অনুশীলনী ৬.২: বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ ও সরলীকরণ
১. $\frac{2}{3a}$ ও $\frac{3}{5ab}$ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা:
হর $3a$ এবং $5ab$ এর ল.সা.গু. $= 15ab$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে: $15ab \div 3a = 5b$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{2}{3a} = \frac{2 \times 5b}{3a \times 5b} = \frac{10b}{15ab}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে: $15ab \div 5ab = 3$
২য় ভগ্নাংশের $= \frac{3}{5ab} = \frac{3 \times 3}{5ab \times 3} = \frac{9}{15ab}$
উত্তর: (ক) $\frac{10b}{15ab}, \frac{9}{15ab}$
২. $\frac{x}{yz}$ ও $\frac{y}{zx}$ এর সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা: হর $yz$ এবং $zx$ এর ল.সা.গু. $= xyz$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে: $xyz \div yz = x$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{x}{yz} = \frac{x \times x}{yz \times x} = \frac{x^2}{xyz}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে: $xyz \div zx = y$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{y}{zx} = \frac{y \times y}{zx \times y} = \frac{y^2}{xyz}$
উত্তর: (ঘ) $\frac{x^2}{xyz}, \frac{y^2}{xyz}$
৩. $\frac{x}{2} + 1 = 3$ হলে, $x =$ কত?
ব্যাখ্যা: $\frac{x}{2} + 1 = 3$
বা, $\frac{x}{2} = 3 – 1$
বা, $\frac{x}{2} = 2$
বা, $x = 2 \times 2$
বা, $x = 4$
উত্তর: (খ) $4$
৪. $\frac{a}{b}$ এর সমতুল ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা: কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই রাশি দিয়ে গুণ করলে সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
এখানে, $\frac{a}{b}$ এর লব ও হরকে $c$ দিয়ে গুণ করলে পাই $\frac{ac}{bc}$।
উত্তর: (ঘ) $\frac{ac}{bc}$
৫. $\frac{4a^2b – 9b^3}{4a^2b + 6ab^2}$ এর লঘিষ্ঠ রূপ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা:
লব $= 4a^2b – 9b^3 = b(4a^2 – 9b^2) = b\{(2a)^2 – (3b)^2\} = b(2a + 3b)(2a – 3b)$
হর $= 4a^2b + 6ab^2 = 2ab(2a + 3b)$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{4a^2b – 9b^3}{4a^2b + 6ab^2}$
$= \frac{b(2a + 3b)(2a – 3b)}{2ab(2a + 3b)}$
$= \frac{2a – 3b}{2a}$
উত্তর: (গ) $\frac{2a – 3b}{2a}$
৬. $\frac{a}{x} + \frac{b}{x} – \frac{c}{x}$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x} – \frac{c}{x}$
$= \frac{a + b – c}{x}$
উত্তর: (খ) $\frac{a + b – c}{x}$
যোগফল নির্ণয় করো (৭—১২):
৭. $\frac{3a}{5} + \frac{2b}{5}$
সমাধান: $\frac{3a}{5} + \frac{2b}{5}$
$= \frac{3a + 2b}{5}$
উত্তর: $\frac{3a + 2b}{5}$
৮. $\frac{1}{5x} + \frac{2}{5x}$
সমাধান: $\frac{1}{5x} + \frac{2}{5x}$
$= \frac{1 + 2}{5x}$
