অনুশীলনী ১.৫: ভগ্নাংশের গুণ, ভাগ, সরলীকরণ
১. গুণ কর :
(ক) $২\frac{৩}{৫} \times ১\frac{৭}{১৩}$
সমাধান: $২\frac{৩}{৫} \times ১\frac{৭}{১৩}$
$= \frac{২ \times ৫ + ৩}{৫} \times \frac{১ \times ১৩ + ৭}{১৩}$
$= \frac{১৩}{৫} \times \frac{২০}{১৩}$
$= \frac{১৩ \times ২০}{৫ \times ১৩}$
$= ৪$
উত্তর: $৪$
(খ) $৮\frac{১}{৩} \times \frac{২৭}{৩২} \times ৪\frac{৭}{২৬}$
সমাধান: $৪\frac{১}{৩} \times \frac{২৭}{৩২} \times ৪\frac{৭}{২৬}$
$= \frac{২৫}{৩} \times \frac{২৭}{৩২} \times \frac{১১১}{২৬}$
$= \frac{২৫ \times ৯ \times ১১১}{৩২ \times ২৬}$
$= \frac{২৪৯৭৫}{৮৩২}$
$= ৩\frac{১৫}{৮৩২}$
উত্তর: $৩\frac{১৫}{৮৩২}$ (বা $\frac{২৪৯৭৫}{৮৩২}$)
(গ) $৯৯\frac{৩}{৪} \times \frac{২}{১৭} \times \frac{৫}{১৯}$
সমাধান: $৯৯\frac{৩}{৪} \times \frac{২}{১৭} \times \frac{৫}{১৯}$
$= \frac{৩৯৯}{৪} \times \frac{২}{১৭} \times \frac{৫}{১৯}$
$= \frac{২১ \times ১ \times ৫}{২ \times ১৭ \times ১}$
$= \frac{১০৫}{৩৪}$
$= ৩\frac{৩}{৩৪}$
উত্তর: $৩\frac{৩}{৩৪}$ (বা $\frac{১০৫}{৩৪}$)
২. ভাগ কর :
(ক) $৫ \div \frac{১৫}{১৬}$
সমাধান: $৫ \div \frac{১৫}{১৬}$
$= ৫ \times \frac{১৬}{১৫}$
$= \frac{১৬}{৩}$
$= ৫\frac{১}{৩}$
উত্তর: $৫\frac{১}{৩}$ (বা $\frac{১৬}{৩}$)
(খ) $\frac{২৭}{৩২} \div ৪\frac{৭}{২৬}$
সমাধান: $\frac{২৭}{৩২} \div ৪\frac{৭}{২৬}$
$= \frac{২৭}{৩২} \div \frac{১১১}{২৬}$
$= \frac{২৭}{৩২} \times \frac{২৬}{১১১}$
$= \frac{৯ \times ১৩}{১৬ \times ৩৭}$
$= \frac{১১৭}{৫৯২}$
উত্তর: $\frac{১১৭}{৫৯২}$
(গ) $২৭\frac{৩}{৪} \div ১৪\frac{৪}{৫}$
সমাধান: $২৭\frac{৩}{৪} \div ১৪\frac{৪}{৫}$
$= \frac{১১১}{৪} \div \frac{৭৪}{৫}$
$= \frac{১১১}{৪} \times \frac{৫}{৭৪}$
$= \frac{৩ \times ৫}{৪ \times ২}$
$= \frac{১৫}{৮}$
$= ১\frac{৭}{৮}$
উত্তর: $১\frac{৭}{৮}$ (বা $\frac{১৫}{৮}$)
৩. সরল কর :
(ক) $১\frac{২}{৩} \text{ এর } \frac{১}{৫} \div \frac{১}{৯}$
সমাধান: $১\frac{২}{৩} \text{ এর } \frac{১}{৫} \div \frac{১}{৯}$
$= \frac{৫}{৩} \text{ এর } \frac{১}{৫} \div \frac{১}{৯}$
$= \frac{১}{৩} \div \frac{১}{৯}$
$= \frac{১}{৩} \times ৯$
$= ৩$
উত্তর: $৩$
(খ) $৩\frac{২}{৩} \times \frac{৪}{৫} \text{ এর } ৪\frac{৭}{১২}$
সমাধান: $৩\frac{২}{৩} \times \frac{৪}{৫} \text{ এর } ৪\frac{৭}{১২}$
