অনুশীলনী ৫.৫: দ্বিঘাত সহসমীকরণের ব্যবহার
১. দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 481 বর্গমিটার। ঐ দুটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 240 বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ কত?
সমাধান:
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $y$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে,
$x^2 + y^2 = 481 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$xy = 240 \quad \dots \dots (ii)$
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
বা, $(x + y)^2 = 481 + 2(240)$
বা, $(x + y)^2 = 481 + 480$
বা, $(x + y)^2 = 961$
বা, $x + y = \sqrt{961}$
বা, $x + y = 31 \quad \dots \dots (iii) \quad [\text{দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না}]$
আবার,
$(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy$
বা, $(x – y)^2 = 481 – 2(240)$
বা, $(x – y)^2 = 481 – 480$
বা, $(x – y)^2 = 1$
বা, $x – y = 1 \quad \dots \dots (iv) \quad [\text{ধরি } x > y]$
$(iii)$ ও $(iv)$ নং যোগ করে পাই,
$2x = 32$
বা, $x = 16$
$(iii)$ নং থেকে $(iv)$ নং বিয়োগ করে পাই,
$2y = 30$
বা, $y = 15$
উত্তর: বর্গক্ষেত্র দুটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $16$ মিটার এবং $15$ মিটার।
২. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 250। সংখ্যা দুটির গুণফল 117, সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, ধনাত্মক সংখ্যা দুটি $x$ এবং $y$ (যেখানে $x > y > 0$)।
প্রথম শর্তানুসারে,
$x^2 + y^2 = 250 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$xy = 117 \quad \dots \dots (ii)$
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
বা, $(x + y)^2 = 250 + 2(117)$
বা, $(x + y)^2 = 250 + 234$
বা, $(x + y)^2 = 484$
বা, $x + y = \sqrt{484}$
বা, $x + y = 22 \quad \dots \dots (iii) \quad [\text{যেহেতু } x, y > 0]$
আবার,
$(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy$
বা, $(x – y)^2 = 250 – 2(117)$
বা, $(x – y)^2 = 250 – 234$
বা, $(x – y)^2 = 16$
বা, $x – y = 4 \quad \dots \dots (iv)$
$(iii)$ ও $(iv)$ নং যোগ করে পাই,
$2x = 26$
বা, $x = 13$
$(iii)$ নং থেকে $(iv)$ নং বিয়োগ করে পাই,
$2y = 18$
বা, $y = 9$
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $13$ এবং $9$।
৩. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার। ইহার বাহুদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফলের সমান দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বাহুদ্বয় দ্বারা অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 28 বর্গমিটার হলে, প্রথম আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার ($x > y$)।
প্রথম শর্তানুসারে,
$\sqrt{x^2 + y^2} = 10$
বা, $x^2 + y^2 = 100 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, নতুন আয়তক্ষেত্রের বাহু দুটি হবে $(x+y)$ এবং $(x-y)$।
$(x + y)(x – y) = 28$
বা, $x^2 – y^2 = 28 \quad \dots \dots (ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ নং যোগ করে পাই,
$2x^2 = 128$
বা, $x^2 = 64$
বা, $x = 8 \quad [\text{দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না}]$
$(i)$ নং থেকে $(ii)$ নং বিয়োগ করে পাই,
$2y^2 = 72$
বা, $y^2 = 36$
বা, $y = 6 \quad [\text{প্রস্থ ঋণাত্মক হয় না}]$
উত্তর: প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $8$ মিটার এবং প্রস্থ $6$ মিটার।
৪. দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি $x$ এবং $y$ ($x > y$)।
দেওয়া আছে,
$x^2 + y^2 = 181 \quad \dots \dots (i)$
$xy = 90 \quad \dots \dots (ii)$
$x^2 – y^2 =?$
আমরা জানি,
$(x^2 – y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 – 4x^2y^2$
বা, $(x^2 – y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 – 4(xy)^2$
বা, $(x^2 – y^2)^2 = (181)^2 – 4(90)^2$
বা, $(x^2 – y^2)^2 = 32761 – 4(8100)$
বা, $(x^2 – y^2)^2 = 32761 – 32400$
বা, $(x^2 – y^2)^2 = 361$
বা, $x^2 – y^2 = \sqrt{361}$
বা, $x^2 – y^2 = 19$
