নবম-দশম শ্রেণি উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ২

অনুশীলনী ২: বীজগাণিতিক রাশি

১. মনে কর, $P(x) \equiv ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a$ যেখানে $a, b, c$ ধ্রুবক এবং $a \neq 0$। দেখাও যে, $x – r$ যদি $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হয়, তবে $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক হবে $(rx – 1)$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$P(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a$ ——- (1)

উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, $x – r$ যদি $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হয়, তবে $P(r) = 0$ হবে।

সুতরাং,

$P(r) = ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + a = 0$ ——- (2)

এখন, (1) নং সমীকরণে $x = \frac{1}{r}$ বসিয়ে পাই,

$P\left(\frac{1}{r}\right) = a\left(\frac{1}{r}\right)^5 + b\left(\frac{1}{r}\right)^4 + c\left(\frac{1}{r}\right)^3 + c\left(\frac{1}{r}\right)^2 + b\left(\frac{1}{r}\right) + a$

$= \frac{a}{r^5} + \frac{b}{r^4} + \frac{c}{r^3} + \frac{c}{r^2} + \frac{b}{r} + a$

$= \frac{a + br + cr^2 + cr^3 + br^4 + ar^5}{r^5}$

$= \frac{ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + a}{r^5}$

(2) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,

$P\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{0}{r^5} = 0$

উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, যেহেতু $P\left(\frac{1}{r}\right) = 0$, তাই $\left(x – \frac{1}{r}\right)$ হলো $P(x)$ এর একটি উৎপাদক।

অর্থাৎ, $\frac{rx – 1}{r}$ বা $(rx – 1)$ হলো $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

২. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো:

ক) $x^4 + 7x^3 + 17x^2 + 17x + 6$

সমাধান: ধরি, $P(x) = x^4 + 7x^3 + 17x^2 + 17x + 6$

এখানে, $x = -1$ বসিয়ে পাই,

$P(-1) = (-1)^4 + 7(-1)^3 + 17(-1)^2 + 17(-1) + 6$

$= 1 – 7 + 17 – 17 + 6 = 0$

অতএব, $(x + 1)$ হলো $P(x)$ এর একটি উৎপাদক।

আবার, $x = -2$ বসিয়ে পাই,

$P(-2) = (-2)^4 + 7(-2)^3 + 17(-2)^2 + 17(-2) + 6$

$= 16 – 56 + 68 – 34 + 6 = 0$

অতএব, $(x + 2)$ হলো $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক।

এখন,

$x^4 + 7x^3 + 17x^2 + 17x + 6$

$= x^3(x + 1) + 6x^2(x + 1) + 11x(x + 1) + 6(x + 1)$

$= (x + 1)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6)$

$= (x + 1) \{x^2(x + 2) + 4x(x + 2) + 3(x + 2)\}$

$= (x + 1)(x + 2)(x^2 + 4x + 3)$

$= (x + 1)(x + 2)(x^2 + 3x + x + 3)$

$= (x + 1)(x + 2)\{x(x + 3) + 1(x + 3)\}$

$= (x + 1)(x + 2)(x + 1)(x + 3)$

$= (x + 1)^2(x + 2)(x + 3)$

উত্তর:$(x + 1)^2(x + 2)(x + 3)$

খ) $x^3 + 2x^2 + 2x + 1$

সমাধান: $x^3 + 2x^2 + 2x + 1$

$= (x^3 + 1) + (2x^2 + 2x)$

$= (x + 1)(x^2 – x + 1) + 2x(x + 1)$

$= (x + 1)(x^2 – x + 1 + 2x)$

$= (x + 1)(x^2 + x + 1)$

উত্তর:$(x + 1)(x^2 + x + 1)$

গ) $x(y^2 + z^2) + y(z^2 + x^2) + z(x^2 + y^2) + 3xyz$

সমাধান: $x(y^2 + z^2) + y(z^2 + x^2) + z(x^2 + y^2) + 3xyz$

$= xy^2 + xz^2 + yz^2 + yx^2 + zx^2 + zy^2 + 3xyz$

$= xy^2 + yx^2 + xyz + xz^2 + yz^2 + xyz + zx^2 + zy^2 + xyz$

$= xy(y + x + z) + yz(z + y + x) + zx(x + z + y)$

$= (x + y + z)(xy + yz + zx)$

উত্তর:$(x + y + z)(xy + yz + zx)$

ঘ) $(x + 1)^2(y – z) + (y + 1)^2(z – x) + (z + 1)^2(x – y)$

সমাধান: $(x + 1)^2(y – z) + (y + 1)^2(z – x) + (z + 1)^2(x – y)$

$= (x^2 + 2x + 1)(y – z) + (y^2 + 2y + 1)(z – x) + (z^2 + 2z + 1)(x – y)$

$= \{x^2(y – z) + y^2(z – x) + z^2(x – y)\} + 2\{x(y – z) + y(z – x) + z(x – y)\} + \{(y – z) + (z – x) + (x – y)\}$