$= \frac{3}{5x}$
উত্তর: $\frac{3}{5x}$
৯. $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b}$
সমাধান: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b}$
$= \frac{3b \cdot x + 2a \cdot y}{6ab}$ [হর $2a$ ও $3b$ এর ল.সা.গু. $= 6ab$]
$= \frac{3bx + 2ay}{6ab}$
উত্তর: $\frac{3bx + 2ay}{6ab}$
১০. $\frac{2a}{x + 1} + \frac{2a}{x – 2}$
সমাধান:
$\frac{2a}{x + 1} + \frac{2a}{x – 2}$
$= \frac{2a(x – 2) + 2a(x + 1)}{(x + 1)(x – 2)}$ [হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x + 1)(x – 2)$]
$= \frac{2ax – 4a + 2ax + 2a}{(x + 1)(x – 2)}$
$= \frac{4ax – 2a}{(x + 1)(x – 2)}$
$= \frac{2a(2x – 1)}{(x + 1)(x – 2)}$
উত্তর: $\frac{2a(2x – 1)}{(x + 1)(x – 2)}$
১১. $\frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a – 2}$
সমাধান: $\frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a – 2}$
$= \frac{a(a – 2) + 2(a + 2)}{(a + 2)(a – 2)}$ [হরগুলোর ল.সা.গু. $= (a + 2)(a – 2)$]
$= \frac{a^2 – 2a + 2a + 4}{a^2 – 4}$
$= \frac{a^2 + 4}{a^2 – 4}$
উত্তর: $\frac{a^2 + 4}{a^2 – 4}$
১২. $\frac{3}{x^2 – 4x – 5} + \frac{4}{x + 1}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= x^2 – 4x – 5$
$= x^2 – 5x + x – 5$
$= x(x – 5) + 1(x – 5)$
$= (x – 5)(x + 1)$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{3}{(x – 5)(x + 1)} + \frac{4}{x + 1}$
$= \frac{3 + 4(x – 5)}{(x – 5)(x + 1)}$
$= \frac{3 + 4x – 20}{(x – 5)(x + 1)}$
$= \frac{4x – 17}{(x – 5)(x + 1)}$
উত্তর: $\frac{4x – 17}{(x – 5)(x + 1)}$
বিয়োগফল নির্ণয় করো (১৩—১৮):
১৩. $\frac{2a}{7} – \frac{4b}{7}$
সমাধান: $\frac{2a}{7} – \frac{4b}{7}$
$= \frac{2a – 4b}{7}$
উত্তর: $\frac{2a – 4b}{7}$
১৪. $\frac{2x}{5a} – \frac{4y}{5a}$
সমাধান: $\frac{2x}{5a} – \frac{4y}{5a}$
$= \frac{2x – 4y}{5a}$
উত্তর: $\frac{2x – 4y}{5a}$
১৫. $\frac{a}{8x} – \frac{b}{4y}$
সমাধান: হর $8x$ ও $4y$ এর ল.সা.গু. $= 8xy$
$\frac{a}{8x} – \frac{b}{4y}$
$= \frac{ay – 2bx}{8xy}$
উত্তর: $\frac{ay – 2bx}{8xy}$
১৬. $\frac{3}{x + 3} – \frac{2}{x + 2}$
সমাধান: $\frac{3}{x + 3} – \frac{2}{x + 2}$
$= \frac{3(x + 2) – 2(x + 3)}{(x + 3)(x + 2)}$ [হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x + 3)(x + 2)$]
$= \frac{3x + 6 – 2x – 6}{(x + 3)(x + 2)}$
$= \frac{x}{(x + 3)(x + 2)}$
উত্তর: $\frac{x}{(x + 3)(x + 2)}$
১৭. $\frac{p + q}{pq} – \frac{q + r}{qr}$
সমাধান: $\frac{p + q}{pq} – \frac{q + r}{qr}$
$= \frac{r(p + q) – p(q + r)}{pqr}$ [হর $pq$ ও $qr$ এর ল.সা.গু. $= pqr$]
$= \frac{pr + qr – pq – pr}{pqr}$
$= \frac{qr – pq}{pqr}$
$= \frac{q(r – p)}{pqr}$
$= \frac{r – p}{pr}$
উত্তর: $\frac{r – p}{pr}$
