রাজশাহী বোর্ড SSC গণিত প্রশ্ন সমাধান ২০২৬

সংক্ষিপ্ত উত্তর প্রশ্নের সমাধান

১. (ক) $\frac{1}{a} = 2 + \sqrt{5}$ হলে, $a$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\frac{1}{a} = 2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} + 2$

বা, $a = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$

বা, $a = \frac{1 \times (\sqrt{5} – 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2)}$ [লব ও হরকে $(\sqrt{5} – 2)$ দ্বারা গুণ করে পাই]

বা, $a = \frac{\sqrt{5} – 2}{(\sqrt{5})^2 – (2)^2}$ [যেহেতু $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$]

বা, $a = \frac{\sqrt{5} – 2}{5 – 4}$

বা, $a = \frac{\sqrt{5} – 2}{1}$

বা, $a = \sqrt{5} – 2$

উত্তর:$a = \sqrt{5} – 2$

১. (খ) প্রশ্ন: $m^2 + n^2 = 4mn$ হলে, $\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$m^2 + n^2 = 4mn$

বা, $\frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{4mn}{mn}$ [উভয় পক্ষকে $mn$ দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা, $\frac{m^2}{mn} + \frac{n^2}{mn} = 4$

বা, $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = 4$

এখন, প্রদত্ত রাশি = $\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2}$

= $\left(\frac{m}{n}\right)^2 + \left(\frac{n}{m}\right)^2$

= $\left(\frac{m}{n} + \frac{n}{m}\right)^2 – 2 \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m}$ [যেহেতু $x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy$]

= $(4)^2 – 2(1)$

= $16 – 2$

= $14$

উত্তর:$14$

১. (গ) প্রশ্ন: $\tan(90^\circ – A) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\tan(90^\circ – A) = \sqrt{3}$

বা, $\cot A = \sqrt{3}$ [যেহেতু $\tan(90^\circ – A) = \cot A$]

বা, $\cot A = \cot 30^\circ$ [যেহেতু $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$]

বা, $A = 30^\circ$

উত্তর:$A = 30^\circ$

১. (ঘ) প্রশ্ন: $\cos^4 A + \cos^2 A = 1$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cot^4 A – \cot^2 A = 1$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\cos^4 A + \cos^2 A = 1$

বা, $\cos^4 A = 1 – \cos^2 A$

বা, $\cos^4 A = \sin^2 A$ [যেহেতু $1 – \cos^2 A = \sin^2 A$]

এখন, বামপক্ষ = $\cot^4 A – \cot^2 A$

= $\frac{\cos^4 A}{\sin^4 A} – \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$ [যেহেতু $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$]

= $\frac{\sin^2 A}{\sin^4 A} – \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$ [যেহেতু $\cos^4 A = \sin^2 A$]

= $\frac{1}{\sin^2 A} – \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$

= $\frac{1 – \cos^2 A}{\sin^2 A}$

= $\frac{\sin^2 A}{\sin^2 A}$

= $1$ = ডানপক্ষ

$\therefore \cot^4 A – \cot^2 A = 1$(প্রমাণিত)

১. (ঙ) প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক $10$ টাকা হার সরল মুনাফায় $500$ টাকার $5$ বছরের মুনাফা নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, মূলধন, $P = 500$ টাকা

মুনাফার হার, $r = 10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

সময়, $n = 5$ বছর

আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = Prn$

= $500 \times \frac{1}{10} \times 5$ টাকা

= $50 \times 5$ টাকা

= $250$ টাকা

উত্তর:$250$ টাকা

১. (চ) প্রশ্ন: $f(x) = 3x^2 – 5x + 2$ হলে, প্রমাণ কর যে, $f\left(-\frac{1}{3}\right) = 4$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$f(x) = 3x^2 – 5x + 2$

$\therefore f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 – 5\left(-\frac{1}{3}\right) + 2$

= $3\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{5}{3} + 2$

= $\frac{1}{3} + \frac{5}{3} + 2$

= $\frac{1 + 5 + 6}{3}$

= $\frac{12}{3}$

= $4$

$\therefore f\left(-\frac{1}{3}\right) = 4$(প্রমাণিত)