এখানে,

১ম অংশ: $x^2(y – z) + y^2z – y^2x + z^2x – z^2y$

$= x^2(y – z) – x(y^2 – z^2) + yz(y – z)$

$= (y – z)\{x^2 – x(y + z) + yz\}$

$= (y – z)\{x^2 – xy – xz + yz\}$

$= (y – z)\{x(x – y) – z(x – y)\}$

$= (y – z)(x – y)(x – z)$

$= -(x – y)(y – z)(z – x)$

২য় অংশ: $2(xy – xz + yz – yx + zx – zy) = 2(0) = 0$

৩য় অংশ: $y – z + z – x + x – y = 0$

সুতরাং, প্রদত্ত রাশির মান $= -(x – y)(y – z)(z – x)$

উত্তর:$-(x – y)(y – z)(z – x)$

ঙ) $b^2c^2(b^2 – c^2) + c^2a^2(c^2 – a^2) + a^2b^2(a^2 – b^2)$

সমাধান: ধরি, $a^2 = x$, $b^2 = y$ এবং $c^2 = z$।

তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়:

$yz(y – z) + zx(z – x) + xy(x – y)$

$= y^2z – yz^2 + z^2x – zx^2 + xy(x – y)$

$= -x^2(z – y) + x(z^2 – y^2) – yz(z – y)$

$= -(z – y)\{x^2 – x(z + y) + yz\}$

$= -(z – y)\{x^2 – xz – xy + yz\}$

$= -(z – y)\{x(x – z) – y(x – z)\}$

$= -(z – y)(x – z)(x – y)$

$= -(x – y)(y – z)(z – x)$

$= -(a^2 – b^2)(b^2 – c^2)(c^2 – a^2)$ [এখন $x, y, z$ এর পরিবর্তে $a^2, b^2, c^2$ বসিয়ে পাই]

$= -(a – b)(a + b)(b – c)(b + c)(c – a)(c + a)$

$= (a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a)$

উত্তর:$(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a)$

চ) $15x^2 + 2xy – 24y^2 – x + 24y – 6$

সমাধান: $15x^2 + 2xy – 24y^2 – x + 24y – 6$

$= 15x^2 + (2y – 1)x – (24y^2 – 24y + 6)$

$= 15x^2 + (2y – 1)x – 6(4y^2 – 4y + 1)$

$= 15x^2 + (2y – 1)x – 6(2y – 1)^2$

ধরি, $(2y – 1) = a$

তাহলে রাশিটি হয়: $15x^2 + ax – 6a^2$

$= 15x^2 + 10ax – 9ax – 6a^2$

$= 5x(3x + 2a) – 3a(3x + 2a)$

$= (3x + 2a)(5x – 3a)$

$= \{3x + 2(2y – 1)\}\{5x – 3(2y – 1)\}$ [এখন $a = 2y – 1$ মান বসিয়ে]

$= (3x + 4y – 2)(5x – 6y + 3)$

উত্তর:$(3x + 4y – 2)(5x – 6y + 3)$

ছ) $15x^2 – 24y^2 – 6z^2 + 2xy – xz + 24yz$

সমাধান: $15x^2 – 24y^2 – 6z^2 + 2xy – xz + 24yz$

$= 15x^2 + (2y – z)x – (24y^2 – 24yz + 6z^2)$

$= 15x^2 + (2y – z)x – 6(4y^2 – 4yz + z^2)$

$= 15x^2 + (2y – z)x – 6(2y – z)^2$

ধরি, $(2y – z) = a$

তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়: $15x^2 + ax – 6a^2$

$= 15x^2 + 10ax – 9ax – 6a^2$

$= 5x(3x + 2a) – 3a(3x + 2a)$

$= (3x + 2a)(5x – 3a)$

$= \{3x + 2(2y – z)\}\{5x – 3(2y – z)\}$ [এখন $a = 2y – z$ বসিয়ে]

$= (3x + 4y – 2z)(5x – 6y + 3z)$

উত্তর:$(3x + 4y – 2z)(5x – 6y + 3z)$

৩. যদি $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{abc}$ হয়, তবে দেখাও যে, $bc + ca + ab = 0$ অথবা, $a = b = c$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{abc}$

বা, $\left(\frac{1}{a}\right)^3 + \left(\frac{1}{b}\right)^3 + \left(\frac{1}{c}\right)^3 – 3 \left(\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{c}\right) = 0$

বা, $\frac{1}{2} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \left\{\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{b} – \frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c} – \frac{1}{a}\right)^2\right\} = 0$ হয়,

[আমরা জানি, $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)\{(x – y)^2 + (y – z)^2 + (z – x)^2\}$]

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$

বা, $\frac{bc + ca + ab}{abc} = 0$

বা, $bc + ca + ab = 0$

অথবা,

$\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{b} – \frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c} – \frac{1}{a}\right)^2 = 0$

যেহেতু কতগুলো বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, তাদের প্রতিটি পৃথকভাবে শূন্য হয়:

$\frac{1}{a} – \frac{1}{b} = 0 \implies \frac{1}{a} = \frac{1}{b} \implies a = b$

$\frac{1}{b} – \frac{1}{c} = 0 \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \implies b = c$

$\frac{1}{c} – \frac{1}{a} = 0 \implies \frac{1}{c} = \frac{1}{a} \implies c = a$

সুতরাং, $a = b = c$

অতএব, $bc + ca + ab = 0$ অথবা, $a = b = c$(দেখানো হলো)