$= \frac{১১}{৩} \times \left( \frac{৪}{৫} \text{ এর } \frac{৫৫}{১২} \right)$
$= \frac{১১}{৩} \times \frac{১১}{৩}$
$= \frac{১১ \times ১১}{৩ \times ৩}$
$= \frac{১২১}{৯}$
$= ১৩\frac{৩}{৯}$
উত্তর: $১৩\frac{৩}{৯}$ (বা $\frac{১২১}{৯}$)
(গ) $\frac{১}{২} \div \frac{৩}{৪} \text{ এর } \frac{৮}{৯} \times ১\frac{৪}{৫}$
সমাধান: $\frac{১}{২} \div \frac{৩}{৪} \text{ এর } \frac{৮}{৯} \times ১\frac{৪}{৫}$
$= \frac{১}{২} \div \left( \frac{৩}{৪} \text{ এর } \frac{৮}{৯} \right) \times \frac{৯}{৫}$
$= \frac{১}{২} \div \frac{২}{৩} \times \frac{৯}{৫}$
$= \frac{১}{২} \times \frac{৩}{২} \times \frac{৯}{৫}$
$= \frac{২৭}{২০}$
$= ১\frac{৭}{২০}$
উত্তর: $১\frac{৭}{২০}$ (বা $\frac{২৭}{২০}$)
৪. গ.সা.গু. নির্ণয় কর :
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. $= \frac{\text{লবগুলোর গ.সা.গু.}}{\text{হরগুলোর ল.সা.গু.}}$
(ক) $২\frac{১}{২}, ৩\frac{১}{৩}$
সমাধান: ভগ্নাংশগুলো অপ্রকৃত রূপান্তর করে পাই: $\frac{৫}{২}, \frac{১০}{৩}$
লব $৫$ ও $১০$-এর গ.সা.গু. $= ৫$
হর $২$ ও $৩$-এর ল.সা.গু. $= ৬$
$\therefore$ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু. $= \frac{৫}{৬}$
উত্তর: $\frac{৫}{৬}$
(খ) $৮, ২\frac{২}{৫}, \frac{৮}{১০}$
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যা ও ভগ্নাংশগুলো: $\frac{৮}{১}, \frac{১২}{৫}, \frac{৮}{১০}$ বা $\frac{৪}{৫}$)
অর্থাৎ ভগ্নাংশগুলো: $\frac{৮}{১}, \frac{১২}{৫}, \frac{৪}{৫}$
লব $৮, ১২, ৪$-এর গ.সা.গু. $= ৪$
হর $১, ৫, ৫$-এর ল.সা.গু. $= ৫$
$\therefore$ গ.সা.গু. $= \frac{৪}{৫}$
উত্তর: $\frac{৪}{৫}$
(গ) $৯\frac{১}{৩}, ৫\frac{২}{৫}, ১৫\frac{৩}{৮}$
সমাধান:
অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই: $\frac{২৮}{৩}, \frac{২৭}{৫}, \frac{১২৩}{৮}$
লব $২৮, ২৭, ১২৩$-এর গ.সা.গু. $= ১$ (যেহেতু এদের মধ্যে কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই)
হর $৩, ৫, ৮$-এর ল.সা.গু. $= ৩ \times ৫ \times ৮ = ১২$
$\therefore$ গ.সা.গু. $= \frac{১}{১২}$
উত্তর: $\frac{১}{১২}$
৫. ল.সা.গু. নির্ণয় কর :
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. $= \frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু.}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু.}}$
(ক) $৫\frac{১}{৪}, ১\frac{১}{৮}$
সমাধান:
অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই: $\frac{২১}{৪}, \frac{৯}{৮}$
লব $২১$ ও $৯$-এর ল.সা.গু. $= ৬৩$
হর $৪$ ও $৮$-এর গ.সা.গু. $= ৪$
$\therefore$ ল.সা.গু. $= \frac{৬৩}{৪} = ১৫\frac{৩}{৪}$
উত্তর: $১৫\frac{৩}{৪}$ (বা $\frac{৬৩}{৪}$)
(খ) $৩, \frac{২৪}{৩৮}, \frac{১৫}{৩৪}$
সমাধান:
ভগ্নাংশগুলো লঘিষ্ঠ করে পাই: $\frac{৩}{১}, \frac{১২}{১৯}, \frac{১৫}{৩৪}$
লব $৩, ১২, ১৫$-এর ল.সা.গু. $= ৬$
হর $১, ১৯, ৩৪$-এর গ.সা.গু. $= ১$
$\therefore$ ল.সা.গু. $= \frac{৬}{১} = ৬$
উত্তর: $৬$
(গ) $২\frac{২}{৫}, ৭\frac{১}{৫}, ২\frac{২২}{২৫}$
সমাধান:
অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই: $\frac{১২}{৫}, \frac{৩৬}{৫}, \frac{৭২}{২৫}$
- লব $১২,৩৬, ৭২$-এর ল.সা.গু. $= ৭২$
- হর $৫, ৫, ২৫$-এর গ.সা.গু. $= ৫$
$\therefore$ ল.সা.গু. $= \frac{৭২}{৫} = ১৪\frac{২}{৫}$
উত্তর: $১৪\frac{২}{৫}$
৬. জামাল সাহেব তাঁর বাবার সম্পত্তির $\frac{৭}{১৮}$ অংশের মালিক। তিনি তাঁর সম্পত্তির $\frac{৫}{৬}$ অংশ তিন সন্তানকে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক সন্তানের সম্পত্তির অংশ বের কর।
সমাধান:
জামাল সাহেবের মোট সম্পত্তি $= \frac{৭}{১৮}$ অংশ।
তিনি তিন সন্তানকে দিলেন তাঁর সম্পত্তির $\frac{৫}{৬}$ অংশ।
$\therefore$ তিন সন্তান মোট পেল $= \left( \frac{৭}{১৮} \text{ এর } \frac{৫}{৬} \right)$ অংশ
$= \frac{৩৫}{১০৮}$ অংশ
অতএব, $৩$ জন সন্তান পায় $= \frac{৩৫}{১০৮}$ অংশ
$\therefore$ $১$ জন সন্তান (প্রত্যেক সন্তান) পায় $= \frac{৩৫}{১৮} \div ৩$ অংশ
$= \frac{৩৫}{১০৮} \times \frac{১}{৩}$ অংশ
$= \frac{৩৫}{৩২৪}$ অংশ
উত্তর: $\frac{৩৫}{৩২৪}$ অংশ
৭. দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল $৪৮\frac{১}{৮}$। একটি ভগ্নাংশ $১\frac{১৩}{৩২}$ হলে, অপর ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল $= ৪৮\frac{১}{৮} = \frac{৩৮৫}{৮}$
একটি ভগ্নাংশ $= ১\frac{১৩}{৩২} = \frac{৪৫}{৩২}$
আমরা জানি,
অপর ভগ্নাংশ $= \text{ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল} \div \text{একটি ভগ্নাংশ}$
$= \frac{৩৮৫}{৮} \div \frac{৪৫}{৩২}$
$= \frac{৩৮৫}{৮} \times \frac{৩২}{৪৫}$
$= \frac{৭৭ \times ৪}{১ \times ৯}$
$= \frac{৩০৮}{৯}$
$= ৩৪\frac{২}{৯}$
উত্তর: $৩৪\frac{২}{৯}$ (বা $\frac{৩০৮}{৯}$)
