নবম-দশম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৯.১

অনুশীলনী ৯.১: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

১. নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই করো। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধান:

ক) $\tan A$ এর মান সর্বদা $1$ এর চেয়ে কম।

উত্তর: মিথ্যা।

যুক্তি: সমকোণী ত্রিভুজে লম্বের দৈর্ঘ্য ভূমির চেয়ে বড় হতে পারে। যেমন: $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$, যা $1$ অপেক্ষা বড়। সুতরাং $\tan A$-এর মান $1$ এর চেয়ে বড়ও হতে পারে।

খ) $\cot A$ হলো $\cot$ ও $A$ এর গুণফল।

উত্তর: মিথ্যা।

যুক্তি: $\cot A$ দ্বারা $A$ কোণের কোট্যানজেন্ট অনুপাতকে বোঝায়। এটি $\cot$ এবং $A$-এর গুণফল নয়; $A$ ছাড়া $\cot$ একা অর্থহীন।

গ) $A$ এর কোনো একটি মানের জন্য $\sec A = \frac{12}{5}$।

উত্তর: সত্য।

যুক্তি: আমরা জানি, $\sec A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}$। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সর্বদা ভূমির চেয়ে বড় হয়। যেহেতু $\frac{12}{5} > 1$, তাই $A$ এর কোনো সূক্ষ্মকোণের মানের জন্য $\sec A = \frac{12}{5}$ হওয়া সম্ভব।

ঘ) $\cos$ হলো $\text{cotangent}$ এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

উত্তর: মিথ্যা।

যুক্তি: $\cos$ হলো $\text{cosine}$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ। আর $\text{cotangent}$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো $\cot$।

২. $\sin A = \frac{3}{4}$ হলে, $A$ কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$, যার $\angle C = 90^\circ$ এবং $\angle A$ সূক্ষ্মকোণ।

চিত্র হবে

দেওয়া আছে,

$\sin A = \frac{3}{4} = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

অতএব, লম্ব $= 3$ এবং অতিভুজ $= 4$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$\text{ভূমি} = \sqrt{(\text{অতিভুজ})^2 – (\text{লম্ব})^2}$

$= \sqrt{4^2 – 3^2}$

$= \sqrt{16 – 9}$

$= \sqrt{7}$

অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ:

• $\cos A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
• $\tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$
• $\cot A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$
• $\sec A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{\sqrt{7}}$
• $\text{cosec } A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}} = \frac{4}{3}$

৩. দেওয়া আছে, $15\cot A = 8$, $\sin A$ ও $\sec A$ এর মান বের করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $15\cot A = 8$

বা, $\cot A = \frac{8}{15} = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}}$

অতএব, ভূমি $= 8$ এবং লম্ব $= 15$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$\text{অতিভুজ} = \sqrt{(\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2}$

$= \sqrt{15^2 + 8^2}$

$ = \sqrt{225 + 64}$

$= \sqrt{289} = 17$

সুতরাং,

$\sin A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{15}{17}$

$\sec A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}} = \frac{17}{8}$

উত্তর: $\sin A = \frac{15}{17}$ এবং $\sec A = \frac{17}{8}$।

৪. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle C$ সমকোণ, $AB = 13\text{ সে.মি.}$, $BC = 12\text{ সে.মি.}$ এবং $\angle ABC = \theta$ হলে, $\sin\theta$, $\cos\theta$ ও $\tan\theta$ এর মান বের করো।

সমাধান:

চিত্র হবে

দেওয়া আছে, $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle C = 90^\circ$

অতিভুজ $AB = 13\text{ সে.মি.}$ এবং ভূমি $BC = 12\text{ সে.মি.}$

$\angle ABC = \theta$ কোণের সাপেক্ষে, লম্ব $= AC$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$AC = \sqrt{AB^2 – BC^2}$

$= \sqrt{13^2 – 12^2}$

$= \sqrt{169 – 144}$

$= \sqrt{25}$

$= 5\text{ সে.মি.}$

সুতরাং, $\theta$ কোণের সাপেক্ষে:

• $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$
• $\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$
• $\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$

৫. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B$ কোণটি সমকোণ। $\tan A = \sqrt{3}$ হলে, $\sqrt{3}\sin A\cos A = \frac{3}{4}$ এর সত্যতা যাচাই করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle B = 90^\circ$