৪. যদি $x = b + c – a$, $y = c + a – b$, এবং $z = a + b – c$ হয়, তবে দেখাও যে, $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 4(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc)$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$x = b + c – a$

$y = c + a – b$

$z = a + b – c$

$\therefore x + y + z = (b + c – a) + (c + a – b) + (a + b – c) = a + b + c$

আবার,

$x – y = (b + c – a) – (c + a – b) = 2b – 2a = -2(a – b)$

$y – z = (c + a – b) – (a + b – c) = 2c – 2b = -2(b – c)$

$z – x = (a + b – c) – (b + c – a) = 2a – 2c = -2(c – a)$

$\text{বামপক্ষ} = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

$= \frac{1}{2} (x + y + z) \{(x – y)^2 + (y – z)^2 + (z – x)^2\}$

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \{(-2(a – b))^2 + (-2(b – c))^2 + (-2(c – a))^2\}$

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \{4(a – b)^2 + 4(b – c)^2 + 4(c – a)^2\}$

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \times 4 \times \{(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2\}$

$= 4 \times \left[\frac{1}{2} (a + b + c) \{(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2\}\right]$

$= 4(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc) = \text{ডানপক্ষ}$(দেখানো হলো)

৫. সরল করো:

ক) $\frac{(a + b)^2 – ab}{(b – c)(a – c)} + \frac{(b + c)^2 – bc}{(c – a)(b – a)} + \frac{(c + a)^2 – ca}{(a – b)(c – b)}$

সমাধান: $\frac{(a + b)^2 – ab}{(b – c)(a – c)} + \frac{(b + c)^2 – bc}{(c – a)(b – a)} + \frac{(c + a)^2 – ca}{(a – b)(c – b)}$

$= -\frac{a^2 + 2ab + b^2 – ab}{(a – c)(b – c)} – \frac{b^2 + 2bc + c^2 – bc}{(a – b)(c – a)} – \frac{c^2 + 2ca + a^2 – ca}{(a – b)(b – c)}$ [হরগুলোকে চক্রক্রমিক সাজিয়ে]

$= -\frac{a^2 + ab + b^2}{(a – c)(b – c)} – \frac{b^2 + bc + c^2}{(a – b)(c – a)} – \frac{c^2 + ca + a^2}{(a – b)(b – c)}$

$= \frac{a^2 + ab + b^2}{(a – b)(b – c)} + \frac{b^2 + bc + c^2}{(b – c)(c – a)} + \frac{c^2 + ca + a^2}{(c – a)(a – b)}$

$= \frac{(a^2 + ab + b^2)(c – a) + (b^2 + bc + c^2)(a – b) + (c^2 + ca + a^2)(b – c)}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{(a^2c + abc + b^2c – a^3 – a^2b – ab^2) + (ab^2 + abc + ac^2 – b^3 – b^2c – bc^2) + (bc^2 + abc + a^2b – c^3 – c^2a – a^2c)}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{3abc – a^3 – b^3 – c^3}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{-(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc)}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

উত্তর:$\frac{3abc – a^3 – b^3 – c^3}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

খ) $\frac{a}{(a – b)(a – c)(x – a)} + \frac{b}{(b – c)(b – a)(x – b)} + \frac{c}{(c – a)(c – b)(x – c)}$

সমাধান: $\frac{a}{(a – b)(a – c)(x – a)} + \frac{b}{(b – c)(b – a)(x – b)} + \frac{c}{(c – a)(c – b)(x – c)}$

$= -\frac{a}{(a – b)(c – a)(x – a)} – \frac{b}{(a – b)(b – c)(x – b)} – \frac{c}{(b – c)(c – a)(x – c)}$

$= -\left[ \frac{a}{(a – b)(c – a)(x – a)} + \frac{b}{(a – b)(b – c)(x – b)} + \frac{c}{(b – c)(c – a)(x – c)} \right]$

$= -\left[ \frac{a(b – c)(x – b)(x – c) + b(c – a)(x – a)(x – c) + c(a – b)(x – a)(x – b)}{(a – b)(b – c)(c – a)(x – a)(x – b)(x – c)} \right]$

$= -\left[ \frac{a(b – c)\{x^2 – (b + c)x + bc\} + b(c – a)\{x^2 – (c + a)x + ca\} + c(a – b)\{x^2 – (a + b)x + ab\}}{(a – b)(b – c)(c – a)(x – a)(x – b)(x – c)} \right]$

$= -\left[ \frac{x^2\{a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)\} – x\{a(b^2 – c^2) + b(c^2 – a^2) + c(a^2 – b^2)\} + \{abc(b – c) + abc(c – a) + abc(a – b)\}}{(a – b)(b – c)(c – a)(x – a)(x – b)(x – c)} \right]$

$= -\left[ \frac{x^2(0) – x\{-(a – b)(b – c)(c – a)\} + abc(0)}{(a – b)(b – c)(c – a)(x – a)(x – b)(x – c)} \right]$

$= -\left[ \frac{(a – b)(b – c)(c – a)x}{(a – b)(b – c)(c – a)(x – a)(x – b)(x – c)} \right]$