উত্তর: সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর $19$ (বা $\pm 19$)।
৫. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার। অপর একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অপেক্ষা যথাক্রমে 4 মিটার এবং 1 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার। প্রথম আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে,
$xy = 24 \implies y = \frac{24}{x} \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$(x + 4)(y + 1) = 50$
বা, $xy + x + 4y + 4 = 50$
বা, $24 + x + 4y + 4 = 50 \quad [\text{যেহেতু } xy = 24]$
বা, $x + 4y + 28 = 50$
বা, $x + 4y = 22 \quad \dots \dots (ii)$
$(i)$ নং থেকে $y$-এর মান $(ii)$ নং-এ বসিয়ে পাই,
$x + 4\left(\frac{24}{x}\right) = 22$
বা, $x + \frac{96}{x} = 22$
বা, $\frac{x^2 + 96}{x} = 22$
বা, $x^2 + 96 = 22x$
বা, $x^2 – 22x + 96 = 0$
বা, $x^2 – 16x – 6x + 96 = 0$
বা, $x(x – 16) – 6(x – 16) = 0$
বা, $(x – 16)(x – 6) = 0$ হয়,
$x – 16 = 0 \implies x = 16$
তখন $(i)$ নং হতে, $y = \frac{24}{16} = 1.5$
অথবা,
$x – 6 = 0 \implies x = 6$
তখন $(i)$ নং হতে, $y = \frac{24}{6} = 4$
সাধারণত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় হয়, তাই গ্রহণযোগ্য মান $x = 6, y = 4$ (অথবা $x = 16, y = 1.5$)।
উত্তর: প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $6$ মিটার এবং প্রস্থ $4$ মিটার (অথবা দৈর্ঘ্য $16$ মিটার এবং প্রস্থ $1.5$ মিটার)।
৬. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 23 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে,
$2y – x = 23$
বা, $x = 2y – 23 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$xy = 600 \quad \dots \dots (ii)$
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান $(ii)$ নং-এ বসিয়ে পাই,
$(2y – 23)y = 600$
বা, $2y^2 – 23y = 600$
বা, $2y^2 – 23y – 600 = 0$
বা, $2y^2 – 48y + 25y – 600 = 0$
বা, $2y(y – 24) + 25(y – 24) = 0$
বা, $(y – 24)(2y + 25) = 0$
যেহেতু প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $2y + 25 = 0 \implies y = -\frac{25}{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তাহলে,
$y – 24 = 0 \implies y = 24$
$y = 24$ মান $(i)$ নং-এ বসিয়ে পাই,
$x = 2(24) – 23 = 48 – 23 = 25$
উত্তর: আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $25$ মিটার এবং প্রস্থ $24$ মিটার।
৭. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপেক্ষা 8 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার ($x > y$)।
পরিসীমা $= 2(x + y)$ মিটার এবং কর্ণ $= \sqrt{x^2 + y^2}$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে,
$2(x + y) = \sqrt{x^2 + y^2} + 8 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$xy = 48 \quad \dots \dots (ii)$
আমরা জানি, $x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = (x + y)^2 – 2(48) = (x + y)^2 – 96$
ধরি, $x + y = a$
তাহলে $(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই,
$2a = \sqrt{a^2 – 96} + 8$
বা, $2a – 8 = \sqrt{a^2 – 96}$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(2a – 8)^2 = a^2 – 96$
বা, $4a^2 – 32a + 64 = a^2 – 96$
বা, $3a^2 – 32a + 160 = 0$
বা, $3a^2 – 24a – 8a + 160 = 0$
বা, $3a(a – 8) – 20(a – 8) = 0$
বা, $(a – 8)(3a – 20) = 0$
এখানে $a = \frac{20}{3} \approx 6.67$ সিদ্ধ হয় না কারণ $xy = 48$ হলে $(x+y) > 2\sqrt{48} \approx 13.85$।
অতএব, $a – 8 = 0 \implies a = 14$
তাহলে, $x + y = 14 \quad \dots \dots (iii)$
আমরা জানি,
$(x – y)^2 = (x + y)^2 – 4xy = 14^2 – 4(48) = 196 – 192 = 4$
বা, $x – y = 2 \quad \dots \dots (iv)$
$(iii)$ ও $(iv)$ নং যোগ ও বিয়োগ করে পাই,
$2x = 16 \implies x = 8$
$2y = 12 \implies y = 6$
উত্তর: দৈর্ঘ্য $8$ মিটার এবং প্রস্থ $6$ মিটার।
৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে এর অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 2 হয়। সংখ্যাটির সাথে 27 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $y$।
তাহলে সংখ্যাটি $= 10x + y$ এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল $= xy$।