এবং $\tan A = \sqrt{3}$

আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

অতএব, $\tan A = \tan 60^\circ \implies A = 60^\circ$

এখন, বামপক্ষ (L.H.S.) $= \sqrt{3}\sin A\cos A$

$= \sqrt{3}\sin 60^\circ\cos 60^\circ$

$= \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{3}{4} = \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

অতএব, $\sqrt{3}\sin A\cos A = \frac{3}{4}$ উক্তিটি সত্য। (যাচাই করা হলো)

প্রমাণ করো (৬-২০):

৬. ক) $\frac{1}{\sec^2 A} + \frac{1}{\text{cosec}^2 A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{\sec^2 A} + \frac{1}{\text{cosec}^2 A}$

$= \cos^2 A + \sin^2 A \quad \left[\because \frac{1}{\sec A} = \cos A, \frac{1}{\text{cosec } A} = \sin A\right]$

$= \sin^2 A + \cos^2 A$

$= 1 \quad \left[\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

৬. খ) $\frac{1}{\cos^2 A} – \frac{1}{\cot^2 A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{\cos^2 A} – \frac{1}{\cot^2 A}$

$= \sec^2 A – \tan^2 A \quad \left[\because \frac{1}{\cos A} = \sec A, \frac{1}{\cot A} = \tan A\right]$

$= 1 \quad \left[\because \sec^2 A – \tan^2 A = 1\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

৬. গ) $\frac{1}{\sin^2 A} – \frac{1}{\tan^2 A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{\sin^2 A} – \frac{1}{\tan^2 A}$

$= \text{cosec}^2 A – \cot^2 A \quad \left[\because \frac{1}{\sin A} = \text{cosec } A, \frac{1}{\tan A} = \cot A\right]$

$= 1 \quad \left[\because \text{cosec}^2 A – \cot^2 A = 1\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

৭. ক) $\frac{\sin A}{\text{cosec } A} + \frac{\cos A}{\sec A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\sin A}{\text{cosec } A} + \frac{\cos A}{\sec A}$

$= \sin A \cdot \frac{1}{\text{cosec } A} + \cos A \cdot \frac{1}{\sec A}$

$= \sin A \cdot \sin A + \cos A \cdot \cos A \quad \left[\because \frac{1}{\text{cosec } A} = \sin A, \frac{1}{\sec A} = \cos A\right]$

$= \sin^2 A + \cos^2 A$

$= 1 \quad \left[\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

খ) $\frac{\sec A}{\cos A} – \frac{\tan A}{\cot A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\sec A}{\cos A} – \frac{\tan A}{\cot A}$

$= \sec A \cdot \frac{1}{\cos A} – \tan A \cdot \frac{1}{\cot A}$

$= \sec A \cdot \sec A – \tan A \cdot \tan A \quad \left[\because \frac{1}{\cos A} = \sec A, \frac{1}{\cot A} = \tan A\right]$

$= \sec^2 A – \tan^2 A$

$= 1 \quad \left[\because \sec^2 A – \tan^2 A = 1\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

গ) $\frac{1}{1 + \sin^2 A} + \frac{1}{1 + \text{cosec}^2 A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{1 + \sin^2 A} + \frac{1}{1 + \text{cosec}^2 A}$

$= \frac{1}{1 + \sin^2 A} + \frac{1}{1 + \frac{1}{\sin^2 A}}$

$= \frac{1}{1 + \sin^2 A} + \frac{1}{\frac{\sin^2 A + 1}{\sin^2 A}}$

$= \frac{1}{1 + \sin^2 A} + \frac{\sin^2 A}{1 + \sin^2 A}$

$= \frac{1 + \sin^2 A}{1 + \sin^2 A}$

$= 1$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

৮. ক) $\frac{\tan A}{1 – \cot A} + \frac{\cot A}{1 – \tan A} = \sec A \cdot \text{cosec } A + 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\tan A}{1 – \cot A} + \frac{\cot A}{1 – \tan A}$

$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 – \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 – \frac{\sin A}{\cos A}}$

$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{\sin A – \cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{\cos A – \sin A}{\cos A}}$

$= \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin A}{\sin A – \cos A} + \frac{\cos A}{\sin A} \cdot \frac{\cos A}{-(\sin A – \cos A)}$

$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A – \cos A)} – \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A – \cos A)}$