$= -\frac{x}{(x – a)(x – b)(x – c)}$

$= \frac{x}{(a – x)(x – b)(x – c)}$ বা $\frac{x}{(x – a)(x – b)(x – c)}$

উত্তর:$\frac{x}{(x – a)(x – b)(x – c)}$

গ) $\frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8}{1 + x^8} + \frac{16}{x^{16} – 1}$

সমাধান: $\frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8}{1 + x^8} + \frac{16}{x^{16} – 1}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8}{x^8 + 1} + \frac{16}{(x^8 – 1)(x^8 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8(x^8 – 1) + 16}{(x^8 – 1)(x^8 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8x^8 – 8 + 16}{(x^8 – 1)(x^8 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8(x^8 + 1)}{(x^8 – 1)(x^8 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4} + \frac{8}{x^8 – 1}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{x^4 + 1} + \frac{8}{(x^4 – 1)(x^4 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4(x^4 – 1) + 8}{(x^4 – 1)(x^4 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4(x^4 + 1)}{(x^4 – 1)(x^4 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{x^4 – 1}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{x^2 + 1} + \frac{4}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2(x^2 – 1) + 4}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)}$

$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2(x^2 + 1)}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)}$

$= \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^2 – 1}$

$= \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{(x – 1)(x + 1)}$

$= \frac{(x – 1) + 2}{(x – 1)(x + 1)}$

$= \frac{x + 1}{(x – 1)(x + 1)}$

$= \frac{1}{x – 1}$

উত্তর:$\frac{1}{x – 1}$

৬. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) $\frac{5x + 4}{x(x + 2)}$

সমাধান: ধরি, $\frac{5x + 4}{x(x + 2)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $x(x + 2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$5x + 4 \equiv A(x + 2) + Bx$ ——- (২)

• (২) সমীকরণে $x = 0$ বসিয়ে: $4 = A(2) \implies A = 2$
• (২) সমীকরণে $x = -2$ বসিয়ে: $5(-2) + 4 = B(-2) \implies -6 = -2B \implies B = 3$

(১) সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{5x + 4}{x(x + 2)} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 2}$

উত্তর:$\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 2}$

খ) $\frac{x + 2}{x^2 – 7x + 12}$

সমাধান: হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$x^2 – 7x + 12 = x^2 – 4x – 3x + 12 = (x – 3)(x – 4)$

ধরি, $\frac{x + 2}{(x – 3)(x – 4)} \equiv \frac{A}{x – 3} + \frac{B}{x – 4}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $(x – 3)(x – 4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x + 2 \equiv A(x – 4) + B(x – 3)$ ——- (২)

• $x = 3$ বসিয়ে: $5 = A(3 – 4) \implies A = -5$
• $x = 4$ বসিয়ে: $6 = B(4 – 3) \implies B = 6$

(১) সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x + 2}{(x – 3)(x – 4)} \equiv \frac{-5}{x – 3} + \frac{6}{x – 4}$

$= \frac{6}{x – 4} – \frac{5}{x – 3}$

উত্তর:$\frac{6}{x – 4} – \frac{5}{x – 3}$

গ) $\frac{x^2 – 9x – 6}{x(x – 2)(x + 3)}$

সমাধান: ধরি, $\frac{x^2 – 9x – 6}{x(x – 2)(x + 3)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{x – 2} + \frac{C}{x + 3}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $x(x – 2)(x + 3)$ দ্বারা গুণ করে,

$x^2 – 9x – 6 \equiv A(x – 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2)$ ——- (২)

• $x = 0$ বসিয়ে: $-6 = A(-2)(3) \implies -6 = -6A \implies A = 1$
• $x = 2$ বসিয়ে: $2^2 – 9(2) – 6 = B(2)(5) \implies -20 = 10B \implies B = -2$
• $x = -3$ বসিয়ে: $(-3)^2 – 9(-3) – 6 = C(-3)(-5) \implies 30 = 15C \implies C = 2$

(১) সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2 – 9x – 6}{x(x – 2)(x + 3)} \equiv \frac{1}{x} + \frac{-2}{x – 2} + \frac{2}{x + 3}$

$= \frac{1}{x} – \frac{2}{x – 2} + \frac{2}{x + 3}$

উত্তর:$\frac{1}{x} – \frac{2}{x – 2} + \frac{2}{x + 3}$

ঘ) $\frac{x^2 – 4x – 7}{(x + 1)(x^2 + 4)}$

সমাধান: ধরি, $\frac{x^2 – 4x – 7}{(x + 1)(x^2 + 4)} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $(x + 1)(x^2 + 4)$ দ্বারা গুণ করে:

$x^2 – 4x – 7 \equiv A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1)$ ——- (২)

• $x = -1$ বসিয়ে: $(-1)^2 – 4(-1) – 7 = A((-1)^2 + 4) \implies -2 = 5A \implies A = -\frac{2}{5}$

সহগ সমীকৃত করে:

• $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে: $1 = A + B \implies B = 1 – \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{7}{5}$
• ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে: $-7 = 4A + C \implies C = -7 – 4\left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{27}{5}$

(১) সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2 – 4x – 7}{(x + 1)(x^2 + 4)} = \frac{-2/5}{x + 1} + \frac{(7/5)x – 27/5}{x^2 + 4} = -\frac{2}{5(x + 1)} + \frac{7x – 27}{5(x^2 + 4)}$