১. (ছ) প্রশ্ন: $A = \{2, 3, 5, 7\}$ এবং $B = \{4, 5, 6, 7\}$ হলে, $P(A \cap B)$ নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$A = \{2, 3, 5, 7\}$

$B = \{4, 5, 6, 7\}$

এখন, $A \cap B = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{4, 5, 6, 7\}$

$= \{5, 7\}$

$\therefore P(A \cap B) = \{\{5, 7\}, \{5\}, \{7\}, \emptyset\}$

উত্তর:$P(A \cap B) = \{\{5, 7\}, \{5\}, \{7\}, \emptyset\}$

১. (জ)প্রশ্ন: $26$ সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে $5$ সে.মি. দূরে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: চিত্র আঁকতে হবে।

ধরি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং জ্যা $AB$।

বৃত্তের কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $OD$।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = $26$ সে.মি. $\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $OA = r = \frac{26}{2} = 13$ সে.মি. কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, $OD = 5$ সে.মি.

যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $\angle ODA = 90^\circ$ এবং $\triangle OAD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$OA^2 = OD^2 + AD^2$

বা, $13^2 = 5^2 + AD^2$

বা, $169 = 25 + AD^2$

বা, $AD^2 = 169 – 25$

বা, $AD^2 = 144$

বা, $AD = \sqrt{144} = 12$ সে.মি.

$\therefore$ জ্যা $AB$ এর দৈর্ঘ্য = $2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ সে.মি.

উত্তর:$24$ সে.মি.

১. (ঝ) প্রশ্ন: $4.5$ সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান:

চিত্র আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

1. একটি রেখাংশ $a = 4.5\text{ cm}$ নিই।
2. যেকোনো একটি রশ্মি $BE$ নিই। $BE$ হতে $a$ এর সমান করে $BC = 4.5\text{ cm}$ অংশ কেটে নিই।
3. $B$ ও $C$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $a$ ($4.5\text{ cm}$) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $BC$ এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
4. $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি।

তাহলে, $\triangle ABC$-ই নির্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

১. (ঞ) প্রশ্ন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQRS$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের $\angle QOS = 100^\circ$ হলে, $\angle QRS$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: চিত্র আঁকতে হবে।

বৃত্তের একই চাপ $QPS$ এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QOS$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle QRS$।

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

অর্থাৎ, $\angle QOS = 2\angle QRS$

বা, $100^\circ = 2\angle QRS$ [যেহেতু $\angle QOS = 100^\circ$]

বা, $\angle QRS = \frac{100^\circ}{2}$

বা, $\angle QRS = 50^\circ$

উত্তর:$50^\circ$

(ট) প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ $10\text{ সে.মি.}$ এবং দৈর্ঘ্য $8\text{ সে.মি.}$ হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $a = 8\text{ সে.মি.}$ এবং প্রস্থ = $b\text{ সে.মি.}$

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = $\sqrt{a^2 + b^2}$

প্রশ্নমতে, $\sqrt{8^2 + b^2} = 10$

বা, $8^2 + b^2 = 10^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $64 + b^2 = 100$

বা, $b^2 = 100 – 64 = 36$

বা, $b = \sqrt{36} = 6\text{ সে.মি.}$

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = $2(a + b) = 2(8 + 6) = 2 \times 14 = 28\text{ সে.মি.}$

উত্তর:$28\text{ সে.মি.}$

(ঠ) প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $18\text{ সে.মি.}$ ও $26\text{ সে.মি.}$ এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45^\circ$ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় $a = 18\text{ সে.মি.}$, $b = 26\text{ সে.মি.}$ এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta = 45^\circ$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} ab \sin\theta$

= $\frac{1}{2} \times 18 \times 26 \times \sin 45^\circ$

= $9 \times 26 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ [যেহেতু $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$]

= $\frac{234}{\sqrt{2}}$

= $\frac{234 \times \sqrt{2}}{2}$

= $117\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.}$

($\approx 165.46\text{ বর্গ সে.মি.}$)

উত্তর:$117\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.}$ (বা, $165.46\text{ বর্গ সে.মি.}$ প্রায়)

