) \cdot \left(a^{(p+q)(p-q)} \cdot b^{r(p-q)}\right)$

$= \left(a^{q^2 – r^2} \cdot b^{pq – pr}\right) \cdot \left(a^{r^2 – p^2} \cdot b^{qr – pq}\right) \cdot \left(a^{p^2 – q^2} \cdot b^{pr – qr}\right)$

$= a^{(q^2 – r^2) + (r^2 – p^2) + (p^2 – q^2)} \cdot b^{(pq – pr) + (qr – pq) + (pr – qr)}$

$= a^0 \cdot b^0$

$= 1 \times 1$

$= 1 =$ ডানপক্ষ (দেখান হলো)

খ) যদি $a^p = b$, $b^q = c$ এবং $c^r = a$ হয়, তবে $pqr = 1$

সমাধান: দেওয়া আছে,

$c^r = a$

বা, $(b^q)^r = a$(যেহেতু $c = b^q$)

বা, $b^{qr} = a$

বা, $(a^p)^{qr} = a$(যেহেতু $b = a^p$)

বা, $a^{pqr} = a^1$

বা, $pqr = 1 =$ ডানপক্ষ (দেখান হলো)

গ) যদি $a^x = p$, $a^y = q$ এবং $a^2 = (p^y q^x)^z$ হয়, তবে $xyz = 1$

সমাধান: দেওয়া আছে,

$a^2 = (p^y q^x)^z$

$p = a^x$ এবং $q = a^y$ বসিয়ে পাই:

$a^2 = \left((a^x)^y \cdot (a^y)^x\right)^z$

বা, $a^2 = (a^{xy} \cdot a^{xy})^z$

বা, $a^2 = (a^{xy + xy})^z$

বা, $a^2 = (a^{2xy})^z$

বা, $a^2 = a^{2xyz}$

বা, $2 = 2xyz$

বা, $2xyz = 2$

বা, $xyz = \frac{2}{2}$

বা, $xyz = 1 =$ ডানপক্ষ (দেখান হলো)

৭. দেখাও যে,

ক) যদি $x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b} + z\sqrt[3]{c} = 0$ এবং $a^2 = bc$ হয়, তবে দেখাও যে, $ax^3 + by^3 + cz^3 = 3axyz$

সমাধান: দেওয়া আছে, $x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b} + z\sqrt[3]{c} = 0$

বা, $x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b} = -z\sqrt[3]{c}$

বা, $(x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b})^3 = (-z\sqrt[3]{c})^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন (cube) করে]

বা, $(x\sqrt[3]{a})^3 + (y\sqrt[3]{b})^3 + 3(x\sqrt[3]{a})(y\sqrt[3]{b})(x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b}) = -z^3 c$

বা, $x^3 a + y^3 b + 3xy\sqrt[3]{ab}(-z\sqrt[3]{c}) = -cz^3$

বা, $ax^3 + by^3 – 3xyz\sqrt[3]{abc} = -cz^3$

বা, $ax^3 + by^3 – 3xyz\sqrt[3]{a^3} = -cz^3$ [দেওয়া আছে $a^2 = bc$, তাই $abc = a \cdot a^2 = a^3$]

বা, $ax^3 + by^3 – 3xyz(a) = -cz^3$

বা, $ax^3 + by^3 + cz^3 = 3axyz$(দেখানো হলো)

খ) যদি $x = (a + b)^{\frac{1}{3}} + (a – b)^{\frac{1}{3}}$ এবং $a^2 – b^2 = c^3$ হয়, তবে দেখাও যে, $x^3 – 3cx – 2a = 0$

সমাধান: দেওয়া আছে, $x = (a + b)^{\frac{1}{3}} + (a – b)^{\frac{1}{3}}$

বা, $x^3 = \left\{(a + b)^{\frac{1}{3}} + (a – b)^{\frac{1}{3}}\right\}^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $x^3 = \left((a + b)^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left((a – b)^{\frac{1}{3}}\right)^3 + 3(a + b)^{\frac{1}{3}}(a – b)^{\frac{1}{3}}\left\{(a + b)^{\frac{1}{3}} + (a – b)^{\frac{1}{3}}\right\}$

বা, $x^3 = (a + b) + (a – b) + 3\{(a + b)(a – b)\}^{\frac{1}{3}} \cdot x$

বা, $x^3 = 2a + 3(a^2 – b^2)^{\frac{1}{3}} \cdot x$

বা, $x^3 = 2a + 3(c^3)^{\frac{1}{3}} \cdot x$ [যেহেতু $a^2 – b^2 = c^3$]

বা, $x^3 = 2a + 3cx$

বা, $x^3 – 3cx – 2a = 0$(দেখানো হলো)