প্রথম শর্তানুসারে,
$\frac{10x + y}{xy} = 2$
বা, $10x + y = 2xy \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$10x + y + 27 = 10y + x$
বা, $10x – x + y – 10y = -27$
বা, $9x – 9y = -27$
বা, $x – y = -3$
বা, $y = x + 3 \quad \dots \dots (ii)$
$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $y$-এর মান $(i)$ নং-এ বসিয়ে পাই,
$10x + (x + 3) = 2x(x + 3)$
বা, $11x + 3 = 2x^2 + 6x$
বা, $2x^2 + 6x – 11x – 3 = 0$
বা, $2x^2 – 5x – 3 = 0$
বা, $2x^2 – 6x + x – 3 = 0$
বা, $2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0$
বা, $(x – 3)(2x + 1) = 0$
অঙ্ক ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $2x + 1 = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তাহলে, $x – 3 = 0 \implies x = 3$
$x = 3$ হলে $(ii)$ নং হতে পাই,
$y = 3 + 3 = 6$
অতএব, সংখ্যাটি $= 10(3) + 6 = 30 + 6 = 36$।
উত্তর: সংখ্যাটি $36$।
৯. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং কর্ণ 20 মিটার। ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে (পরিসীমা),
$2(x + y) = 56$
বা, $x + y = 28 \quad \dots \dots (i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে (কর্ণ),
$\sqrt{x^2 + y^2} = 20$
বা, $x^2 + y^2 = 400 \quad \dots \dots (ii)$
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
বা, $28^2 = 400 + 2xy$
বা, $784 = 400 + 2xy$
বা, $2xy = 784 – 400$
বা, $2xy = 384$
বা, $xy = 192$
অর্থাৎ, আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল $= 192$ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 192$ বর্গমিটার।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার।
তাহলে, $a^2 = 192$
বা, $a = \sqrt{192}$
বা, $a = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3} \approx 13.86$
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $8\sqrt{3}$ মিটার (বা প্রায় $13.86$ মিটার)।
১০. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার এবং এর অর্ধপরিসীমা একটি কর্ণ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার ($x > y$)।
ক্ষেত্রফল, $xy = 300 \quad \dots \dots (i)$
অর্ধপরিসীমা $= x + y$ এবং কর্ণ $= \sqrt{x^2 + y^2}$
শর্তানুসারে,
$x + y = \sqrt{x^2 + y^2} + 10$
বা, $(x + y) – 10 = \sqrt{x^2 + y^2}$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$[(x + y) – 10]^2 = x^2 + y^2$
বা, $(x + y)^2 – 2(x + y)(10) + 100 = x^2 + y^2$
বা, $x^2 + y^2 + 2xy – 20(x + y) + 100 = x^2 + y^2$
উভয়পক্ষ থেকে $(x^2 + y^2)$ বাদ দিয়ে পাই,
$2xy – 20(x + y) + 100 = 0$
$xy = 300$ মান বসিয়ে পাই:
$2(300) – 20(x + y) + 100 = 0$
বা, $600 – 20(x + y) + 100 = 0$
বা, $700 = 20(x + y)$
বা, $x + y = \frac{700}{20}$
বা, $x + y = 35 \quad \dots \dots (ii)$
আমরা জানি,
$(x – y)^2 = (x + y)^2 – 4xy$
বা, $(x – y)^2 = 35^2 – 4(300)$
বা, $(x – y)^2 = 1225 – 1200$
বা, $(x – y)^2 = 25$
বা, $x – y = 5 \quad \dots \dots (iii)$
$(ii)$ ও $(iii)$ নং যোগ করে পাই,
$2x = 40 \implies x = 20$
$(ii)$ নং থেকে $(iii)$ নং বিয়োগ করে পাই,
$2y = 30 \implies y = 15$
উত্তর: আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $20$ মিটার এবং প্রস্থ $15$ মিটার।
১১. দুটি বর্গক্ষেত্রের বাহু $x$ ও $y$ দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49। বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বনিম্ন কত হতে পারে?
সমাধান:
ধরি, দুটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $x$ এবং $y$।
আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $xy = 49$।
বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, $S = x^2 + y^2$।
আমরা জানি,
$x^2 + y^2 = (x – y)^2 + 2xy$
বা, $S = (x – y)^2 + 2(49)$
বা, $S = (x – y)^2 + 98$
যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ $(x – y)^2 \ge 0$, তাই $S$-এর মান সর্বনিম্ন হবে যখন $(x – y)^2 = 0$ অর্থাৎ $x = y$ হবে।
তাহলে, $S$-এর সর্বনিম্ন মান $= 0 + 98 = 98$।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বনিম্ন $98$ হতে পারে।