(ড) প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত $5 : 6$ এবং তাদের ল.সা.গু. $150$ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, অনুপাতের সাধারণ গুণনীয়ক $x$ ($x > 0$)।

$\therefore$ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $5x$ এবং $6x$।

$5x$ এবং $6x$ এর ল.সা.গু. = $30x$

প্রশ্নমতে, $30x = 150$

বা, $x = \frac{150}{30} = 5$

$\therefore$ ১ম সংখ্যাটি = $5 \times 5 = 25$

২য় সংখ্যাটি = $6 \times 5 = 30$

উত্তর: সংখ্যা দুইটি $25$ এবং $30$।

(ঢ) প্রশ্ন: $19, 21, 26, 13, 11, 27, x, 29$ সংখ্যাগুলোর গড় $16.5$ হলে, মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, মোট সংখ্যা $n = 8$ টি।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = $19 + 21 + 26 + 13 + 11 + 27 + x + 29 = 146 + x$

আমরা জানি, গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$

$\therefore 16.5 = \frac{146 + x}{8}$

বা, $146 + x = 16.5 \times 8$

বা, $146 + x = 132$

বা, $x = 132 – 146 = -14$

এখন, $x = -14$ সহ সংখ্যাগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:

$-14, 11, 13, 19, 21, 26, 27, 29$

যেহেতু পদ সংখ্যা $n = 8$ (যা জোড় সংখ্যা)।

$\therefore$ মধ্যক = $\frac{\text{৪র্থ পদ} + \text{৫ম পদ}}{2}$

= $\frac{19 + 21}{2} = \frac{40}{2} = 20$

উত্তর: মধ্যক $20$।

(ণ) প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হলে এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গ একক।

প্রশ্নমতে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = $2a$ একক।

$\therefore$ বর্গের ক্ষেত্রফল = $(2a)^2 = 4a^2$ বর্গ একক।

$\therefore$ বর্গের ক্ষেত্রফল : সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= $4a^2 : \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

= $4 : \frac{\sqrt{3}}{4}$ [$a^2$ দ্বারা ভাগ করে]

= $16 : \sqrt{3}$ [$4$ দ্বারা গুণ করে]

উত্তর:$16 : \sqrt{3}$

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

২.

$U = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 7\}$

$A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 – 3x + 2 = 0\}$

এবং $f(y) = \frac{7y – 1}{y^2}$

(ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $b^2 – 1 + 2c – c^2$

সমাধান: $b^2 – 1 + 2c – c^2$

= $b^2 – (1 – 2c + c^2)$

= $b^2 – (1 – c)^2$

= $\{b + (1 – c)\}\{b – (1 – c)\}$ [যেহেতু $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

= $(b + 1 – c)(b – 1 + c)$

উত্তর:$(b + 1 – c)(b – 1 + c)$

(খ) $P(A’)$ নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$U = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 7\}$

এখানে, $7$ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7$।

$\therefore U = \{2, 3, 5, 7\}$

আবার, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 – 3x + 2 = 0\}$

সমীকরণটির সমাধান:

$x^2 – 3x + 2 = 0$

বা, $x^2 – 2x – x + 2 = 0$

বা, $x(x – 2) – 1(x – 2) = 0$

বা, $(x – 2)(x – 1) = 0$

$\therefore x = 1$ অথবা $x = 2$

$\therefore A = \{1, 2\}$

এখন, $A’ = U \setminus A = \{2, 3, 5, 7\} \setminus \{1, 2\} = \{3, 5, 7\}$

$\therefore P(A’) = \{\{3, 5, 7\}, \{3, 5\}, \{3, 7\}, \{5, 7\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \emptyset\}$

উত্তর:$P(A’) = \{\{3, 5, 7\}, \{3, 5\}, \{3, 7\}, \{5, 7\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \emptyset\}$

(গ) $f(a) = 1$ হলে, প্রমাণ কর যে, $a^4 = 2207 – \frac{1}{a^4}$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$f(y) = \frac{7y – 1}{y^2}$

$\therefore f(a) = \frac{7a – 1}{a^2}$

প্রশ্নমতে, $f(a) = 1$

বা, $\frac{7a – 1}{a^2} = 1$

বা, $a^2 = 7a – 1$

বা, $\frac{a^2}{a} = \frac{7a}{a} – \frac{1}{a}$ [উভয় পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $a = 7 – \frac{1}{a}$