$= \frac{\sin^3 A – \cos^3 A}{\sin A \cos A(\sin A – \cos A)}$

$= \frac{(\sin A – \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A \cos A(\sin A – \cos A)}$

$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} \quad \left[\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1\right]$

$= \frac{1}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A}$

$= \frac{1}{\cos A} \cdot \frac{1}{\sin A} + 1$

$= \sec A \cdot \text{cosec } A + 1$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

খ) $\frac{1}{1 + \tan^2 A} + \frac{1}{1 + \cot^2 A} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{1 + \tan^2 A} + \frac{1}{1 + \cot^2 A}$

$= \frac{1}{\sec^2 A} + \frac{1}{\text{cosec}^2 A} \quad \left[\because 1 + \tan^2 A = \sec^2 A, 1 + \cot^2 A = \text{cosec}^2 A\right]$

$= \cos^2 A + \sin^2 A$

$= 1$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

৯. $\frac{\cos A}{1 – \tan A} + \frac{\sin A}{1 – \cot A} = \sin A + \cos A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\cos A}{1 – \tan A} + \frac{\sin A}{1 – \cot A}$

$= \frac{\cos A}{1 – \frac{\sin A}{\cos A}} + \frac{\sin A}{1 – \frac{\cos A}{\sin A}}$

$= \frac{\cos A}{\frac{\cos A – \sin A}{\cos A}} + \frac{\sin A}{\frac{\sin A – \cos A}{\sin A}}$

$= \frac{\cos^2 A}{\cos A – \sin A} + \frac{\sin^2 A}{\sin A – \cos A}$

$= \frac{\cos^2 A}{\cos A – \sin A} – \frac{\sin^2 A}{\cos A – \sin A}$

$= \frac{\cos^2 A – \sin^2 A}{\cos A – \sin A}$

$= \frac{(\cos A + \sin A)(\cos A – \sin A)}{\cos A – \sin A}$

$= \cos A + \sin A$

$= \sin A + \cos A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১০. $\tan A \sqrt{1 – \sin^2 A} = \sin A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \tan A \sqrt{1 – \sin^2 A}$

$= \tan A \cdot \sqrt{\cos^2 A} \quad \left[\because 1 – \sin^2 A = \cos^2 A\right]$

$= \tan A \cdot \cos A$

$= \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \cos A$

$= \sin A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১১. $\frac{\sec A + \tan A}{\text{cosec } A + \cot A} = \frac{\text{cosec } A – \cot A}{\sec A – \tan A}$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\sec A + \tan A}{\text{cosec } A + \cot A}$

$= \frac{(\sec A + \tan A)(\sec A – \tan A)(\text{cosec } A – \cot A)}{(\text{cosec } A + \cot A)(\text{cosec } A – \cot A)(\sec A – \tan A)}$ [লব ও হরকে $(\sec A – \tan A)(\text{cosec } A – \cot A)$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{(\sec^2 A – \tan^2 A)(\text{cosec } A – \cot A)}{(\text{cosec}^2 A – \cot^2 A)(\sec A – \tan A)}$

$= \frac{1 \cdot (\text{cosec } A – \cot A)}{1 \cdot (\sec A – \tan A)} \quad \left[\because \sec^2 A – \tan^2 A = 1, \text{cosec}^2 A – \cot^2 A = 1\right]$

$= \frac{\text{cosec } A – \cot A}{\sec A – \tan A}$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১২. প্রমাণ করো: $\frac{\text{cosec } A}{\text{cosec } A – 1} + \frac{\text{cosec } A}{\text{cosec } A + 1} = 2\sec^2 A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\text{cosec } A}{\text{cosec } A – 1} + \frac{\text{cosec } A}{\text{cosec } A + 1}$

$= \text{cosec } A \left[\frac{1}{\text{cosec } A – 1} + \frac{1}{\text{cosec } A + 1}\right]$

$= \text{cosec } A \left[\frac{(\text{cosec } A + 1) + (\text{cosec } A – 1)}{(\text{cosec } A – 1)(\text{cosec } A + 1)}\right]$

$= \text{cosec } A \cdot \frac{2\text{cosec } A}{\text{cosec}^2 A – 1}$

$= \frac{2\text{cosec}^2 A}{\cot^2 A} \quad \left[\because \text{cosec}^2 A – 1 = \cot^2 A\right]$

