অনুশীলনী ৫.১: একঘাত সমীকরণের সমাধান ও বাস্তব সমস্যার সমাধান
সমাধান করো (১-৮):
১. $\frac{ay}{b} – \frac{by}{a} = a^2 – b^2$
সমাধান: $\frac{ay}{b} – \frac{by}{a} = a^2 – b^2$
বা, $y \left(\frac{a}{b} – \frac{b}{a}\right) = a^2 – b^2$
বা, $y \left(\frac{a^2 – b^2}{ab}\right) = a^2 – b^2$
বা, $y = (a^2 – b^2) \times \frac{ab}{a^2 – b^2}$
বা, $y = ab$
নির্ণেয় সমাধান:$y = ab$
২. $(z + 1)(z – 2) = (z – 4)(z + 2)$
সমাধান: $(z + 1)(z – 2) = (z – 4)(z + 2)$
বা, $z(z – 2) + 1(z – 2) = z(z + 2) – 4(z + 2)$
বা, $z^2 – 2z + z – 2 = z^2 + 2z – 4z – 8$
বা, $z^2 – z – 2 = z^2 – 2z – 8$ [উভয় পক্ষ থেকে $z^2$ বাদ দিয়ে]
বা, $-z – 2 = -2z – 8$
বা, $-z + 2z = -8 + 2$
বা, $z = -6$
নির্ণেয় সমাধান:$z = -6$
৩. $\frac{4}{2x + 1} + \frac{9}{3x + 2} = \frac{25}{5x + 4}$
সমাধান: $\frac{4}{2x + 1} + \frac{9}{3x + 2} = \frac{25}{5x + 4}$
বা, $\frac{4}{2x + 1} + \frac{9}{3x + 2} = \frac{10 + 15}{5x + 4}$
বা, $\frac{4}{2x + 1} + \frac{9}{3x + 2} = \frac{10}{5x + 4} + \frac{15}{5x + 4}$
বা, $\frac{4}{2x + 1} – \frac{10}{5x + 4} = \frac{15}{5x + 4} – \frac{9}{3x + 2}$
বা, $\frac{4(5x + 4) – 10(2x + 1)}{(2x + 1)(5x + 4)} = \frac{15(3x + 2) – 9(5x + 4)}{(5x + 4)(3x + 2)}$ [উভয় পক্ষের হর থেকে $(5x + 4)$ বর্জন করে]
বা, $\frac{20x + 16 – 20x – 10}{2x + 1} = \frac{45x + 30 – 45x – 36}{3x + 2}$
বা, $\frac{6}{2x + 1} = \frac{-6}{3x + 2}$ [উভয় পক্ষকে $6$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{1}{2x + 1} = \frac{-1}{3x + 2}$
বা, $1 \cdot (3x + 2) = -1 \cdot (2x + 1)$
বা, $3x + 2 = -2x – 1$
বা, $3x + 2x = -1 – 2$
বা, $5x = -3$
বা, $x = -\frac{3}{5}$
নির্ণেয় সমাধান:$x = -\frac{3}{5}$
৪. $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$
সমাধান: $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$
বা, $\frac{(x + 4) + (x + 1)}{(x + 1)(x + 4)} = \frac{(x + 3) + (x + 2)}{(x + 2)(x + 3)}$
বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 4x + x + 4} = \frac{2x + 5}{x^2 + 3x + 2x + 6}$
বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 4} = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$
বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 4} – \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6} = 0$
বা, $(2x + 5) \left(\frac{1}{x^2 + 5x + 4} – \frac{1}{x^2 + 5x + 6}\right) = 0$
যেহেতু $\frac{1}{x^2 + 5x + 4} – \frac{1}{x^2 + 5x + 6} \neq 0$,
অতএব,
$2x + 5 = 0$
বা, $2x = -5$
বা, $x = -\frac{5}{2}$
নির্ণেয় সমাধান:$x = -\frac{5}{2}$
৫. $\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{a + b}{x – a – b}$
সমাধান: $\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{a + b}{x – a – b}$
বা, $\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{a}{x – a – b} + \frac{b}{x – a – b}$
বা, $\frac{a}{x – a} – \frac{a}{x – a – b} = \frac{b}{x – a – b} – \frac{b}{x – b}$
বা, $a \left(\frac{1}{x – a} – \frac{1}{x – a – b}\right) = b \left(\frac{1}{x – a – b} – \frac{1}{x – b}\right)$
বা, $a \left[\frac{(x – a – b) – (x – a)}{(x – a)(x – a – b)}\right] = b \left[\frac{(x – b) – (x – a – b)}{(x – a – b)(x – b)}\right]$
বা, $a \left[\frac{x – a – b – x + a}{(x – a)(x – a – b)}\right] = b \left[\frac{x – b – x + a + b}{(x – a – b)(x – b)}\right]$
