অনুশীলনী ৫.৬: দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোট
১. সমাধান: $$2^x + 3^y = 31 \quad \dots \dots (i)$$
$$2^x – 3^y = -23 \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করি,
$$(2^x + 3^y) + (2^x – 3^y) = 31 + (-23)$$
$$2 \cdot 2^x = 8$$
$$2^{x+1} = 2^3$$
$$x + 1 = 3 \implies x = 2$$
$x = 2$ মানটি $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$$2^2 + 3^y = 31$$
$$4 + 3^y = 31$$
$$3^y = 27 \implies 3^y = 3^3 \implies y = 3$$
উত্তর:$(x, y) = (2, 3)$
২. সমাধান: $$3^x = 9^y \quad \dots \dots (i)$$
$$5^{x+y+1} = 25^{xy} \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$$3^x = (3^2)^y \implies 3^x = 3^{2y} \implies x = 2y \quad \dots \dots (iii)$$
$(ii)$ নং সমীকরণে $x = 2y$ বসিয়ে পাই,
$$5^{2y+y+1} = (5^2)^{xy}$$
$$5^{3y+1} = 5^{2xy}$$
$$3y + 1 = 2xy$$
$$3y + 1 = 2(2y)y$$
$$4y^2 – 3y – 1 = 0$$
$$4y^2 – 4y + y – 1 = 0$$
$$4y(y – 1) + 1(y – 1) = 0$$
$$(y – 1)(4y + 1) = 0$$
অতএব, $y = 1$ অথবা $y = -\frac{1}{4}$
যদি $y = 1$ হয়, তবে $x = 2(1) = 2$
যদি $y = -\frac{1}{4}$ হয়, তবে $x = 2\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}$
উত্তর:$(x, y) = (2, 1)$ অথবা $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$
৩. সমাধান: $$3^x \cdot 9^y = 81 \quad \dots \dots (i)$$
$$2x – y = 8 \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$$3^x \cdot (3^2)^y = 3^4$$
$$3^{x+2y} = 3^4 \implies x + 2y = 4 \quad \dots \dots (iii)$$
$(ii)$ নং থেকে পাই,
$y = 2x – 8$
$y$ এর মান $(iii)$ নং এ বসিয়ে পাই,
$$x + 2(2x – 8) = 4$$
$$x + 4x – 16 = 4$$
$$5x = 20 \implies x = 4$$
$x = 4$ মানটি $iii$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$$y = 2(4) – 8 = 0$$
উত্তর:$(x, y) = (4, 0)$
৪. সমাধান: $$2^x \cdot 3^y = 18 \quad \dots \dots (i)$$
$$2^{2x} \cdot 3^y = 36 \quad \dots \dots (ii)$$
$(ii)$ নং সমীকরণকে $(i)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
$$\frac{2^{2x} \cdot 3^y}{2^x \cdot 3^y} = \frac{36}{18}$$
$$2^{2x – x} = 2^1$$
$$2^x = 2^1 \implies x = 1$$
$x = 1$ মানটি $(i)$ নং-এ বসিয়ে,
$$2^1 \cdot 3^y = 18$$
$$3^y = 9 \implies 3^y = 3^2 \implies y = 2$$
উত্তর:$(x, y) = (1, 2)$
৫. সমাধান: $$a^x \cdot a^{y+1} = a^7 \quad \dots \dots (i)$$
$$a^{2y} \cdot a^{3x+5} = a^{20} \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$$a^{x + y + 1} = a^7 \implies x + y + 1 = 7 \implies x + y = 6 \quad \dots \dots (iii)$$
$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$$a^{2y + 3x + 5} = a^{20} \implies 3x + 2y + 5 = 20 \implies 3x + 2y = 15 \quad \dots \dots (iv)$$
$(iii)$ নং থেকে $y = 6 – x$ মানটি $(iv)$ নং-এ বসিয়ে,
$$3x + 2(6 – x) = 15$$
$$3x + 12 – 2x = 15 \implies x = 3$$
$x = 3$ হলে, $y = 6 – 3 = 3$
উত্তর:$(x, y) = (3, 3)$
৬. সমাধান: $$y^x = x^2 \quad \dots \dots (i)$$
