অনুশীলনী ৬.১: বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করো (১–১০):
১. $\frac{a^2b}{a^3c}$
সমাধান: $\frac{a^2b}{a^3c}$
$= \frac{a^2 \cdot b}{a^2 \cdot a \cdot c}$
$= \frac{b}{ac}$
উত্তর: $\frac{b}{ac}$
২. $\frac{a^2bc}{ab^2c}$
সমাধান: $\frac{a^2bc}{ab^2c}$
$= \frac{a \cdot (abc)}{b \cdot (abc)}$
$= \frac{a}{b}$
উত্তর: $\frac{a}{b}$
৩. $\frac{x^3y^3z^3}{x^2y^2z^2}$
সমাধান: $\frac{x^3y^3z^3}{x^2y^2z^2}$
$= \frac{(x^2y^2z^2) \cdot xyz}{x^2y^2z^2}$
$= xyz$
উত্তর: $xyz$
৪. $\frac{x^2 + x}{xy + y}$
সমাধান: $\frac{x^2 + x}{xy + y}$
$= \frac{x(x + 1)}{y(x + 1)}$
$= \frac{x}{y}$
উত্তর: $\frac{x}{y}$
৫. $\frac{4a^2b}{6a^3b}$
সমাধান: $\frac{4a^2b}{6a^3b}$
$= \frac{2 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b}{2 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a \cdot b}$
$= \frac{2}{3a}$
উত্তর: $\frac{2}{3a}$
৬. $\frac{2a – 4ab}{1 – 4b^2}$
সমাধান: $\frac{2a – 4ab}{1 – 4b^2}$
$= \frac{2a(1 – 2b)}{1^2 – (2b)^2}$
$= \frac{2a(1 – 2b)}{(1 + 2b)(1 – 2b)}$
$= \frac{2a}{1 + 2b}$
উত্তর: $\frac{2a}{1 + 2b}$
৭. $\frac{2a + 3b}{4a^2 – 9b^2}$
সমাধান: $\frac{2a + 3b}{4a^2 – 9b^2}$
$= \frac{2a + 3b}{(2a)^2 – (3b)^2}$
$= \frac{2a + 3b}{(2a + 3b)(2a – 3b)}$
$= \frac{1}{2a – 3b}$
উত্তর: $\frac{1}{2a – 3b}$
৮. $\frac{a^2 + 4a + 4}{a^2 – 4}$
সমাধান:
লব $= a^2 + 4a + 4$
$= a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2$
$= (a + 2)^2$
$= (a + 2)(a + 2)$
হর $= a^2 – 4$
$= a^2 – 2^2$
$= (a + 2)(a – 2)$
অতএব, $\frac{a^2 + 4a + 4}{a^2 – 4}$
$= \frac{(a + 2)(a + 2)}{(a + 2)(a – 2)}$
$= \frac{a + 2}{a – 2}$
উত্তর: $\frac{a + 2}{a – 2}$
৯. $\frac{x^2 – y^2}{(x + y)^2}$
সমাধান: $\frac{x^2 – y^2}{(x + y)^2}$
$= \frac{(x + y)(x – y)}{(x + y)(x + y)}$
$= \frac{x – y}{x + y}$
উত্তর: $\frac{x – y}{x + y}$
১০. $\frac{x^2 + 2x – 15}{x^2 + 9x + 20}$
সমাধান:
লব $= x^2 + 2x – 15$
$= x^2 + 5x – 3x – 15$
$= x(x + 5) – 3(x + 5)$
$= (x + 5)(x – 3)$
হর $= x^2 + 9x + 20$
$= x^2 + 5x + 4x + 20$
$= x(x + 5) + 4(x + 5)$
$= (x + 5)(x + 4)$
অতএব, $\frac{x^2 + 2x – 15}{x^2 + 9x + 20}$
$= \frac{(x + 5)(x – 3)}{(x + 5)(x + 4)}$
$= \frac{x – 3}{x + 4}$
উত্তর: $\frac{x – 3}{x + 4}$
সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো (১১–২০):
১১. $\frac{a}{bc}, \frac{a}{ac}$
সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর হর $bc$ এবং $ac$ এর ল.সা.গু. $= abc$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $abc \div bc = a$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{a}{bc}$
$= \frac{a \times a}{bc \times a}$
$= \frac{a^2}{abc}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $abc \div ac = b$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{a}{ac}$
$= \frac{a \times b}{ac \times b}$
$= \frac{ab}{abc}$
উত্তর: $\frac{a^2}{abc}, \frac{ab}{abc}$
১২. $\frac{x}{pq}, \frac{y}{pr}$
সমাধান: ভগ্নাংশগুলোর হর $pq$ এবং $pr$ এর ল.সা.গু. $= pqr$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $pqr \div pq = r$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{x}{pq}$
$= \frac{x \times r}{pq \times r}$
$= \frac{xr}{pqr}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $pqr \div pr = q$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{y}{pr}$