১৮. $\frac{2x}{x^2 – 4y^2} – \frac{x}{xy + 2y^2}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= x^2 – 4y^2 = (x + 2y)(x – 2y)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= xy + 2y^2 = y(x + 2y)$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= y(x + 2y)(x – 2y)$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{2x}{(x + 2y)(x – 2y)} – \frac{x}{y(x + 2y)}$
$= \frac{2x \cdot y – x(x – 2y)}{y(x + 2y)(x – 2y)}$
$= \frac{2xy – x^2 + 2xy}{y(x^2 – 4y^2)}$
$= \frac{4xy – x^2}{y(x^2 – 4y^2)}$
$= \frac{x(4y – x)}{y(x^2 – 4y^2)}$
উত্তর: $\frac{x(4y – x)}{y(x^2 – 4y^2)}$
সরল করো (১৯—২৪):
১৯. $\frac{5}{a^2 – 6a + 5} + \frac{1}{a – 1}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 – 6a + 5$
$= a^2 – 5a – a + 5$
$= a(a – 5) – 1(a – 5)$
$= (a – 5)(a – 1)$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{5}{(a – 5)(a – 1)} + \frac{1}{a – 1}$
$= \frac{5 + 1(a – 5)}{(a – 5)(a – 1)}$
$= \frac{5 + a – 5}{(a – 5)(a – 1)} = \frac{a}{(a – 5)(a – 1)}$
উত্তর: $\frac{a}{(a – 5)(a – 1)}$
২০. $\frac{1}{x + 2} – \frac{1}{x^2 – 4}$
সমাধান: ২য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{1}{x + 2} – \frac{1}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{1(x – 2) – 1}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{x – 2 – 1}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{x – 3}{x^2 – 4}$
উত্তর: $\frac{x – 3}{x^2 – 4}$
২১. $\frac{a}{3} + \frac{a}{6} – \frac{3a}{8}$
সমাধান: $\frac{a}{3} + \frac{a}{6} – \frac{3a}{8}$
$= \frac{8a + 4a – 3(3a)}{24}$ [হর $3, 6, 8$ এর ল.সা.গু. $= 24$]
$= \frac{8a + 4a – 9a}{24}$
$= \frac{12a – 9a}{24}$
$= \frac{3a}{24}$
$= \frac{a}{8}$
উত্তর: $\frac{a}{8}$
২২. $\frac{a}{b} – \frac{3a}{2b} + \frac{2a}{3b}$
সমাধান: $\frac{a}{b} – \frac{3a}{2b} + \frac{2a}{3b}$
$= \frac{6a – 3(3a) + 2(2a)}{6b}$ [হর $b, 2b, 3b$ এর ল.সা.গু. $= 6b$]
$= \frac{6a – 9a + 4a}{6b}$
$= \frac{10a – 9a}{6b}$
$= \frac{a}{6b}$
উত্তর: $\frac{a}{6b}$
২৩. $\frac{x}{yz} – \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$
সমাধান: $\frac{x}{yz} – \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$
$= \frac{x \cdot x – y \cdot y + z \cdot z}{xyz}$ [হর $yz, zx, xy$ এর ল.সা.গু. $= xyz$]
$= \frac{x^2 – y^2 + z^2}{xyz}$
উত্তর: $\frac{x^2 – y^2 + z^2}{xyz}$
২৪. $\frac{x – y}{xy} + \frac{y – z}{yz} + \frac{z – x}{zx}$
সমাধান: $\frac{x – y}{xy} + \frac{y – z}{yz} + \frac{z – x}{zx}$
$= \frac{z(x – y) + x(y – z) + y(z – x)}{xyz}$ [হর $xy, yz, zx$ এর ল.সা.গু. $= xyz$]
$= \frac{xz – yz + xy – xz + yz – xy}{xyz}$