বা, $a + \frac{1}{a} = 7$

বা, $\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 7^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 49$

বা, $a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 49$

বা, $a^2 + \frac{1}{a^2} = 49 – 2 = 47$

বা, $\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 = 47^2$ [পুনরায় উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $(a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} + \left(\frac{1}{a^2}\right)^2 = 2209$

বা, $a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 2209$

বা, $a^4 + \frac{1}{a^4} = 2209 – 2$

বা, $a^4 + \frac{1}{a^4} = 2207$

বা, $a^4 = 2207 – \frac{1}{a^4}$(প্রমাণিত)

৩.

(i) $m^2 – \frac{2m}{x} + 1 = 0$

(ii) $\frac{y + 11a}{y – 11a} + \frac{y + 11b}{y – 11b} = 2$

(ক) $6x : 8y = 11 : 16$ হলে, $\frac{x + y}{x – y}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$6x : 8y = 11 : 16$

বা, $\frac{6x}{8y} = \frac{11}{16}$

বা, $\frac{3x}{4y} = \frac{11}{16}$

বা, $\frac{x}{y} = \frac{11}{16} \times \frac{4}{3}$

বা, $\frac{x}{y} = \frac{11}{12}$

বা, $\frac{x + y}{x – y} = \frac{11 + 12}{11 – 12}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{x + y}{x – y} = \frac{23}{-1} = -23$

উত্তর:$-23$

(খ) (i) হতে দেখাও যে, $m = \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}$।

সমাধান: (i) হতে পাই,

$m^2 – \frac{2m}{x} + 1 = 0$

বা, $m^2 + 1 = \frac{2m}{x}$

বা, $\frac{m^2 + 1}{2m} = \frac{1}{x}$

বা, $\frac{(m^2 + 1) + 2m}{(m^2 + 1) – 2m} = \frac{1 + x}{1 – x}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 – 2m + 1} = \frac{1 + x}{1 – x}$

বা, $\frac{(m + 1)^2}{(m – 1)^2} = \frac{1 + x}{1 – x}$

বা, $\frac{m + 1}{m – 1} = \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 – x}}$ [উভয় পাশে বর্গমূল করে]

বা, $\frac{(m + 1) + (m – 1)}{(m + 1) – (m – 1)} = \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}$ [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2m}{2} = \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}$

বা, $m = \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}$(দেখানো হলো)

(গ) (ii) হতে প্রমাণ কর যে, $y = \frac{22ab}{a + b}$, যেখানে $a – b \ne 0$।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\frac{y + 11a}{y – 11a} + \frac{y + 11b}{y – 11b} = 2$

বা, $\frac{y + 11a}{y – 11a} – 1 = 1 – \frac{y + 11b}{y – 11b}$ [উভয় পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ বা বিন্যাস করে]

বা, $\frac{(y + 11a) – (y – 11a)}{y – 11a} = \frac{(y – 11b) – (y + 11b)}{y – 11b}$

বা, $\frac{y + 11a – y + 11a}{y – 11a} = \frac{y – 11b – y – 11b}{y – 11b}$

বা, $\frac{22a}{y – 11a} = \frac{-22b}{y – 11b}$

বা, $\frac{a}{y – 11a} = \frac{-b}{y – 11b}$ [উভয় পক্ষকে $22$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $a(y – 11b) = -b(y – 11a)$

বা, $ay – 11ab = -by + 11ab$

বা, $ay + by = 11ab + 11ab$

বা, $y(a + b) = 22ab$

বা, $y = \frac{22ab}{a + b}$(প্রমাণিত)

৬. $x = \cosec\theta$, $y = \sec\theta$ এবং $z = \tan\theta$; যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

(ক) $\tan(90^\circ – A) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$\tan(90^\circ – A) = \sqrt{3}$

বা, $\cot A = \sqrt{3}$ [যেহেতু $\tan(90^\circ – A) = \cot A$]

বা, $\cot A = \cot 30^\circ$ [যেহেতু $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$]