$= \frac{y \times q}{pr \times q}$
$= \frac{yq}{pqr}$
উত্তর: $\frac{xr}{pqr}, \frac{yq}{pqr}$
১৩. $\frac{2x}{3m}, \frac{3y}{2n}$
সমাধান: ভগ্নাংশগুলোর হর $3m$ এবং $2n$ এর ল.সা.গু. $= 6mn$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $6mn \div 3m = 2n$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{2x}{3m}$
$= \frac{2x \times 2n}{3m \times 2n}$
$= \frac{4xn}{6mn}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $6mn \div 2n = 3m$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{3y}{2n}$
$= \frac{3y \times 3m}{2n \times 3m}$
$= \frac{9ym}{6mn}$
উত্তর: $\frac{4xn}{6mn}, \frac{9ym}{6mn}$
১৪. $\frac{a}{a – b}, \frac{b}{a + b}$
সমাধান: ভগ্নাংশগুলোর হর $(a – b)$ এবং $(a + b)$ এর ল.সা.গু. $= (a – b)(a + b)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a – b)(a + b) \div (a – b) = a + b$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{a}{a – b} = \frac{a(a + b)}{(a – b)(a + b)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a – b)(a + b) \div (a + b) = a – b$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{b}{a + b}$
$= \frac{b(a – b)}{(a – b)(a + b)}$
উত্তর: $\frac{a(a + b)}{(a – b)(a + b)}, \frac{b(a – b)}{(a – b)(a + b)}$
১৫. $\frac{x^2}{a^2 – 2ab}, \frac{y^2}{a + 2b}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 – 2ab = a(a – 2b)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= a + 2b$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= a(a – 2b)(a + 2b)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a – 2b)(a + 2b) \div a(a – 2b) = a + 2b$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{x^2}{a^2 – 2ab}$
$= \frac{x^2}{a(a – 2b)}$
$= \frac{x^2(a + 2b)}{a(a – 2b)(a + 2b)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a – 2b)(a + 2b) \div (a + 2b) = a(a – 2b)$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{y^2}{a + 2b}$
$= \frac{y^2 \cdot a(a – 2b)}{(a + 2b) \cdot a(a – 2b)}$
$= \frac{ay^2(a – 2b)}{a(a – 2b)(a + 2b)}$
উত্তর: $\frac{x^2(a + 2b)}{a(a – 2b)(a + 2b)}, \frac{ay^2(a – 2b)}{a(a – 2b)(a + 2b)}$
১৬. $\frac{3}{a^2 – 4}, \frac{2}{a(a + 2)}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 – 4 = a^2 – 2^2 = (a + 2)(a – 2)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= a(a + 2)$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= a(a + 2)(a – 2)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a + 2)(a – 2) \div (a + 2)(a – 2) = a$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{3}{a^2 – 4}$
$= \frac{3}{(a + 2)(a – 2)}$
$= \frac{3 \times a}{a(a + 2)(a – 2)}$
$= \frac{3a}{a(a + 2)(a – 2)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a + 2)(a – 2) \div a(a + 2) = a – 2$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{2}{a(a + 2)}$
$= \frac{2(a – 2)}{a(a + 2)(a – 2)}$
উত্তর: $\frac{3a}{a(a + 2)(a – 2)}, \frac{2(a – 2)}{a(a + 2)(a – 2)}$
১৭. $\frac{a}{a^2 – 9}, \frac{b}{a + 3}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 – 9 = a^2 – 3^2 = (a + 3)(a – 3)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= a + 3$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= (a + 3)(a – 3)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a + 3)(a – 3) \div (a + 3)(a – 3) = 1$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{a}{a^2 – 9}$