$= \frac{0}{xyz}$
$= 0$
উত্তর: $0$
২৫. তিনটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ: $\frac{x}{x + y}, \frac{x}{x – 4y}, \frac{y}{x^2 – 3xy – 4y^2}$
ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $a^2 – 3a + 2$
সমাধান: $a^2 – 3a + 2$
$= a^2 – 2a – a + 2$
$= a(a – 2) – 1(a – 2)$
$= (a – 2)(a – 1)$
উত্তর: $(a – 2)(a – 1)$
খ) ১ম ও ২য় ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= x + y$
২য় ভগ্নাংশের হর $= x – 4y$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x + y)(x – 4y)$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x + y}$
$= \frac{x(x – 4y)}{(x + y)(x – 4y)}$
$= \frac{x^2 – 4xy}{(x + y)(x – 4y)}$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x – 4y}$
$= \frac{x(x + y)}{(x + y)(x – 4y)}$
$= \frac{x^2 + xy}{(x + y)(x – 4y)}$
উত্তর: $\frac{x(x – 4y)}{(x + y)(x – 4y)}, \frac{x(x + y)}{(x + y)(x – 4y)}$
গ) ভগ্নাংশ তিনটির যোগফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
৩য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 – 3xy – 4y^2$
$= x^2 – 4xy + xy – 4y^2$
$= x(x – 4y) + y(x – 4y)$
$= (x – 4y)(x + y)$
ভগ্নাংশ তিনটির যোগফল $= \frac{x}{x + y} + \frac{x}{x – 4y} + \frac{y}{(x + y)(x – 4y)}$
$= \frac{x(x – 4y) + x(x + y) + y}{(x + y)(x – 4y)}$
$= \frac{x^2 – 4xy + x^2 + xy + y}{(x + y)(x – 4y)}$
$= \frac{2x^2 – 3xy + y}{(x + y)(x – 4y)}$
উত্তর: $\frac{2x^2 – 3xy + y}{(x + y)(x – 4y)}$
২৬. তিনটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ: $\frac{1}{a^2 + 3a}, \frac{1}{a^2 + 5a + 6}, \frac{1}{a^2 – a – 12}$
ক) ৩য় ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
সমাধান: ৩য় ভগ্নাংশের হর $= a^2 – a – 12$
$= a^2 – 4a + 3a – 12$
$= a(a – 4) + 3(a – 4)$
$= (a – 4)(a + 3)$
উত্তর: $(a – 4)(a + 3)$
খ) ১ম ও ২য় ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করো।
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 + 3a = a(a + 3)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= a^2 + 5a + 6 = a^2 + 3a + 2a + 6 = a(a + 3) + 2(a + 3) = (a + 3)(a + 2)$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= a(a + 3)(a + 2)$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{1}{a^2 + 3a}$
$= \frac{1}{a(a + 3)}$
$= \frac{1 \times (a + 2)}{a(a + 3)(a + 2)}$
$= \frac{a + 2}{a(a + 3)(a + 2)}$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{1}{a^2 + 5a + 6}$
$= \frac{1}{(a + 3)(a + 2)}$
$= \frac{1 \times a}{a(a + 3)(a + 2)}$
$= \frac{a}{a(a + 3)(a + 2)}$
উত্তর: $\frac{a + 2}{a(a + 3)(a + 2)}, \frac{a}{a(a + 3)(a + 2)}$
গ) ১ম, ২য় ও ৩য় ভগ্নাংশের যোগফল নির্ণয় করো।