বা, $A = 30^\circ$

উত্তর:$A = 30^\circ$

(খ) $x + \frac{1}{z} = a$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos\theta = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1}$।

সমাধান: উদ্দীপক হতে পাই,

$x = \cosec\theta$ এবং $z = \tan\theta$

আবার, $x + \frac{1}{z} = a$

বা, $\cosec\theta + \frac{1}{\tan\theta} = a$

বা, $\cosec\theta + \cot\theta = a$ [যেহেতু $\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta$]

বা, $\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = a$

বা, $\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = a$

বা, $\left(\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 = a^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{(1 + \cos\theta)^2}{\sin^2\theta} = a^2$

বা, $\frac{(1 + \cos\theta)^2}{1 – \cos^2\theta} = a^2$ [যেহেতু $\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta$]

বা, $\frac{(1 + \cos\theta)(1 + \cos\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 – \cos\theta)} = a^2$ [যেহেতু $1 – \cos^2\theta = (1 + \cos\theta)(1 – \cos\theta)$]

বা, $\frac{1 + \cos\theta}{1 – \cos\theta} = a^2$

বা, $\frac{(1 + \cos\theta) – (1 – \cos\theta)}{(1 + \cos\theta) + (1 – \cos\theta)} = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1}$ [বিয়োজন-যোজন করে]

বা, $\frac{1 + \cos\theta – 1 + \cos\theta}{1 + \cos\theta + 1 – \cos\theta} = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1}$

বা, $\frac{2\cos\theta}{2} = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1}$

বা, $\cos\theta = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1}$(প্রমাণিত)

(গ) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: উদ্দীপক হতে পাই,

$x = \cosec\theta$ এবং $y = \sec\theta$

দেওয়া আছে, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{\cosec\theta} + \frac{1}{\sec\theta} = \sqrt{2}$

বা, $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ [যেহেতু $\frac{1}{\cosec\theta} = \sin\theta$ এবং $\frac{1}{\sec\theta} = \cos\theta$]

বা, $\sin\theta = \sqrt{2} – \cos\theta$

বা, $\sin^2\theta = (\sqrt{2} – \cos\theta)^2$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $1 – \cos^2\theta = (\sqrt{2})^2 – 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\theta + \cos^2\theta$

বা, $1 – \cos^2\theta = 2 – 2\sqrt{2}\cos\theta + \cos^2\theta$

বা, $0 = \cos^2\theta + \cos^2\theta – 2\sqrt{2}\cos\theta + 2 – 1$

বা, $2\cos^2\theta – 2\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$

বা, $(\sqrt{2}\cos\theta)^2 – 2 \cdot (\sqrt{2}\cos\theta) \cdot 1 + (1)^2 = 0$

বা, $(\sqrt{2}\cos\theta – 1)^2 = 0$

বা, $\sqrt{2}\cos\theta – 1 = 0$ [উভয় পাশে বর্গমূল করে]

বা, $\sqrt{2}\cos\theta = 1$

বা, $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos\theta = \cos 45^\circ$ [যেহেতু $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$]

বা, $\theta = 45^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$), তাই $\theta = 45^\circ$ গ্রহণযোগ্য।

উত্তর:$\theta = 45^\circ$।

৭.

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $4\text{ সে.মি.}$।

(ii) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত যথাক্রমে $5 : 3 : 2$।

(ক) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $12\text{ সে.মি.}$ এবং বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 12\text{ সে.মি.}$

কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta = 60^\circ$

আমরা জানি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $s = \frac{\pi r \theta}{180^\circ}$

$\therefore s = \frac{3.1416 \times 12 \times 60^\circ}{180^\circ}$

$= \frac{3.1416 \times 12}{3}$

$= 3.1416 \times 4$

$= 12.5664\text{ সে.মি.}$ (প্রায়)

উত্তর:$12.57\text{ সে.মি.}$ (প্রায়)

(খ) সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল $20\sqrt{3}\text{ বর্গ সে.মি.}$ বেড়ে যায় তা নির্ণয় কর।

সমাধান: উদ্দীপক (i) অনুযায়ী,

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 4\text{ সে.মি.}$

$\therefore$ ত্রিভুজটির প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4)^2 = 4\sqrt{3}\text{ বর্গ সে.মি.}$