বা, $a \left[\frac{-b}{(x – a)(x – a – b)}\right] = b \left[\frac{a}{(x – a – b)(x – b)}\right]$
বা, $\frac{-ab}{(x – a)(x – a – b)} = \frac{ab}{(x – a – b)(x – b)}$ [উভয় পক্ষকে $(x – a – b)$ দ্বারা গুণ করে এবং $ab$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{-1}{x – a} = \frac{1}{x – b}$
বা, $-1 \cdot (x – b) = 1 \cdot (x – a)$
বা, $-x + b = x – a$
বা, $-x – x = -a – b$
বা, $-2x = -(a + b)$
বা, $2x = a + b$
বা, $x = \frac{a + b}{2}$
নির্ণেয় সমাধান:$x = \frac{a + b}{2}$
৬. $\frac{x – a}{b} + \frac{x – b}{a} + \frac{x – 3a – 3b}{a + b} = 0$
সমাধান: $\frac{x – a}{b} + \frac{x – b}{a} + \frac{x – 3a – 3b}{a + b} = 0$
বা, $\left(\frac{x – a}{b} – 1\right) + \left(\frac{x – b}{a} – 1\right) + \left(\frac{x – 3a – 3b}{a + b} + 2\right) = 0$
বা, $\frac{x – a – b}{b} + \frac{x – b – a}{a} + \frac{x – 3a – 3b + 2(a + b)}{a + b} = 0$
বা, $\frac{x – a – b}{b} + \frac{x – a – b}{a} + \frac{x – 3a – 3b + 2a + 2b}{a + b} = 0$
বা, $\frac{x – a – b}{b} + \frac{x – a – b}{a} + \frac{x – a – b}{a + b} = 0$
বা, $(x – a – b) \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a + b}\right) = 0$
যেহেতু $\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a + b}\right) \neq 0$,
অতএব,
$x – a – b = 0$
বা, $x = a + b$
নির্ণেয় সমাধান:$x = a + b$
৭. $\frac{x – a}{a^2 – b^2} = \frac{x – b}{b^2 – a^2}$
সমাধান: $\frac{x – a}{a^2 – b^2} = \frac{x – b}{b^2 – a^2}$
বা, $\frac{x – a}{a^2 – b^2} = \frac{x – b}{-(a^2 – b^2)}$ [উভয় পক্ষকে $(a^2 – b^2)$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $\frac{x – a}{1} = \frac{x – b}{-1}$
বা, $x – a = -(x – b)$
বা, $x – a = -x + b$
বা, $x + x = a + b$
বা, $2x = a + b$
বা, $x = \frac{a + b}{2}$
নির্ণেয় সমাধান:$x = \frac{a + b}{2}$
৮. $(3 + \sqrt{3})z + 2 = 5 + 3\sqrt{3}$
সমাধান: $(3 + \sqrt{3})z + 2 = 5 + 3\sqrt{3}$
বা, $(3 + \sqrt{3})z = 5 + 3\sqrt{3} – 2$
বা, $(3 + \sqrt{3})z = 3 + 3\sqrt{3}$
বা, $(3 + \sqrt{3})z = 3(1 + \sqrt{3})$
বা, $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)z = 3(\sqrt{3} + 1)$ [উভয় পক্ষকে $(\sqrt{3} + 1)$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\sqrt{3}z = 3$
বা, $z = \frac{3}{\sqrt{3}}$
বা, $z = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
বা, $z = \sqrt{3}$
নির্ণেয় সমাধান:$z = \sqrt{3}$
সমাধান সেট নির্ণয় করো (৯ – ১৪):
৯. $2x + \sqrt{2} = 3x – 4 – 3\sqrt{2}$
সমাধান: $2x + \sqrt{2} = 3x – 4 – 3\sqrt{2}$
বা, $2x – 3x = -4 – 3\sqrt{2} – \sqrt{2}$
বা, $-x = -4 – 4\sqrt{2}$ [উভয় পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $x = 4 + 4\sqrt{2}$
বা, $x = 4(1 + \sqrt{2})$
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \{4(1 + \sqrt{2})\}$
১০. $\frac{z – 2}{z – 1} = 2 – \frac{1}{z – 1}$
সমাধান: $\frac{z – 2}{z – 1} = 2 – \frac{1}{z – 1}$
বা, $\frac{z – 2}{z – 1} + \frac{1}{z – 1} = 2$
বা, $\frac{z – 2 + 1}{z – 1} = 2$
বা, $\frac{z – 1}{z – 1} = 2$
এখানে, $z = 1$ হলে প্রদত্ত সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর হর $(z – 1) = 0$ হয়ে যায়, যা অসংজ্ঞায়িত।
আবার, বামপক্ষ কাটাকাটি করলে পাওয়া যায় $1 = 2$, যা অসম্ভব।