$$x^{2x} = y^4 \quad (y \neq 1) \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং থেকে $y$-এর মান বের করি,
$$y = (x^2)^{\frac{1}{x}} = x^{\frac{2}{x}}$$
$y$ এর মান $(ii)$ নং-এ বসিয়ে,
$$x^{2x} = \left(x^{\frac{2}{x}}\right)^4$$
$$x^{2x} = x^{\frac{8}{x}}$$
$$2x = \frac{8}{x}$$
$$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$
যদি $x = 2$ হয়:
$$y = 2^{\frac{2}{2}} = 2^1 = 2$$
যদি $x = -2$ হয়:
$$y = (-2)^{\frac{2}{-2}} = (-2)^{-1} = -\frac{1}{2}$$
উত্তর:$(x, y) = (2, 2)$ অথবা $\left(-2, -\frac{1}{2}\right)$
৭. সমাধান: $$y^x = 4 \quad \dots \dots (i)$$
$$y^2 = 2^x \quad \dots \dots (ii)$$
$(ii)$ নং থেকে $2 = (y^2)^{\frac{1}{x}} = y^{\frac{2}{x}}$
$(i)$ নং সমীকরণে মানটি বসিয়ে,
$$y^x = 2^2$$
$$y^x = \left(y^{\frac{2}{x}}\right)^2$$
$$y^x = y^{\frac{4}{x}}$$
$$x = \frac{4}{x}$$
$$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$
যদি $x = 2$ হয়,
$$y^2 = 2^2 = 4 \implies y = \pm 2$$তবে $y = 2$ বসালে $2^2 = 4$ যা সিদ্ধ করে।
যদি $x = -2$ হয়,
$$y^{-2} = 4 \implies \frac{1}{y^2} = 4 \implies y^2 = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$$
উত্তর:$(x, y) = (2, 2), (2, -2), \left(-2, \frac{1}{2}\right), \left(-2, -\frac{1}{2}\right)$
৮. সমাধান: $$4^x = 2^y \quad \dots \dots (i)$$
$$(27)^{xy} = 9^{y+1} \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$$(2^2)^x = 2^y \implies 2^{2x} = 2^y \implies y = 2x \quad \dots \dots (iii)$$
$(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,
$$(3^3)^{xy} = (3^2)^{y+1}$$
$$3^{3xy} = 3^{2y+2} \implies 3xy = 2y + 2$$
এখন $y = 2x$ মানটি বসিয়ে,
$$3x(2x) = 2(2x) + 2$$
$$6x^2 = 4x + 2$$
$$3x^2 – 2x – 1 = 0$$
$$3x^2 – 3x + x – 1 = 0$$
$$3x(x – 1) + 1(x – 1) = 0$$
$$(x – 1)(3x + 1) = 0$$
অতএব, $x = 1$ অথবা $x = -\frac{1}{3}$
যদি $x = 1$ হয়, তবে $y = 2(1) = 2$
যদি $x = -\frac{1}{3}$ হয়, তবে $y = 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}$
উত্তর:$(x, y) = (1, 2)$ অথবা $\left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)$
৯. সমাধান: $$8y^x – y^{2x} = 16 \quad \dots \dots (i)$$
$$2^x = y^2 \quad \dots \dots (ii)$$
$(i)$ নং সমীকরণটিকে সাজিয়ে পাই,
$$y^{2x} – 8y^x + 16 = 0$$
$$(y^x)^2 – 2 \cdot y^x \cdot 4 + 4^2 = 0$$
$$(y^x – 4)^2 = 0$$
$$y^x – 4 = 0 \implies y^x = 4 \quad \dots \dots (iii)$$
$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $y = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}}$
$y$-এর এই মান $(iii)$ নং-এ বসিয়ে পাই,
$$\left(2^{\frac{x}{2}}\right)^x = 4$$
$$2^{\frac{x^2}{2}} = 2^2$$
$$\frac{x^2}{2} = 2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$
যদি $x = 2$ হয়,
$$y^2 = 2^2 = 4 \implies y = \pm 2$$
যদি $x = -2$ হয়,
$$y^2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$$
উত্তর:$(x, y) = (2, 2), (2, -2), \left(-2, \frac{1}{2}\right), \left(-2, -\frac{1}{2}\right)$