গ) যদি $a^2 + 2 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{-\frac{2}{3}}$ এবং $a \geq 0$ হয়, তবে দেখাও যে, $3a^3 + 9a = 8$

সমাধান: দেওয়া আছে,

$a^2 + 2 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{-\frac{2}{3}}$

বা, $a^2 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{-\frac{2}{3}} – 2$

বা, $a^2 = \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2 – 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} + \left(3^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

বা, $a^2 = \left(3^{\frac{1}{3}} – 3^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

$a = 3^{\frac{1}{3}} – 3^{-\frac{1}{3}}$ [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে(যেহেতু $a \geq 0$)]

$a^3 = \left(3^{\frac{1}{3}} – 3^{-\frac{1}{3}}\right)^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $a^3 = \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3 – \left(3^{-\frac{1}{3}}\right)^3 – 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \left(3^{\frac{1}{3}} – 3^{-\frac{1}{3}}\right)$

বা, $a^3 = 3 – 3^{-1} – 3(1)(a)$

বা, $a^3 = 3 – \frac{1}{3} – 3a$

বা, $a^3 + 3a = \frac{8}{3}$

উভয়পক্ষকে $3$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$3a^3 + 9a = 8$(দেখানো হলো)

ঘ) যদি $a^2 = b^3$ হয়, তবে দেখাও যে, $\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{3}}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a^2 = b^3 \implies a = b^{\frac{3}{2}}$ এবং $b = a^{\frac{2}{3}}$

বামপক্ষ $= \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}$

$= \frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} + \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}$

$= \frac{a^{\frac{3}{2}}}{a} + \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b}$ [$b^{\frac{3}{2}} = a$ এবং $a^{\frac{2}{3}} = b$ মান দুটি বসিয়ে]

$= a^{\frac{3}{2} – 1} + b^{\frac{2}{3} – 1}$

$= a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{3}} =$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ঙ) যদি $b = 1 + 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}$ হয়, তবে দেখাও যে, $b^3 – 3b^2 – 6b – 4 = 0$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $b = 1 + 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}$

বা, $b – 1 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}$

বা, $(b – 1)^3 = \left(3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\right)^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 1 = \left(3^{\frac{2}{3}}\right)^3 + \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3 + 3 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \left(3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\right)$

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 1 = 3^2 + 3^1 + 3 \cdot 3^{1} (b – 1)$

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 1 = 9 + 3 + 9(b – 1)$

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 1 = 12 + 9b – 9$

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 1 = 9b + 3$

বা, $b^3 – 3b^2 + 3b – 9b – 1 – 3 = 0$

বা, $b^3 – 3b^2 – 6b – 4 = 0$(দেখানো হলো)

চ) যদি $a + b + c = 0$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{1}{x^c + x^{-a} + 1} + \frac{1}{x^a + x^{-b} + 1} = 1$

সমাধান: দেওয়া আছে, $a + b + c = 0$

অতএব, $-c = a + b$, $-a = b + c$, এবং $-b = c + a$

প্রথম পদ $= \frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} = \frac{1}{x^b + x^{a+b} + 1}$

দ্বিতীয় পদ $= \frac{1}{x^c + x^{-a} + 1} = \frac{1}{x^c + x^{b+c} + 1} = \frac{x^{-c}}{1 + x^b + x^{-c}} = \frac{x^{-c}}{1 + x^b + x^{a+b}}$

তৃতীয় পদ $= \frac{1}{x^a + x^{-b} + 1} = \frac{x^{-a}}{1 + x^{-a-b} + x^{-a}} = \frac{x^{b}}{x^{a+b} + 1 + x^b}$

বামপক্ষ $= \frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{1}{x^c + x^{-a} + 1} + \frac{1}{x^a + x^{-b} + 1}$

$= \frac{1}{x^a + x^{-b} + 1} + \frac{x^a}{x^a + x^{-b} + 1} + \frac{x^{-b}}{x^a + x^{-b} + 1}$

$= \frac{1 + x^a + x^{-b}}{1 + x^a + x^{-b}}$

$= 1 =$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৮. ক) যদি $a^x = b$, $b^y = c$ এবং $c^z = 1$ হয়, তবে $xyz$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $c^z = 1$

বা, $(b^y)^z = 1$

বা, $b^{yz} = 1$

বা, $(a^x)^{yz} = 1$

বা, $a^{xyz} = 1$

বা, $a^{xyz} = a^0$

বা, $xyz = 0$

উত্তর:$0$

খ) যদি $x^a = y^b = z^c$ এবং $xyz = 1$ হয়, তবে $ab + bc + ca$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, $x^a = y^b = z^c = k$