সুতরাং সমীকরণটির কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \emptyset$ (বা $\{\}$)
১১. $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x – 1}$
সমাধান: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x – 1}$
বা, $\frac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{2}{x – 1}$
বা, $\frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2}{x – 1}$ [আড়গুণন করে]
বা, $(2x + 1)(x – 1) = 2(x^2 + x)$
বা, $2x^2 – 2x + x – 1 = 2x^2 + 2x$
বা, $2x^2 – x – 1 = 2x^2 + 2x$ [উভয় পক্ষ থেকে $2x^2$ বাদ দিয়ে]
বা, $-x – 1 = 2x$
বা, $-x – 2x = 1$
বা, $-3x = 1$
বা, $x = -\frac{1}{3}$
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \left\{-\frac{1}{3}\right\}$
১২. $\frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m + n}{m + n – x}$
সমাধান: $\frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m + n}{m + n – x}$
বা, $\frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m}{m + n – x} + \frac{n}{m + n – x}$
বা, $\frac{m}{m – x} – \frac{m}{m + n – x} = \frac{n}{m + n – x} – \frac{n}{n – x}$
বা, $m \left(\frac{1}{m – x} – \frac{1}{m + n – x}\right) = n \left(\frac{1}{m + n – x} – \frac{1}{n – x}\right)$
বা, $m \left[\frac{(m + n – x) – (m – x)}{(m – x)(m + n – x)}\right] = n \left[\frac{(n – x) – (m + n – x)}{(m + n – x)(n – x)}\right]$
বা, $m \left[\frac{m + n – x – m + x}{(m – x)(m + n – x)}\right] = n \left[\frac{n – x – m – n + x}{(m + n – x)(n – x)}\right]$
বা, $m \cdot \frac{n}{(m – x)(m + n – x)} = n \cdot \frac{-m}{(m + n – x)(n – x)}$ [উভয় পক্ষকে $(m + n – x)$ দ্বারা গুণ করে এবং $mn$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{1}{m – x} = \frac{-1}{n – x}$
বা, $1 \cdot (n – x) = -1 \cdot (m – x)$
বা, $n – x = -m + x$
বা, $-x – x = -m – n$
বা, $-2x = -(m + n)$
বা, $2x = m + n$
বা, $x = \frac{m + n}{2}$
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \left\{\frac{m + n}{2}\right\}$
১৩. $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 4}$
সমাধান: $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 4}$
বা, $\frac{(x + 5) + (x + 2)}{(x + 2)(x + 5)} = \frac{(x + 4) + (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)}$
বা, $\frac{2x + 7}{x^2 + 5x + 2x + 10} = \frac{2x + 7}{x^2 + 4x + 3x + 12}$
বা, $\frac{2x + 7}{x^2 + 7x + 10} = \frac{2x + 7}{x^2 + 7x + 12}$
বা, $\frac{2x + 7}{x^2 + 7x + 10} – \frac{2x + 7}{x^2 + 7x + 12} = 0$
বা, $(2x + 7) \left(\frac{1}{x^2 + 7x + 10} – \frac{1}{x^2 + 7x + 12}\right) = 0$
যেহেতু $\left(\frac{1}{x^2 + 7x + 10} – \frac{1}{x^2 + 7x + 12}\right) \neq 0$,
অতএব,
$2x + 7 = 0$
বা, $2x = -7$
বা, $x = -\frac{7}{2}$
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \left\{-\frac{7}{2}\right\}$
১৪. $\frac{2t – 6}{9} + \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18}$
সমাধান: $\frac{2t – 6}{9} + \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18}$
বা, $\frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18} – \frac{2t – 6}{9}$
বা, $\frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{(4t – 15) – 2(2t – 6)}{18}$
বা, $\frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15 – 4t + 12}{18}$