উত্তর:$\frac{7x – 27}{5(x^2 + 4)} – \frac{2}{5(x + 1)}$

ঙ) $\frac{x^2}{(2x + 1)(x + 3)^2}$

সমাধান: ধরি, $\frac{x^2}{(2x + 1)(x + 3)^2} \equiv \frac{A}{2x + 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $(2x + 1)(x + 3)^2$ দ্বারা গুণ করে,

$x^2 \equiv A(x + 3)^2 + B(2x + 1)(x + 3) + C(2x + 1)$ ——- (২)

• $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে: $\frac{1}{4} = A\left(\frac{5}{2}\right)^2 \implies \frac{1}{4} = \frac{25}{4}A \implies A = \frac{1}{25}$
• $x = -3$ বসিয়ে: $9 = C(2(-3) + 1) \implies 9 = -5C \implies C = -\frac{9}{5}$

সহগ সমীকৃত করে:

• $x^2$ এর সহগ: $1 = A + 2B \implies 2B = 1 – \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \implies B = \frac{12}{25}$

(১) সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(2x + 1)(x + 3)^2} = \frac{1}{25(2x + 1)} + \frac{12}{25(x + 3)} – \frac{9}{5(x + 3)^2}$

উত্তর:$\frac{1}{25(2x + 1)} + \frac{12}{25(x + 3)} – \frac{9}{5(x + 3)^2}$

৭. $x, y, z$ এর একটি বহুপদী, $F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

ক) দেখাও যে, $F(x, y, z)$ হলো একটি চক্রক্রমিক রাশি।

সমাধান: $F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

এখানে $x \to y$, $y \to z$, $z \to x$ পরিবর্তন করে পাই,

$F(y, z, x) = y^3 + z^3 + x^3 – 3(y)(z)(x) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = F(x, y, z)$

যেহেতু চলকগুলোর ক্রম পরিবর্তনের ফলে রাশির কোনো পরিবর্তন হয় না, তাই $F(x, y, z)$ একটি চক্রক্রমিক রাশি। (দেখানো হলো)

খ) $F(x, y, z)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি $F(x, y, z) = 0$, $(x + y + z) \neq 0$ হয়, তবে দেখাও যে, $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$।

সমাধান: $F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

$= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz$

$= (x + y)^3 + z^3 – 3xy(x + y + z)$

$= (x + y + z)\{(x + y)^2 – (x + y)z + z^2\} – 3xy(x + y + z)$

$= (x + y + z)(x^2 + 2xy + y^2 – xz – yz + z^2 – 3xy)$

$= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx)$

এখন, দেওয়া আছে $F(x, y, z) = 0$

বা, $(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) = 0$

যেহেতু $(x + y + z) \neq 0$ তাই,

$x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx = 0$

বা, $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$(দেখানো হলো)

গ) যদি $x = (b + c – a)$, $y = (c + a – b)$ এবং $z = (a + b – c)$ হয়, তবে দেখাও যে, $F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$x = b + c – a$

$y = c + a – b$

$z = a + b – c$

আবার, $F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

$\therefore F(a, b, c) = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$

প্রথমে, $x, y, z$ পদগুলোর যোগফল নির্ণয় করি,

$x + y + z = (b + c – a) + (c + a – b) + (a + b – c)$

$= a + b + c$

এখন,

$x – y = (b + c – a) – (c + a – b) = 2b – 2a = -2(a – b)$

$y – z = (c + a – b) – (a + b – c) = 2c – 2b = -2(b – c)$

$z – x = (a + b – c) – (b + c – a) = 2a – 2c = -2(c – a)$

আমরা জানি, উৎপাদকের অনূরূপ সূত্র অনুযায়ী:

$F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

$= \frac{1}{2} (x + y + z) \{(x – y)^2 + (y – z)^2 + (z – x)^2\}$

[এখন $x + y + z$ এবং $(x – y), (y – z), (z – x)$ এর মান বসিয়ে পাই]

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \{(-2(a – b))^2 + (-2(b – c))^2 + (-2(c – a))^2\}$

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \{4(a – b)^2 + 4(b – c)^2 + 4(c – a)^2\}$

$= \frac{1}{2} (a + b + c) \times 4 \times \{(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2\}$

$= 4 \times \left[\frac{1}{2} (a + b + c) \{(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2\}\right]$

$= 4 (a^3 + b^3 + c^3 – 3abc)$

$= 4 F(a, b, c)$

তাহলে,

$F(x, y, z) = 4 F(a, b, c)$

বা, $\frac{F(a, b, c)}{F(x, y, z)} = \frac{1}{4}$

অতএব,

$F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4$(দেখানো হলো)

৮. চলক $x$ এর দুটি বহুপদী $P(x) = 7x^2 – 3x + 4x^4 – a + 12x^3$ এবং $Q(x) = 6x^3 + x^2 – 9x + 26$

ক) $P(x)$ কে আদর্শরূপে লিখে এর মুখ্যসহগ নির্ণয় করো।

সমাধান: ঘাতের অধঃক্রম অনুযায়ী সাজিয়ে $P(x)$ এর আদর্শরূপ:

