অনুশীলনী৫.১: এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ও সমাধান
১. $2x^2 + 9x + 9 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 2$, $b = 9$, $c = 9$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$$
$$= \frac{-9 \pm \sqrt{81 – 72}}{4}$$
$$= \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{4}$$
$$= \frac{-9 \pm 3}{4}$$
সুতরাং,
$$x_1 = \frac{-9 + 3}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$
$$x_2 = \frac{-9 – 3}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$
অর্থাৎ, $x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = -3$
২. $3 – 4x – 2x^2 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = -2$, $b = -4$, $c = 3$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{-4}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{40}}{-4}$$
$$= \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{-4}$$
$$= \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{-4}$$
$$= \frac{2 \pm \sqrt{10}}{-2}$$
$$ = -(1 \pm \sqrt{5})$$
অর্থাৎ, $x_1 = -(1 + \sqrt{5}), x_2 = -(1 – \sqrt{5})$
৩. $4x – 1 – x^2 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = -1$, $b = 4$, $c = -1$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)}$$
$$= \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 4}}{-2}$$
$$= \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{-2}$$
$$= \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{-2}$$
$$= 2 \mp \sqrt{3}$$
অর্থাৎ, $x_1 = 2 + \sqrt{3}, x_2 = 2 – \sqrt{3}$
৪. $2x^2 – 5x – 1 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 2$, $b = -5$, $c = -1$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$$
$$= \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4}$$
$$= \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$$
অর্থাৎ, $x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}, x_2 = \frac{5 – \sqrt{33}}{4}$
৫. $3x^2 + 7x + 1 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 3$, $b = 7$, $c = 1$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{49 – 12}}{6}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{6}$$
অর্থাৎ, $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{37}}{6}, x_2 = \frac{-7 – \sqrt{37}}{6}$
৬. $2 – 3x^2 + 9x = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = -3$, $b = 9$, $c = 2$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 2}}{2 \cdot (-3)}$$
$$= \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 24}}{-6}$$
$$= \frac{-9 \pm \sqrt{105}}{-6}$$
$$= \frac{-(-9 \pm \sqrt{105})}{6}$$
$$= \frac{9 \mp \sqrt{105}}{6}$$
অর্থাৎ, $x_1 = \frac{9 + \sqrt{105}}{6}, x_2 = \frac{9 – \sqrt{105}}{6}$
৭. $x^2 – 8x + 16 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 1$, $b = -8$, $c = 16$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$$
$$= \frac{8 \pm \sqrt{64 – 64}}{2}$$
$$= \frac{8 \pm 0}{2}$$
$$= \frac{8}{2} = 4$$
অর্থাৎ, $x_1 = 4, x_2 = 4$
৮. $2x^2 + 7x – 1 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 2$, $b = 7$, $c = -1$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 8}}{4}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{57}}{4}$$
অর্থাৎ, $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{57}}{4}, x_2 = \frac{-7 – \sqrt{57}}{4}$
৯. $7x – 2 – 3x^2 = 0$
সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = -3$, $b = 7$, $c = -2$।
অতএব সমীকরণটির সমাধান:
$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \cdot (-3) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-3)}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{49 – 24}}{-6}$$
$$= \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{-6}$$
$$= \frac{-7 \pm 5}{-6}$$
সুতরাং,
$$x_1 = \frac{-7 + 5}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-7 – 5}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$$
অর্থাৎ, $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = 2$