বা, $\frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{-3}{18}$
বা, $\frac{15 – 2t}{12 – 5t} = -\frac{1}{6}$ [আড়গুণন করে]
বা, $6(15 – 2t) = -1(12 – 5t)$
বা, $90 – 12t = -12 + 5t$
বা, $-12t – 5t = -12 – 90$
বা, $-17t = -102$
বা, $t = \frac{-102}{-17}$
বা, $t = 6$
নির্ণেয় সমাধান সেট:$S = \{6\}$
সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো ( ১৫ -২৪):
১৫. একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার $\frac{2}{5}$ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি $= x$
অতএব, একটি সংখ্যা $= \frac{2}{5} \times x = \frac{2x}{5}$
প্রশ্নমতে, $x + \frac{2x}{5} = 98$
বা, $\frac{5x + 2x}{5} = 98$
বা, $\frac{7x}{5} = 98$
বা, $7x = 98 \times 5$
বা, $7x = 490$
বা, $x = \frac{490}{7}$
বা, $x = 70$
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি $70$
এবং একটি সংখ্যা $= \frac{2 \times 70}{5} = 2 \times 14 = 28$
উত্তর: সংখ্যা দুইটি $28$ এবং $70$।
১৬. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 2 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা $\frac{1}{6}$ এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
যেহেতু ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ, তাই হর লবের চেয়ে বড় হবে।
ধরি, ভগ্নাংশটির লব $= x$
অতএব, ভগ্নাংশটির হর $= x + 1$
সুতরাং, ভগ্নাংশটি $= \frac{x}{x + 1}$
প্রশ্নমতে, $\frac{x – 2}{(x + 1) + 2} = \frac{1}{6}$
বা, $\frac{x – 2}{x + 3} = \frac{1}{6}$ [আড়গুণন করে]
বা, $6(x – 2) = 1(x + 3)$
বা, $6x – 12 = x + 3$
বা, $6x – x = 3 + 12$
বা, $5x = 15$
বা, $x = \frac{15}{5}$
বা, $x = 3$
অতএব, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $= \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$
উত্তর: ভগ্নাংশটি $\frac{3}{4}$।
১৭. দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9; অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হবে। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অংকটি $= x$
যেহেতু অংকদ্বয়ের সমষ্টি $9$
সুতরাং দশক স্থানীয় অংকটি $= 9 – x$
অতএব, মূল সংখ্যাটি $= 10(9 – x) + x$
$= 90 – 10x + x$
$= 90 – 9x$
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে, স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি $= 10x + (9 – x) = 10x + 9 – x = 9x + 9$
প্রশ্নমতে, $(90 – 9x) – (9x + 9) = 45$
বা, $90 – 9x – 9x – 9 = 45$
বা, $81 – 18x = 45$
বা, $-18x = 45 – 81$
বা, $-18x = -36$
বা, $x = \frac{-36}{-18}$
বা, $x = 2$
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাটি $= 90 – 9.(2) = 90 – 18 = 72$
উত্তর: সংখ্যাটি $72$।
১৮. দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অংক একক স্থানীয় অংকের দ্বিগুণ। দেখাও যে, সংখ্যাটি অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ।
সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অংকটি $= x$
অতএব, দশক স্থানীয় অংকটি $= 2x$
সুতরাং, সংখ্যাটি $= 10(2x) + x = 20x + x = 21x$
এবং অংকদ্বয়ের সমষ্টি $= 2x + x = 3x$
এখন,
$\frac{সংখ্যাটি}{অংকদ্বয়ের \ সমষ্টি} = \frac{21x}{3x} = 7$
অর্থাৎ, $সংখ্যাটি = 7 \times অংকদ্বয়ের \ সমষ্টি$
অতএব, সংখ্যাটি অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ। (দেখানো হলো)
১৯. একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর 5% এবং অবশিষ্ট টাকার উপর 4% লাভ করলেন। মোট 256 টাকা লাভ করলে, তিনি কত টাকার উপর 5% লাভ করলেন?