$P(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – a$

এখানে সর্বোচ্চ ঘাত (মাত্রার পদ) $4x^4$।

অতএব, মুখ্যসহগ $= 4$

উত্তর: আদর্শরূপ $4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – a$ এবং মুখ্যসহগ $4$

খ) $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x + 2)$ হলে $a$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: $(x + 2)$ হলো $P(x)$ এর একটি উৎপাদক, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে $P(-2) = 0$ হবে।

$P(-2) = 4(-2)^4 + 12(-2)^3 + 7(-2)^2 – 3(-2) – a = 0$

বা, $4(16) + 12(-8) + 7(4) + 6 – a = 0$

বা, $64 – 96 + 28 + 6 – a = 0$

বা, $98 – 96 – a = 0$

বা, $2 – a = 0$

বা, $a = 2$

উত্তর:$a = 2$

গ) দেখাও যে, $P(x)$ এবং $Q(x)$ এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান।

সমাধান:

‘খ’ হতে প্রাপ্ত $a = 2$ বসিয়ে পাই,

$P(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$

এখানে, $x = -2$ এর জন্য:

$P(-2) = 0$ (ইতোমধ্যে প্রমাণিত, যা নির্দেশ করে $(x + 2)$ হলো $P(x)$ এর উৎপাদক)।

এখন, $Q(x) = 6x^3 + x^2 – 9x + 26$ বহুপদীতে $x = -2$ বসিয়ে পরীক্ষা করি,

$Q(-2) = 6(-2)^3 + (-2)^2 – 9(-2) + 26$

$= 6(-8) + 4 + 18 + 26$

$= -48 + 48 = 0$

যেহেতু $Q(-2) = 0$, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $(x + 2)$ হলো $Q(x)$ এরও একটি উৎপাদক।

সুতরাং, $(x + 2)$ হলো $P(x)$ এবং $Q(x)$ উভয়ের একটি সাধারণ উৎপাদক। (দেখানো হলো)

নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)

১. নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?

ক) $a + b + c$

খ) $xy – yz + zx$

গ) $x^2 – y^2 + z^2$

ঘ) $2a^2 – 5bc – c^2$

সমাধান: প্রতিসম রাশির ক্ষেত্রে যে কোনো দুটি চলক পরস্পর স্থান বিনিময় করলে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।

• ক) $a + b + c$:
  $a$ এবং $b$ স্থান বিনিময় করলে রাশিটি হয়: $b + a + c = a + b + c$ (অপরিবর্তিত থাকে)।
  $b$ এবং $c$ বা $c$ এবং $a$ বিনিময় করলেও রাশি অপরিবর্তিত থাকে। সুতরাং, এটি একটি প্রতিসম রাশি।
• খ) $xy – yz + zx$:
  $x$ ও $y$ বিনিময় করলে হয়: $yx – xz + zy = xy + yz – zx$, যা মূল রাশির সমান নয়।
• গ) $x^2 – y^2 + z^2$:
  $x$ ও $y$ বিনিময় করলে হয়: $y^2 – x^2 + z^2$, যা মূল রাশির সমান নয়।
• ঘ) $2a^2 – 5bc – c^2$:
  $b$ ও $c$ বিনিময় করলে হয়: $2a^2 – 5cb – b^2$, যা মূল রাশির সমান নয়।

উত্তর:ক) $a + b + c$

২. $P(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ হলে—

(i)$P(x, y, z)$ চক্রক্রমিক রাশি

(ii)$P(x, y, z)$ প্রতিসম রাশি

(iii)$P(1, -2, 1) = 0$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii

খ) i, iii

গ) ii, iii

ঘ) i, ii, iii

সমাধান:

• (i) যাচাই:$x \to y$, $y \to z$, $z \to x$ বসালে $P(y, z, x) = y^3 + z^3 + x^3 – 3yzx = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = P(x, y, z)$। সুতরাং এটি চক্রক্রমিক রাশি। (সঠিক)
• (ii) যাচাই: যেকোনো দুটি চলক (যেমন $x$ ও $y$) বিনিময় করলে $P(y, x, z) = y^3 + x^3 + z^3 – 3yxz = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = P(x, y, z)$। সুতরাং এটি প্রতিসম রাশি। (সঠিক)
• (iii) যাচাই:$x = 1$, $y = -2$, $z = 1$ বসালে:
  $P(1, -2, 1) = (1)^3 + (-2)^3 + (1)^3 – 3(1)(-2)(1)$
  $= 1 – 8 + 1 + 6 = 0$। (সঠিক)

উত্তর:ঘ) i, ii, iii

$P(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1$

উপরের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের জন্য উত্তর দাও –

৩. $P(x)$ এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

(ক) $x + 1$

(খ) $x^2 – x – 1$

(গ) $x^2 + x – 1$

(ঘ) $x – 1$

সমাধান: $P(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1$

$= x^4(x – 1) + x^2(x – 1) + 1(x – 1)$

$= (x – 1)(x^4 + x^2 + 1)$

সুতরাং, $(x – 1)$ হলো $P(x)$ এর একটি উৎপাদক।

উত্তর:(ঘ) $x – 1$

৪. $P(-2)$ এর মান নিচের কোনটি?