$= \frac{2 \cdot \frac{1}{\sin^2 A}}{\frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}}$

$= \frac{2}{\sin^2 A} \cdot \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}$

$= \frac{2}{\cos^2 A}$

$= 2\sec^2 A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৩. $\frac{1}{1 + \sin A} + \frac{1}{1 – \sin A} = 2\sec^2 A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{1 + \sin A} + \frac{1}{1 – \sin A}$

$= \frac{(1 – \sin A) + (1 + \sin A)}{(1 + \sin A)(1 – \sin A)}$

$= \frac{2}{1 – \sin^2 A}$

$= \frac{2}{\cos^2 A} \quad \left[\because 1 – \sin^2 A = \cos^2 A\right]$

$= 2\sec^2 A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৪. $\frac{1}{\text{cosec } A – 1} – \frac{1}{\text{cosec } A + 1} = 2\tan^2 A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{1}{\text{cosec } A – 1} – \frac{1}{\text{cosec } A + 1}$

$= \frac{(\text{cosec } A + 1) – (\text{cosec } A – 1)}{(\text{cosec } A – 1)(\text{cosec } A + 1)}$

$= \frac{\text{cosec } A + 1 – \text{cosec } A + 1}{\text{cosec}^2 A – 1}$

$= \frac{2}{\cot^2 A} \quad \left[\because \text{cosec}^2 A – 1 = \cot^2 A\right]$

$= 2\tan^2 A \quad \left[\because \frac{1}{\cot A} = \tan A\right]$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৫. $\frac{\sin A}{1 – \cos A} + \frac{1 – \cos A}{\sin A} = 2\text{cosec } A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\sin A}{1 – \cos A} + \frac{1 – \cos A}{\sin A}$

$= \frac{\sin^2 A + (1 – \cos A)^2}{\sin A(1 – \cos A)}$

$= \frac{\sin^2 A + 1 – 2\cos A + \cos^2 A}{\sin A(1 – \cos A)}$

$= \frac{(\sin^2 A + \cos^2 A) + 1 – 2\cos A}{\sin A(1 – \cos A)}$

$= \frac{1 + 1 – 2\cos A}{\sin A(1 – \cos A)} \quad \left[\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1\right]$

$= \frac{2 – 2\cos A}{\sin A(1 – \cos A)}$

$= \frac{2(1 – \cos A)}{\sin A(1 – \cos A)}$

$= \frac{2}{\sin A}$

$= 2\text{cosec } A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৬. $\frac{\tan A}{\sec A + 1} – \frac{\sec A – 1}{\tan A} = 0$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\tan A}{\sec A + 1} – \frac{\sec A – 1}{\tan A}$

$= \frac{\tan^2 A – (\sec A – 1)(\sec A + 1)}{\tan A(\sec A + 1)}$

$= \frac{\tan^2 A – (\sec^2 A – 1)}{\tan A(\sec A + 1)}$

$= \frac{\tan^2 A – \tan^2 A}{\tan A(\sec A + 1)} \quad \left[\because \sec^2 A – 1 = \tan^2 A\right]$

$= \frac{0}{\tan A(\sec A + 1)}$

$= 0$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৭. $(\tan\theta + \sec\theta)^2 = \frac{1 + \sin\theta}{1 – \sin\theta}$

সমাধান:

বামপক্ষ $= (\tan\theta + \sec\theta)^2$

$= \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta}\right)^2$

$= \left(\frac{\sin\theta + 1}{\cos\theta}\right)^2$

$= \frac{(1 + \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}$

$= \frac{(1 + \sin\theta)^2}{1 – \sin^2\theta} \quad \left[\because \cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta\right]$

$= \frac{(1 + \sin\theta)(1 + \sin\theta)}{(1 – \sin\theta)(1 + \sin\theta)}$

$= \frac{1 + \sin\theta}{1 – \sin\theta}$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৮. $\frac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A} = \cot A \cdot \tan B$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \frac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A}$

$= \frac{\cot A + \tan B}{\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\cot A}}$

$= \frac{\cot A + \tan B}{\frac{\cot A + \tan B}{\tan B \cdot \cot A}}$

$= (\cot A + \tan B) \times \frac{\tan B \cdot \cot A}{\cot A + \tan B}$

$= \cot A \cdot \tan B$$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

১৯. $\sqrt{\frac{1 – \sin A}{1 + \sin A}} = \sec A – \tan A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sqrt{\frac{1 – \sin A}{1 + \sin A}}$