সমাধান:
ধরি, তিনি $5\%$ লাভে বিনিয়োগ করলেন $= x$ টাকা
অতএব, $4\%$ লাভে অবশিষ্ট বিনিয়োগ করলেন $= (5600 – x)$ টাকা
$x$ টাকার $5\%$ লাভ $= x \times \frac{5}{100} = \frac{5x}{100}$ টাকা
এবং $(5600 – x)$ টাকার $4\%$ লাভ $= (5600 – x) \times \frac{4}{100} = \frac{4(5600 – x)}{100}$ টাকা
প্রশ্নমতে, $\frac{5x}{100} + \frac{4(5600 – x)}{100} = 256$
বা, $\frac{5x + 22400 – 4x}{100} = 256$
বা, $\frac{x + 22400}{100} = 256$
বা, $x + 22400 = 256 \times 100$
বা, $x + 22400 = 25600$
বা, $x = 25600 – 22400$
বা, $x = 3200$
উত্তর: তিনি $3200$ টাকার উপর $5\%$ লাভ করলেন।
২০. একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, ঐ শ্রেণির মোট বেঞ্চের সংখ্যা $= x$ টি
প্রথম শর্তানুসারে,
$2$টি বেঞ্চ খালি থাকলে ছাত্রী বসে $(x – 2)$টি বেঞ্চে।
প্রতি বেঞ্চে $6$ জন বসলে মোট ছাত্রী সংখ্যা $= 6(x – 2)$ জন
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
প্রতি বেঞ্চে $5$ জন বসলে $x$টি বেঞ্চে বসে $5x$ জন এবং $6$ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
অতএব, মোট ছাত্রী সংখ্যা $= 5x + 6$ জন
যেহেতু উভয় ক্ষেত্রে ছাত্রী সংখ্যা সমান,
প্রশ্নমতে, $6(x – 2) = 5x + 6$
বা, $6x – 12 = 5x + 6$
বা, $6x – 5x = 6 + 12$
বা, $x = 18$
উত্তর: ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা $18$ টি।
২১. একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?
সমাধান:
ধরি, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা $= x$
অতএব, ডেকের যাত্রী সংখ্যা $= (47 – x)$
দেওয়া আছে,
ডেকের ভাড়া মাথাপিছু $= 30$ টাকা
অতএব, কেবিনের ভাড়া মাথাপিছু $= 30 \times 2 = 60$ টাকা
প্রশ্নমতে, $60x + 30(47 – x) = 1680$
বা, $60x + 1410 – 30x = 1680$
বা, $30x + 1410 = 1680$
বা, $30x = 1680 – 1410$
বা, $30x = 270$
বা, $x = \frac{270}{30}$
বা, $x = 9$
উত্তর: কেবিনের যাত্রী সংখ্যা $9$ জন।
২২. মোট 120টি ২৫ পয়সার মুদ্রা ও ৫০ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ টাকা $= 100$ পয়সা
সুতরাং, $35$ টাকা $= 35 \times 100 = 3500$ পয়সা
ধরি, ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা $= x$ টি
অতএব, ৫০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা $= (120 – x)$ টি
প্রশ্নমতে, $25x + 50(120 – x) = 3500$
বা, $25x + 6000 – 50x = 3500$
বা, $-25x + 6000 = 3500$
বা, $-25x = 3500 – 6000$
বা, $-25x = -2500$
বা, $x = \frac{-2500}{-25}$
বা, $x = 100$
অতএব, ২৫ পয়সার মুদ্রা আছে $= 100$ টি
এবং ৫০ পয়সার মুদ্রা আছে $= 120 – 100 = 20$ টি
উত্তর: ২৫ পয়সার মুদ্রা $100$ টি এবং ৫০ পয়সার মুদ্রা $20$ টি।
২৩. একটি গাড়ি ঘণ্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় 60 কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?