সমাধান: ‘ক’ ও ‘খ’ হতে পাই,
১ম ভগ্নাংশের হর $= a(a + 3)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= (a + 3)(a + 2)$
৩য় ভগ্নাংশের হর $= (a – 4)(a + 3)$
ভগ্নাংশ তিনটির হরগুলোর ল.সা.গু. $= a(a + 3)(a + 2)(a – 4)$
ভগ্নাংশ তিনটির যোগফল $= \frac{1}{a(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)(a + 2)} + \frac{1}{(a – 4)(a + 3)}$
$= \frac{(a + 2)(a – 4) + a(a – 4) + a(a + 2)}{a(a + 3)(a + 2)(a – 4)}$
$= \frac{(a^2 – 4a + 2a – 8) + (a^2 – 4a) + (a^2 + 2a)}{a(a + 3)(a + 2)(a – 4)}$
$= \frac{a^2 – 2a – 8 + a^2 – 4a + a^2 + 2a}{a(a + 3)(a + 2)(a – 4)}$
$= \frac{3a^2 – 4a – 8}{a(a + 3)(a + 2)(a – 4)}$
উত্তর: $\frac{3a^2 – 4a – 8}{a(a + 3)(a + 2)(a – 4)}$
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১. $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a – b}$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: হর $(a + b)$ এবং $(a – b)$ এর ল.সা.গু. $= (a + b)(a – b) = a^2 – b^2$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a – b}$
$= \frac{(a – b) + (a + b)}{(a + b)(a – b)}$
$= \frac{a – b + a + b}{a^2 – b^2}$
$= \frac{2a}{a^2 – b^2}$
উত্তর: (গ) $\frac{2a}{a^2 – b^2}$
২. $\frac{x^2}{xy}$ ভগ্নাংশটির—
$i.$ লঘিষ্ঠ আকার $\frac{x}{y}$
$ii.$ সমতুল ভগ্নাংশ $\frac{x^2 + 1}{xy + 1}$
$iii.$ সমহরবিশিষ্ট একটি ভগ্নাংশ $\frac{x^2 + 3}{xy}$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ ও $ii$
(খ) $i$ ও $iii$
(গ) $ii$ ও $iii$
(ঘ) $i, ii$ ও $iii$
ব্যাখ্যা:
$i.$ সত্য: $\frac{x^2}{xy} = \frac{x \cdot x}{x \cdot y} = \frac{x}{y}$
$ii.$ মিথ্যা: ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে কোনো সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায় না (কেবল একই সংখ্যা/রাশি দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে পাওয়া যায়)।
$iii.$ সত্য: $\frac{x^2}{xy}$ এবং $\frac{x^2 + 3}{xy}$ উভয় ভগ্নাংশের হর একই ($xy$), তাই এগুলো সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ।
সুতরাং, $i$ ও $iii$ সঠিক।
উত্তর: (খ) $i$ ও $iii$
নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$\frac{x^2 + 2x}{(x + 2)(x – 2)}$ এবং $\frac{x^2 + 4x – 4}{x^2 – 4}$ দুটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।
৩. প্রথম ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার কোনটি?
সমাধান: প্রথম ভগ্নাংশের লব $= x^2 + 2x = x(x + 2)$
এবং হর $= (x + 2)(x – 2)$
অতএব, প্রথম ভগ্নাংশ $= \frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{x}{x – 2}$
উত্তর: (ক) $\frac{x}{x – 2}$
৪. দ্বিতীয় ভগ্নাংশ থেকে প্রথম ভগ্নাংশ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?