$= \frac{a}{(a + 3)(a – 3)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a + 3)(a – 3) \div (a + 3) = a – 3$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{b}{a + 3}$
$= \frac{b(a – 3)}{(a + 3)(a – 3)}$
উত্তর: $\frac{a}{(a + 3)(a – 3)}, \frac{b(a – 3)}{(a + 3)(a – 3)}$
১৮. $\frac{a}{a + b}, \frac{b}{a – b}, \frac{c}{a – c}$
সমাধান:
হরগুলোর ল.সা.গু. $= (a + b)(a – b)(a – c)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a + b)(a – b)(a – c) \div (a + b) = (a – b)(a – c)$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{a}{a + b}$
$= \frac{a(a – b)(a – c)}{(a + b)(a – b)(a – c)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a + b)(a – b)(a – c) \div (a – b) = (a + b)(a – c)$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{b}{a – b}$
$= \frac{b(a + b)(a – c)}{(a + b)(a – b)(a – c)}$
৩য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(a + b)(a – b)(a – c) \div (a – c) = (a + b)(a – b)$
৩য় ভগ্নাংশ $= \frac{c}{a – c}$
$= \frac{c(a + b)(a – b)}{(a + b)(a – b)(a – c)}$
উত্তর: $\frac{a(a – b)(a – c)}{(a + b)(a – b)(a – c)}, \frac{b(a + b)(a – c)}{(a + b)(a – b)(a – c)}, \frac{c(a + b)(a – b)}{(a + b)(a – b)(a – c)}$
১৯. $\frac{a}{a – b}, \frac{b}{a + b}, \frac{c}{a(a + b)}$
সমাধান:
হরগুলোর ল.সা.গু. $= a(a – b)(a + b)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a – b)(a + b) \div (a – b) = a(a + b)$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{a}{a – b}$
$= \frac{a \cdot a(a + b)}{a(a – b)(a + b)}$
$= \frac{a^2(a + b)}{a(a – b)(a + b)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a – b)(a + b) \div (a + b) = a(a – b)$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{b}{a + b}$
$= \frac{b \cdot a(a – b)}{a(a – b)(a + b)}$
$= \frac{ab(a – b)}{a(a – b)(a + b)}$
৩য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $a(a – b)(a + b) \div a(a + b) = a – b$
৩য় ভগ্নাংশ $= \frac{c}{a(a + b)}$
$= \frac{c(a – b)}{a(a – b)(a + b)}$
উত্তর: $\frac{a^2(a + b)}{a(a – b)(a + b)}, \frac{ab(a – b)}{a(a – b)(a + b)}, \frac{c(a – b)}{a(a – b)(a + b)}$
২০. $\frac{2}{x^2 – x – 2}, \frac{3}{x^2 + x – 6}$
সমাধান:
১ম ভগ্নাংশের হর $= x^2 – x – 2 = x^2 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + 1(x – 2) = (x – 2)(x + 1)$
২য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 + x – 6 = x^2 + 3x – 2x – 6 = x(x + 3) – 2(x + 3) = (x + 3)(x – 2)$
হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x – 2)(x + 1)(x + 3)$
১ম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(x – 2)(x + 1)(x + 3) \div (x – 2)(x + 1) = x + 3$
১ম ভগ্নাংশ $= \frac{2}{x^2 – x – 2}$
$= \frac{2}{(x – 2)(x + 1)}$
$= \frac{2(x + 3)}{(x – 2)(x + 1)(x + 3)}$
২য় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $(x – 2)(x + 1)(x + 3) \div (x + 3)(x – 2) = x + 1$
২য় ভগ্নাংশ $= \frac{3}{x^2 + x – 6}$
$= \frac{3}{(x + 3)(x – 2)}$
$= \frac{3(x + 1)}{(x – 2)(x + 1)(x + 3)}$
উত্তর: $\frac{2(x + 3)}{(x – 2)(x + 1)(x + 3)}, \frac{3(x + 1)}{(x – 2)(x + 1)(x + 3)}$