সমাধান:
ধরি, গাড়িটি ঘণ্টায় $60$ কি.মি. বেগে যায় $= x$ কি.মি.
অতএব, গাড়িটি ঘণ্টায় $40$ কি.মি. বেগে যায় $= (240 – x)$ কি.মি.
আমরা জানি, $\text{সময়} = \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{বেগ}}$
সুতরাং, $60$ কি.মি. বেগে যেতে সময় লাগে $= \frac{x}{60}$ ঘণ্টা
এবং $40$ কি.মি. বেগে যেতে সময় লাগে $= \frac{240 – x}{40}$ ঘণ্টা
প্রশ্নমতে, $\frac{x}{60} + \frac{240 – x}{40} = 5$
বা, $\frac{2x + 3(240 – x)}{120} = 5$
বা, $\frac{2x + 720 – 3x}{120} = 5$
বা, $\frac{720 – x}{120} = 5$
বা, $720 – x = 5 \times 120$
বা, $720 – x = 600$
বা, $-x = 600 – 720$
বা, $-x = -120$
বা, $x = 120$
উত্তর: গাড়িটি ঘণ্টায় $60$ কি.মি. বেগে $120$ কি.মি. গিয়েছে।
২৪. ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব 12 কি.মি.। সজল নিউমার্কেট থেকে রিকশায় ঘণ্টায় 6 কি.মি. বেগে এবং কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় 4 কি.মি. বেগে গাবতলীর দিকে রওনা হলো। সজল গাবতলী পৌঁছে সেখানে 30 মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটের দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব $= 12$ কি.মি.
সজলের রিকশার বেগ $= 6$ কি.মি./ঘণ্টা
সুতরাং, সজলের নিউমার্কেট থেকে গাবতলী পৌঁছাতে সময় লাগে $= \frac{12}{6} = 2$ ঘণ্টা
সজল গাবতলী পৌঁছে বিশ্রাম নেয় $= 30$ মিনিট $= \frac{30}{60} = 0.5$ ঘণ্টা
সজলের মোট অতিক্রান্ত সময় (পৌঁছানো ও বিশ্রামসহ) $= 2 + 0.5 = 2.5$ ঘণ্টা
এই $2.5$ ঘণ্টায় কাজল হেঁটে যে পথ অতিক্রম করে $= \text{বেগ} \times \text{সময়} = 4 \times 2.5 = 10$ কি.মি.
অতএব, সজল যখন বিশ্রাম শেষ করে আবার নিউমার্কেটের দিকে রওনা দেয়, তখন কাজল নিউমার্কেট থেকে $10$ কি.মি. দূরে অবস্থান করছে।
তাহলে গাবতলী থেকে কাজলের দূরত্ব ছিল $= 12 – 10 = 2$ কি.মি.
এখন, সজল ও কাজল একে অপরের বিপরীত দিকে আসছে।
তাদের আপেক্ষিক বেগ $= (6 + 4) = 10$ কি.মি./ঘণ্টা
তাদের মধ্যবর্তী $2$ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে $= \frac{2}{10} = 0.2$ ঘণ্টা
এই $0.2$ ঘণ্টায় কাজল হেঁটে পথ অতিক্রম করে $= 4 \times 0.2 = 0.8$ কি.মি.
সুতরাং, নিউমার্কেট থেকে তাদের মিলনের দূরত্ব $= 10 + 0.8 = 10.8$ কি.মি.
উত্তর: তারা নিউমার্কেট থেকে $10.8$ কি.মি. দূরে মিলিত হবে।