সমাধান:
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{x^2 + 4x – 4}{x^2 – 4}$
$= \frac{x^2 + 4x – 4}{(x + 2)(x – 2)}$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x – 2}$
বিয়োগফল $= \frac{x^2 + 4x – 4}{(x + 2)(x – 2)} – \frac{x}{x – 2}$
$= \frac{(x^2 + 4x – 4) – x(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{x^2 + 4x – 4 – x^2 – 2x}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{2x – 4}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{2(x – 2)}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \frac{2}{x + 2}$
উত্তর: (খ) $\frac{2}{x + 2}$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. $\frac{3}{x^2 – x – 12}$, $\frac{4}{x^2 – 9}$, $\frac{x – 1}{x^2 + 3x}$ এবং $\frac{3x + 6}{x(x^2 + 5x + 6)}$ চারটি ভগ্নাংশ।
(ক) $\frac{a^2 – 2a}{3(a – 2)}$-কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করো।
সমাধান: প্রদত্ত রাশি $= \frac{a^2 – 2a}{3(a – 2)}$
$= \frac{a(a – 2)}{3(a – 2)}$
$= \frac{a}{3}$
উত্তর: $\frac{a}{3}$
(খ) প্রথম ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= x^2 – x – 12$
$= x^2 – 4x + 3x – 12$
$= x(x – 4) + 3(x – 4)$
$= (x – 4)(x + 3)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x + 3)(x – 3)$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x + 3)(x – 3)(x – 4)$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{3}{(x – 4)(x + 3)}$
$= \frac{3(x – 3)}{(x + 3)(x – 3)(x – 4)}$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{4}{(x + 3)(x – 3)}$
$= \frac{4(x – 4)}{(x + 3)(x – 3)(x – 4)}$
উত্তর: $\frac{3(x – 3)}{(x + 3)(x – 3)(x – 4)}, \frac{4(x – 4)}{(x + 3)(x – 3)(x – 4)}$
(গ) তৃতীয় ও চতুর্থ ভগ্নাংশের সমষ্টি নির্ণয় করো।
সমাধান:
৩য় ভগ্নাংশ $= \frac{x – 1}{x^2 + 3x}$
$= \frac{x – 1}{x(x + 3)}$
৪র্থ ভগ্নাংশ $= \frac{3x + 6}{x(x^2 + 5x + 6)}$
এখানে, $x^2 + 5x + 6$
$= x^2 + 3x + 2x + 6$
$= x(x + 3) + 2(x + 3)$
$= (x + 3)(x + 2)$
এবং লব $= 3x + 6 = 3(x + 2)$
অতএব, ৪র্থ ভগ্নাংশ $= \frac{3(x + 2)}{x(x + 3)(x + 2)}$
$= \frac{3}{x(x + 3)}$
সমষ্টি (যোগফল) $= \frac{x – 1}{x(x + 3)} + \frac{3}{x(x + 3)}$
$= \frac{x – 1 + 3}{x(x + 3)}$
$= \frac{x + 2}{x(x + 3)}$
উত্তর: $\frac{x + 2}{x(x + 3)}$
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. (ক) $\frac{1}{x – 4}$ ও $\frac{x}{x + 2}$ ভগ্নাংশদ্বয়কে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।
সমাধান: হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x – 4)(x + 2)$
১ম ভগ্নাংশ $=\frac{1}{x – 4}$
$= \frac{1 \cdot (x + 2)}{(x – 4)(x + 2)}$
$= \frac{x + 2}{(x – 4)(x + 2)}$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x + 2}$
$= \frac{x(x – 4)}{(x – 4)(x + 2)}$
$= \frac{x^2 – 4x}{(x – 4)(x + 2)}$
উত্তর: $\frac{x + 2}{(x – 4)(x + 2)}, \frac{x(x – 4)}{(x – 4)(x + 2)}$
৬. (খ) $\frac{-ax}{a – b}$ থেকে $\frac{bx}{b – a}$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে তা নির্ণয় করো।
সমাধান: $\frac{-ax}{a – b} – \frac{bx}{b – a}$
$= \frac{-ax}{a – b} – \frac{bx}{-(a – b)}$
$= \frac{-ax}{a – b} + \frac{bx}{a – b}$
$= \frac{-ax + bx}{a – b}$
$= \frac{x(b – a)}{a – b}$
$= \frac{-x(a – b)}{a – b} = -x$
উত্তর: $-x$
৬. (গ) $\frac{a + b}{a – b}$ এর সাথে কোন ভগ্নাংশ যোগ করলে যোগফল $1$ হবে তা নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $P$।
প্রশ্নমতে, $\frac{a + b}{a – b} + P = 1$
বা, $P = 1 – \frac{a + b}{a – b}$
বা, $P = \frac{(a – b) – (a + b)}{a – b}$
বা, $P = \frac{a – b – a – b}{a – b}$
বা, $P = \frac{-2b}{a – b}$
বা, $P = \frac{2b}{b – a}$
উত্তর: $\frac{2b}{b – a}$ (অথবা $\frac{-2b}{a – b}$)