৮. একটি পানি ভর্তি বালতির ওজন $১৬\frac{১}{২}$ কেজি। বালতির $\frac{১}{৪}$ অংশ পানি ভর্তি থাকলে তার ওজন $৫\frac{১}{৮}$ কেজি হয়। খালি বালতির ওজন নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে,
খালি বালতির ওজন + সম্পূর্ণ ($১$ অংশ) পানির ওজন $= ১৬\frac{১}{২} = \frac{৩৩}{২}$ কেজি
এবং, খালি বালতির ওজন + $\frac{১}{৪}$ অংশ পানির ওজন $= ৫\frac{১}{৮} = \frac{৪১}{৮}$ কেজি
বিয়োগ করে পাই,
$\left(১ – \frac{১}{৪}\right)$ অংশ পানির ওজন $= \left(\frac{৩৩}{২} – \frac{৪১}{৮}\right)$ কেজি
বা, $\frac{৩}{৪}$ অংশ পানির ওজন $= \frac{১৩২ – ৪১}{৮}$ কেজি $= \frac{৯১}{৮}$ কেজি
$\therefore$ সম্পূর্ণ ($১$ অংশ) পানির ওজন $= \frac{৯১}{৮} \div \frac{৩}{৪}$ কেজি
$= \frac{৯১}{৮} \times \frac{৪}{৩}$ কেজি
$= \frac{৯১}{৬}$ কেজি
$\therefore$ খালি বালতির ওজন $= \text{পানি ভর্তি বালতির ওজন} – \text{সম্পূর্ণ পানির ওজন}$
$= \frac{৩৩}{২} – \frac{৯১}{৬}$ কেজি
$= \frac{৯৯ – ৯১}{৬}$ কেজি
$= \frac{৮}{৬}$ কেজি
$= \frac{৪}{৩}$ কেজি $= ১\frac{১}{৩}$ কেজি
উত্তর: $১\frac{১}{৩}$ কেজি (বা $\frac{৪}{৩}$ কেজি)
৯. দেখাও যে, $৫\frac{১}{৪}$ ও $২\frac{১}{৮}$ এর গুণফল এদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।
সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যা দুটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:
প্রথম সংখ্যা $= ৫\frac{১}{৪} = \frac{২১}{৪}$
দ্বিতীয় সংখ্যা $= ২\frac{১}{৮} = \frac{১৭}{৮}$
সংখ্যা দুটির গুণফল $= \frac{২১}{৪} \times \frac{১৭}{৮} = \frac{৩৫৭}{৩২}$
গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয়:
লব $২১$ ও $১৭$-এর গ.সা.গু. $= ১$ এবং ল.সা.গু. $= ২১ \times ১৭ = ৩৫৭$
হর $৪$ ও $৮$-এর গ.সা.গু. $= ৪$ এবং ল.সা.গু. $= ৮$
$\therefore$ ভগ্নাংশ দুটির গ.সা.গু. $= \frac{\text{লবগুলোর গ.সা.গু.}}{\text{হরগুলোর ল.সা.গু.}} = \frac{১}{৮}$
$\therefore$ ভগ্নাংশ দুটির ল.সা.গু. $= \frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু.}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু.}} = \frac{৩৫৭}{৪}$
গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর গুণফল $= \frac{১}{৮} \times \frac{৩৫৭}{৪} = \frac{৩৫৭}{৩২}$
দেখা যাচ্ছে যে, সংখ্যা দুটির গুণফল $\left\frac{৩৫৭}{৩২}\right$ এবং এদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর গুণফল $\left\frac{৩৫৭}{৩২}\right$ সমান। (দেখানো হলো)