(ক) $- 63$

(খ) $- 55$

(গ) $- 47$

(ঘ) $- 31$

সমাধান: $P(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1$ রাশিতে $x = -2$ বসিয়ে পাই,

$P(-2) = (-2)^5 – (-2)^4 + (-2)^3 – (-2)^2 + (-2) – 1$

$= -32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1$

$= -63$

উত্তর:(ক) $- 63$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $P(a,b,c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ এবং $Q = a^{-3} + b^{-3} + c^{-3} – 3a^{-1}b^{-1}c^{-1}$

ক) $P(a,b,c)$ চক্রক্রমিক ও প্রতিসম রাশি কিনা তা কারণসহ উল্লেখ করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $P(a,b,c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

• চক্রক্রমিক রাশি যাচাই:
  $a \to b$, $b \to c$, $c \to a$ বসিয়ে পাই:
  $P(b,c,a) = (b+c+a)(bc+ca+ab) = (a+b+c)(ab+bc+ca) = P(a,b,c)$
  যেহেতু চলকগুলোকে চক্রক্রমে পরিবর্তন করলে রাশির কোনো পরিবর্তন হয় না, তাই এটি একটি চক্রক্রমিক রাশি।
• প্রতিসম রাশি যাচাই:
  যে কোনো দুটি চলক, যেমন $a$ ও $b$ স্থান বিনিময় করে পাই:
  $P(b,a,c) = (b+a+c)(ba+ac+cb) = (a+b+c)(ab+bc+ca) = P(a,b,c)$
  যেহেতু যে কোনো দুটি চলক স্থান বিনিময় করলেও রাশির মান অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি একটি প্রতিসম রাশি।

খ) $Q = 0$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a = b = c$ অথবা $ab + bc + ca = 0$

সমাধান: দেওয়া আছে,

$Q = a^{-3} + b^{-3} + c^{-3} – 3a^{-1}b^{-1}c^{-1} = 0$

বা, $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} – \frac{3}{abc} = 0$

বা, $\left(\frac{1}{a}\right)^3 + \left(\frac{1}{b}\right)^3 + \left(\frac{1}{c}\right)^3 – 3\left(\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{c}\right) = 0$

আমরা জানি, $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\}$

এখানে $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}$ বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\left\{\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{b} – \frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c} – \frac{1}{a}\right)^2\right\} = 0$

হয়,

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \implies \frac{bc + ca + ab}{abc} = 0 \implies ab + bc + ca = 0$

অথবা,

$\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{b} – \frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c} – \frac{1}{a}\right)^2 = 0$

বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রতিটি পৃথকভাবে শূন্য হয়:

$\frac{1}{a} – \frac{1}{b} = 0 \implies a = b$

$\frac{1}{b} – \frac{1}{c} = 0 \implies b = c$

$\frac{1}{c} – \frac{1}{a} = 0 \implies c = a$

অর্থাৎ, $a = b = c$

অতএব, $a = b = c$ অথবা $ab + bc + ca = 0$(প্রমাণিত)

গ) $P(a,b,c) = abc$ হলে দেখাও যে, $\frac{1}{(a+b+c)^7} = \frac{1}{a^7} + \frac{1}{b^7} + \frac{1}{c^7}$

সমাধান: দেওয়া আছে, $P(a,b,c) = abc$

বা, $(a+b+c)(ab+bc+ca) = abc$

বা, $(a+b+c)(ab+bc+ca) – abc = 0$

বা, $(a+b)(b+c)(c+a) = 0$(উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে)

সুতরাং, $(a+b) = 0$ অথবা $(b+c) = 0$ অথবা $(c+a) = 0$

ধরি, $a + b = 0 \implies a = -b$

এখন,

$\text{বামপক্ষ} = \frac{1}{(a+b+c)^7} = \frac{1}{(-b+b+c)^7} = \frac{1}{c^7}$

$\text{ডানপক্ষ} = \frac{1}{a^7} + \frac{1}{b^7} + \frac{1}{c^7} = \frac{1}{(-b)^7} + \frac{1}{b^7} + \frac{1}{c^7} = -\frac{1}{b^7} + \frac{1}{b^7} + \frac{1}{c^7} = \frac{1}{c^7}$

যেহেতু $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$,

সুতরাং, $\frac{1}{(a+b+c)^7} = \frac{1}{a^7} + \frac{1}{b^7} + \frac{1}{c^7}$(দেখানো হলো)

৬. $P(x) = 18x^3 + bx^2 – x – 2$ এবং $Q(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$

ক) $\frac{Q(x)}{P(x)}$ ভাগফলটির মাত্রা নির্ণয় করো।

সমাধান: $Q(x)$ বহুপদীর মাত্রা $= 4$ (সর্বোচ্চ পাওয়ার $x^4$)

$P(x)$ বহুপদীর মাত্রা $= 3$ (সর্বোচ্চ পাওয়ার $x^3$)

ভগ্নাংশ বা ভাগফলটির মাত্রা $= Q(x)$ এর মাত্রা $- P(x)$ এর মাত্রা $= 4 – 3 = 1$

উত্তর:$1$

খ) $3x + 2$, $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হলে $b$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$ এর জন্য $P\left(-\frac{2}{3}\right) = 0$ হবে।