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য $x\text{ সে.মি.}$ বৃদ্ধি করা হলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হয় $(4 + x)\text{ সে.মি.}$।

$\therefore$ নতুন ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} (4 + x)^2\text{ বর্গ সে.মি.}$

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4} (4 + x)^2 – 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$

বা, $\frac{1}{4} (4 + x)^2 – 4 = 20$ [উভয় পক্ষকে $\sqrt{3}$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{1}{4} (4 + x)^2 = 24$

বা, $(4 + x)^2 = 24 \times 4 = 96$

বা, $(4 + x)^2 = 96$

বা, $4 + x = \sqrt{96}$

বা, $4 + x = 4\sqrt{6}$

বা, $x = 4\sqrt{6} – 4$

বা, $x = 5.798\text{ সে.মি.}$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য বা $.798\text{ সে.মি.}$ (প্রায়) বৃদ্ধি করতে হবে।

(গ) আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{19}\text{ সে.মি.}$ হলে, ইহার সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: উদ্দীপক (ii) অনুযায়ী, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত $5 : 3 : 2$।

ধরি, দৈর্ঘ্য $a = 5k\text{ সে.মি.}$

প্রস্থ $b = 3k\text{ সে.মি.}$

উচ্চতা $c = 2k\text{ সে.মি.}$ (যেখানে $k > 0$)

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

প্রশ্নমতে,

$\sqrt{(5k)^2 + (3k)^2 + (2k)^2} = 2\sqrt{19}$

বা, $\sqrt{25k^2 + 9k^2 + 4k^2} = 2\sqrt{19}$

বা, $\sqrt{38k^2} = 2\sqrt{19}$

বা, $k\sqrt{38} = 2\sqrt{19}$

বা, $k = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{19}}$

বা, $k = \frac{2}{\sqrt{2}}$

বা, $k = \sqrt{2}$

$\therefore$ দৈর্ঘ্য $a = 5\sqrt{2}\text{ সে.মি.}$

প্রস্থ $b = 3\sqrt{2}\text{ সে.মি.}$

উচ্চতা $c = 2\sqrt{2}\text{ সে.মি.}$

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = $2(ab + bc + ca)$

$= 2 \left( (5\sqrt{2})(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})(5\sqrt{2}) \right)$

$= 2 (15 \times 2 + 6 \times 2 + 10 \times 2)$

$= 2 (30 + 12 + 20)$

$= 2 \times 62 = 124\text{ বর্গ সে.মি.}$

উত্তর:$124\text{ বর্গ সে.মি.}$

৮. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারণিটি লক্ষ কর:

(ক) একটি শ্রেণির নিম্নসীমা $31$ এবং মধ্যবিন্দু $34.5$ হলে ওই শ্রেণির উচ্চসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, উচ্চসীমা = $x$

আমরা জানি,

$\text{শ্রেণির মধ্যবিন্দু} = \frac{\text{নিম্নসীমা} + \text{উচ্চসীমা}}{2}$

$\therefore 34.5 = \frac{31 + x}{2}$

বা, $31 + x = 34.5 \times 2$

বা, $31 + x = 69$

বা, $x = 69 – 31$

বা, $x = 38$

উত্তর: উচ্চসীমা $38$।

(খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান: মধ্যক নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করা হলো:

এখানে, মোট গণসংখ্যা $N = 50$।

$\therefore \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$।

ক্রমযোজিত গণ নিবেশন সারণিতে $25$ তম পদটির অবস্থান $61 – 70$ শ্রেণিতে।

অতএব, মধ্যক শ্রেণি হলো $61 – 70$।

আমরা জানি,

$\text{মধ্যক} = L + \left( \frac{N}{2} – F_c \right) \times \frac{h}{f_m}$

এখানে, মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা, $L = 61$

$\frac{N}{2} = 25$

পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা, $F_c = 16$

মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা, $f_m = 12$

শ্রেণি ব্যবধান, $h = 10$

$\therefore \text{মধ্যক} = 61 + (25 – 16) \times \frac{10}{12}$

$= 61 + 9 \times \frac{10}{12}$

$= 61 + \frac{90}{12}$

$= 61 + 7.5 = 68.5$

উত্তর: মধ্যক $68.5$।

(গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান: গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের সারণি:

অঙ্কনের বিবরণ:

গ্রাফ পেপারে চিত্র অংকন করতে হবে।

ছক কাগজের $X$-অক্ষে শ্রেণির মধ্যবিন্দু এবং $Y$-অক্ষে গণসংখ্যা স্থাপন করি।

ছক কাগজের $X$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের ১ ঘরকে ১ একক (অথবা সুবিধাজনক স্কেল) এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের ১ ঘরকে ১ একক ধরে মধ্যবিন্দুগুলোর বিপরীতে গণসংখ্যার বিন্দুসমূহ চিহ্নিত করি।

চিহ্নিত বিন্দুসমূহ সরলরেখাংশ দ্বারা পর পর যুক্ত করে গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন করি। $X$-অক্ষের সাথে বহুভুজটি আবদ্ধ করার জন্য প্রথম শ্রেণির পূর্ববর্তী মধ্যবিন্দু $35.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরবর্তী মধ্যবিন্দু $105.5$ কে $X$-অক্ষের সাথে যুক্ত করা হয়। মূলবিন্দু হতে $35.5$ পর্যন্ত নির্দেশ করতে ভাঙা চিহ্ন (ছিন্ন চিহ্ন) ব্যবহার করা হয়।

৯. দশম শ্রেণির 40 জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নে দেওয়া হলো:

(ক) $21, 19, 35, 26, 39, 20, 23, 17$ উপাত্তসমূহের মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রদত্ত উপাত্তসমূহ: $21, 19, 35, 26, 39, 20, 23, 17$

মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:

$17, 19, 20, 21, 23, 26, 35, 39$

এখানে, মোট পদসংখ্যা $n = 8$ (যা একটি জোড় সংখ্যা)।

$\therefore \text{মধ্যক} = \frac{\frac{n}{2}\text{তম পদ} + \left(\frac{n}{2} + 1\right)\text{তম পদ}}{2}$

$= \frac{4\text{র্থ পদ} + 5\text{ম পদ}}{2}$

$= \frac{21 + 23}{2} = \frac{44}{2} = 22$

উত্তর: মধ্যক $22$।

(খ) সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:

এখানে,

অনুমিত গড়, $A = 67.5$

শ্রেণি ব্যবধান, $h = 10$

মোট গণসংখ্যা, $N = 40$

$\sum f_i u_i = -16$

আমরা জানি,

$\text{গড় } \bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i u_i}{N} \right) \times h$

$= 67.5 + \left( \frac{-16}{40} \right) \times 10$

$= 67.5 + (-0.4 \times 10)$

$= 67.5 – 4 = 63.5$

উত্তর: নির্ণেয় গড় $63.5$।

৯. বিবরণসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান: অজিভ রেখা অঙ্কনের সারণি:

অঙ্কনের বিবরণ: গ্রাফ পেপারে চিত্র অংকন করতে হবে।

১. ছক কাগজের $X$-অক্ষ বরাবর অবিচ্ছিন্ন শ্রেণির উচ্চসীমা ($42.5, 52.5, 62.5, 72.5, 82.5, 92.5$) এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নির্ধারণ করি।

২. $X$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের ২ ঘরকে ১০ একক (বা ১ ঘরকে ২ একক) এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের ১ ঘরকে ১ একক ধরে বিন্দুগুলো চিহ্নিত করি।

৩. চিহ্নিত বিন্দুসমূহ নির্দেশিত ক্রম অনুযায়ী মুক্তহস্তে (Free-hand) বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করি।

৪. শুরুর বিন্দুটি $X$-অক্ষে প্রথম অবিচ্ছিন্ন নিম্নসীমা $32.5$ হতে শুরু হবে। মূলবিন্দু হতে $32.5$ পর্যন্ত ঘরগুলো আগের মানগুলো নির্দেশ করতে ভাঙা চিহ্ন (ছিন্ন চিহ্ন) দিয়ে দেখানো হলো।

উক্ত অঙ্কিত রেখাটিই প্রদত্ত উপাত্তের নির্ণেয় অজিভ রেখা।