তাহলে, $x = k^{\frac{1}{a}}$, $y = k^{\frac{1}{b}}$, $z = k^{\frac{1}{c}}$

দেওয়া আছে, $xyz = 1$

বা, $k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{b}} \cdot k^{\frac{1}{c}} = 1$

বা, $k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = k^0$

বা, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$

বা, $\frac{bc + ca + ab}{abc} = 0$

বা, $ab + bc + ca = 0$

উত্তর:$0$

গ) যদি $9^x = 27^y$ হয়, তবে $\frac{x}{y}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $9^x = 27^y$

বা, $(3^2)^x = (3^3)^y$

বা, $3^{2x} = 3^{3y}$

বা, $2x = 3y$

বা, $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$

উত্তর:$\frac{3}{2}$

৯. সমাধান করো:

ক) $3^{2x+2} + 27^{x+1} = 36$

সমাধান: $3^{2x+2} + 27^{x+1} = 36$

বা, $3^{2x+2} + (3^3)^{x+1} = 36$

বা, $3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{3x+3} = 36$

বা, $9 \cdot 3^{2x} + 27 \cdot 3^{3x} = 36$

বা, $9u^2 + 27u^3 = 36$ [ধরি, $3^x = u$]

বা, $27u^3 + 9u^2 – 36 = 0$

বা, $3u^3 + u^2 – 4 = 0$ [উভয়পক্ষকে $9$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $3u^3 – 3u^2 + 4u^2 – 4u + 4u – 4 = 0$

বা, $3u^2(u – 1) + 4u(u – 1) + 4(u – 1) = 0$

বা, $(u – 1)(3u^2 + 4u + 4) = 0$

এখানে $3u^2 + 4u + 4 = 0$ এর কোনো বাস্তব মূল নেই (নিশ্চায়ক $16 – 48 < 0$)।

অতএব, $u – 1 = 0$

বা, $u = 1$

বা, $3^x = 1$ [$u = 3^x$ এর মান বসিয়ে পাই]

বা, $3^x = 3^0$

বা, $x = 0$

উত্তর:$x = 0$

খ) $5^x + 3^y = 8, 5^{x-1} + 3^{y-1} = 2$

সমাধান: ধরি, $5^x = u$ এবং $3^y = v$

প্রথম সমীকরণ: $u + v = 8$ ……… (১)

দ্বিতীয় সমীকরণ: $\frac{u}{5} + \frac{v}{3} = 2$

বা, $3u + 5v = 30$ ……… (২)

সমীকরণ (১) কে $3$ দ্বারা গুণ করে (২) থেকে বিয়োগ করি,

$(3u + 5v) – (3u + 3v) = 30 – 24$

বা, $2v = 6$

বা, $v = 3$

(১) নং সমীকরণে $v = 3$ বসিয়ে পাই:

$u + 3 = 8 \implies u = 5$

এখন,

$5^x = u = 5^1$

বা, $x = 1$

বা, $3^y = v = 3^1$

বা, $y = 1$

উত্তর:$(x, y) = (1, 1)$

গ) $4^{3y-2} = 16^{x+y}, 3^{x+2y} = 9^{2x+1}$

সমাধান: $4^{3y-2} = 16^{x+y}$

বা $4^{3y-2} = (4^2)^{x+y}$

বা, $3y – 2 = 2x + 2y$

বা, $2x – y = -2$ ……… (১)

আবার, $3^{x+2y} = (3^2)^{2x+1}$

বা, $x + 2y = 4x + 2$

বা, $3x – 2y = -2$ ……… (২)

সমীকরণ (১) কে $2$ দিয়ে গুণ করে (২) থেকে বিয়োগ করি:

$(4x – 2y) – (3x – 2y) = -4 – (-2)$

বা, $x = -2$

(১) নং সমীকরণে $x = -2$ বসিয়ে পাই:

$2(-2) – y = -2$

বা, $-4 – y = -2$

বা, $y = -2$

উত্তর:$(x, y) = (-2, -2)$

ঘ) $2^{2x+1} \cdot 2^{3y+1} = 8, 2^{x+2} \cdot 2^{y+2} = 16$

সমাধান: $2^{2x+1} \cdot 2^{3y+1} = 8$

বা, $2^{(2x+1) + (3y+1)} = 2^3$

বা, $2x + 3y + 2 = 3$

বা, $2x + 3y = 1$ ……… (১)

আবার, $2^{x+2} \cdot 2^{y+2} = 16$

বা, $2^{(x+2) + (y+2)} = 2^4$

বা, $x + y + 4 = 4$

বা, $x + y = 0 \implies x = -y$ ……… (২)

(১) নং সমীকরণে $x = -y$ বসিয়ে পাই:

$2(-y) + 3y = 1$

বা, $y = 1$

অতএব, $x = -1$

উত্তর:$(x, y) = (-1, 1)$