$= \frac{\sqrt{(1 – \sin A)(1 – \sin A)}}{\sqrt{(1 + \sin A)(1 – \sin A)}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{1 – \sin A}$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{\sqrt{(1 – \sin A)^2}}{\sqrt{1 – \sin^2 A}}$

$= \frac{1 – \sin A}{\sqrt{\cos^2 A}} \quad \left[\because 1 – \sin^2 A = \cos^2 A\right]$

$= \frac{1 – \sin A}{\cos A}$$

$= \frac{1}{\cos A} – \frac{\sin A}{\cos A}$

$= \sec A – \tan A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

২০. প্রমাণ করো: $\sqrt{\frac{\sec A + 1}{\sec A – 1}} = \cot A + \text{cosec } A$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sqrt{\frac{\sec A + 1}{\sec A – 1}}$

$= \frac{\sqrt{(\sec A + 1)(\sec A + 1)}}{\sqrt{(\sec A – 1)(\sec A + 1)}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{\sec A + 1}$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{\sqrt{(\sec A + 1)^2}}{\sqrt{\sec^2 A – 1}}$

$= \frac{\sec A + 1}{\sqrt{\tan^2 A}} \quad \left[\because \sec^2 A – 1 = \tan^2 A\right]$

$= \frac{\sec A + 1}{\tan A}$

$= \frac{\sec A}{\tan A} + \frac{1}{\tan A}$

$= \frac{\frac{1}{\cos A}}{\frac{\sin A}{\cos A}} + \cot A$

$= \left(\frac{1}{\cos A} \times \frac{\cos A}{\sin A}\right) + \cot A$

$= \frac{1}{\sin A} + \cot A$

$= \text{cosec } A + \cot A$

$= \cot A + \text{cosec } A$

$= \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)

২১. $\cos A + \sin A = \sqrt{2}\cos A$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\cos A – \sin A = \sqrt{2}\sin A$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\cos A + \sin A = \sqrt{2}\cos A$

বা, $\sqrt{2}(\cos A + \sin A) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\cos A$ [উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\sqrt{2}\cos A + \sqrt{2}\sin A = 2\cos A$

[এখানে, $\sqrt{2}\cos A$ এর স্থানে $(\cos A + \sin A)$ বসিয়ে]

বা, $(\cos A + \sin A) + \sqrt{2}\sin A = 2\cos A$

বা, $\sqrt{2}\sin A = 2\cos A – \cos A – \sin A$

বা, $\sqrt{2}\sin A = \cos A – \sin A$

বা, $\cos A – \sin A = \sqrt{2}\sin A$ (প্রমাণিত)

২২. যদি $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হয়, তবে $\frac{\text{cosec}^2 A – \sec^2 A}{\text{cosec}^2 A + \sec^2 A}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\cot A = \frac{1}{\tan A} = \sqrt{3}$

এখন,

$\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$

$= 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

$= 1 + \frac{1}{3}$

$= \frac{4}{3}$

এবং $\text{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$

$= 1 + (\sqrt{3})^2$

$= 1 + 3 = 4$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{\text{cosec}^2 A – \sec^2 A}{\text{cosec}^2 A + \sec^2 A}$

$= \frac{4 – \frac{4}{3}}{4 + \frac{4}{3}}$

$= \frac{\frac{12 – 4}{3}}{\frac{12 + 4}{3}}$

$= \frac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{3}}$

$= \frac{8}{3} \times \frac{3}{16}$

$= \frac{1}{2}$

উত্তর:$\frac{1}{2}$

২৩. $\text{cosec } A – \cot A = \frac{4}{3}$ হলে, $\text{cosec } A + \cot A$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\text{cosec } A – \cot A = \frac{4}{3}$

আমরা জানি, $\text{cosec}^2 A – \cot^2 A = 1$

বা, $(\text{cosec } A + \cot A)(\text{cosec } A – \cot A) = 1$

$(\text{cosec } A + \cot A) \times \frac{4}{3} = 1$ [মান বসিয়ে পাই]