$P\left(-\frac{2}{3}\right) = 18\left(-\frac{2}{3}\right)^3 + b\left(-\frac{2}{3}\right)^2 – \left(-\frac{2}{3}\right) – 2 = 0$

বা, $18\left(-\frac{8}{27}\right) + b\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{2}{3} – 2 = 0$

বা, $-\frac{16}{3} + \frac{4b}{9} + \frac{2}{3} – 2 = 0$

বা, $\frac{4b}{9} – \frac{14}{3} – 2 = 0$

বা, $\frac{4b}{9} – \frac{20}{3} = 0$

বা, $\frac{4b}{9} = \frac{20}{3}$

বা, $4b = \frac{20 \times 9}{3} = 60$

বা, $b = \frac{60}{4} = 15$

উত্তর:$15$

গ) $\frac{8x^2 – 2}{Q(x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

সমাধান:

লব $= 8x^2 – 2 = 2(4x^2 – 1) = 2(2x – 1)(2x + 1)$

হর $Q(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 – 3x – 2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$Q(x) = (x + 2)(2x + 1)^2 (2x – 1)$

তাহলে,

$\frac{8x^2 – 2}{Q(x)} = \frac{2(2x – 1)(2x + 1)}{(x + 2)(2x + 1)^2 (2x – 1)} = \frac{2}{(x + 2)(2x + 1)}$

ধরি,

$\frac{2}{(x + 2)(2x + 1)} \equiv \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{2x + 1}$ ——- (১)

উভয়পক্ষকে $(x + 2)(2x + 1)$ দ্বারা গুণ করে:

$2 \equiv A(2x + 1) + B(x + 2)$ ——- (২)

• $x = -2$ বসিয়ে: $2 = A(2(-2) + 1) \implies 2 = -3A \implies A = -\frac{2}{3}$
• $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে: $2 = B\left(-\frac{1}{2} + 2\right) \implies 2 = \frac{3}{2}B \implies B = \frac{4}{3}$

(১) এ মান বসিয়ে পাই:

$\frac{8x^2 – 2}{Q(x)} = -\frac{2}{3(x + 2)} + \frac{4}{3(2x + 1)}$

উত্তর:$\frac{4}{3(2x + 1)} – \frac{2}{3(x + 2)}$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৭. ক) $x^4 – 5x^3 + 7x^2 – a$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $x – 2$ হলে, দেখাও যে, $a = 4$।

সমাধান: ধরি, $f(x) = x^4 – 5x^3 + 7x^2 – a$

যেহেতু $x – 2$ একটি উৎপাদক, তাই $f(2) = 0$ হবে।

$f(2) = (2)^4 – 5(2)^3 + 7(2)^2 – a = 0$

বা, $16 – 5(8) + 7(4) – a = 0$

বা, $16 – 40 + 28 – a = 0$

বা, $44 – 40 – a = 0$

বা, $4 – a = 0$

বা, $a = 4$(দেখান হলো)

খ) $4a^4 + 12a^3 + 7a^2 – 3a – 2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান: ধরি, $P(a) = 4a^4 + 12a^3 + 7a^2 – 3a – 2$

এখানে, $a = -1$ বসিয়ে পাই,

$P(-1) = 4(-1)^4 + 12(-1)^3 + 7(-1)^2 – 3(-1) – 2 = 4 – 12 + 7 + 3 – 2 = 0$

সুতরাং, $(a + 1)$ একটি উৎপাদক।

আবার, $a = -2$ বসিয়ে পাই,

$P(-2) = 4(16) + 12(-8) + 7(4) – 3(-2) – 2 = 64 – 96 + 28 + 6 – 2 = 0$

সুতরাং, $(a + 2)$ অপর একটি উৎপাদক।

এখন,

$4a^4 + 12a^3 + 7a^2 – 3a – 2$

$= 4a^3(a + 1) + 8a^2(a + 1) – a(a + 1) – 2(a + 1)$

$= (a + 1)(4a^3 + 8a^2 – a – 2)$

$= (a + 1)\{4a^2(a + 2) – 1(a + 2)\}$

$= (a + 1)(a + 2)(4a^2 – 1)$

$= (a + 1)(a + 2)(2a – 1)(2a + 1)$

উত্তর:$(a + 1)(a + 2)(2a – 1)(2a + 1)$

গ) সরল করো: $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

সমাধান: হরগুলোকে চক্রক্রমিক সাজিয়ে পাই,

$= \frac{a^2}{(a – b)(a – c)} – \frac{b^2}{(a – b)(b – c)} + \frac{c^2}{(b – c)(a – c)}$

$= \frac{-a^2(b – c) – b^2(c – a) – c^2(a – b)}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{-a^2b + a^2c – b^2c + b^2a – c^2a + c^2b}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{ab(b – a) + c(a^2 – b^2) – c^2(a – b)}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{(a – b)\{-ab + c(a + b) – c^2\}}{(a – b)(b – c)(c – a)}$

$= \frac{-ab + ac + bc – c^2}{(b – c)(c – a)}$

$= \frac{a(c – b) – c(c – b)}{(b – c)(c – a)}$

$= \frac{(c – b)(a – c)}{(b – c)(c – a)}$

$= \frac{-(b – c)(a – c)}{(b – c)(c – a)} = 1$

উত্তর:$1$