বা, $\text{cosec } A + \cot A = \frac{1}{\frac{4}{3}}$

বা, $\text{cosec } A + \cot A = \frac{3}{4}$

উত্তর:$\frac{3}{4}$

২৪. $\cot A = \frac{b}{a}$ হলে, $\frac{a\sin A – b\cos A}{a\sin A + b\cos A}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

$\cot A = \frac{b}{a}$

বা, $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b}{a}$

$\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{b}$ [ব্যস্তকরণ করে]

$\frac{a\sin A}{b\cos A} = \frac{a \times a}{b \times b}$ [উভয় পক্ষকে $\frac{a}{b}$ দ্বারা গুণ করে]

$\frac{a\sin A}{b\cos A} = \frac{a^2}{b^2}$

$\frac{a\sin A – b\cos A}{a\sin A + b\cos A} = \frac{a^2 – b^2}{a^2 + b^2}$ [বিয়োজন-সংযোজন করে]

উত্তর:$\frac{a^2 – b^2}{a^2 + b^2}$

২৫. $\text{cosec} A – \cot A = x$ এবং $\text{cosec} A + \cot A = y$

ক) $\sin\theta = \frac{5}{13}$ হলে, $\sec\theta$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

$\sin\theta = \frac{5}{13}$

আমরা জানি,

$\cos\theta = \sqrt{1 – \sin^2\theta}$

$= \sqrt{1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2}$

$= \sqrt{1 – \frac{25}{169}}$

$= \sqrt{\frac{144}{169}}$

$= \frac{12}{13}$

সুতরাং, $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

$= \frac{1}{\frac{12}{13}}$

$= \frac{13}{12}$

উত্তর:$\frac{13}{12}$

খ) দেখাও যে, $\sec A = \frac{1 + x^2}{1 – x^2}$

সমাধান:

দেওয়া আছে,

$\text{cosec} A – \cot A = x$

বা, $\frac{1}{\sin A} – \frac{\cos A}{\sin A} = x$

বা, $\frac{1 – \cos A}{\sin A} = x$

বা, $\frac{(1 – \cos A)^2}{\sin^2 A} = x^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{(1 – \cos A)^2}{1 – \cos^2 A} = x^2 \quad \left[\because \sin^2 A = 1 – \cos^2 A\right]$

বা, $\frac{(1 – \cos A)(1 – \cos A)}{(1 – \cos A)(1 + \cos A)} = x^2$

বা, $\frac{1 – \cos A}{1 + \cos A} = x^2$

বা, $\frac{(1 – \cos A) – (1 + \cos A)}{(1 – \cos A) + (1 + \cos A)} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$ [বিয়োজন-যোজন করে]

বা, $\frac{1 – \cos A – 1 – \cos A}{1 – \cos A + 1 + \cos A} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$

বা, $\frac{-2\cos A}{2} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$

বা, $-\cos A = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$

বা, $\cos A = -\left(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}\right) = \frac{1 – x^2}{1 + x^2}$

অতএব,

$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1 + x^2}{1 – x^2}$

(দেখানো হলো)

গ) $\frac{x}{y} = 7 – 4\sqrt{3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\text{cosec} A – \cot A = x$ এবং $\text{cosec} A + \cot A = y$

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{x}{y} = 7 – 4\sqrt{3}$

বা, $\frac{\text{cosec} A – \cot A}{\text{cosec} A + \cot A} = \frac{7 – 4\sqrt{3}}{1}$

$\frac{(\text{cosec} A – \cot A) – (\text{cosec} A + \cot A)}{(\text{cosec} A – \cot A) + (\text{cosec} A + \cot A)} = \frac{(7 – 4\sqrt{3}) – 1}{(7 – 4\sqrt{3}) + 1}$ [বিয়োজন-সংযোজন করে]

বা, $\frac{-2\cot A}{2\text{cosec} A} = \frac{6 – 4\sqrt{3}}{8 – 4\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cot A}{\text{cosec} A} = \frac{2(3 – 2\sqrt{3})}{2(4 – 2\sqrt{3})}$

বা, $\frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{1}{\sin A}} = \frac{3 – 2\sqrt{3}}{4 – 2\sqrt{3}}$

বা, $\cos A = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} – 2)}{-2\sqrt{3}(\sqrt{3} – 2)}$

বা, $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

বা, $\cos A = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

অতএব, $\cos A = \cos 60^\circ \implies A = 60^\circ$

উত্তর:$A = 60^\circ$