SSC গণিত MCQ কুইজ ১৩শ অধ্যায় সসীম ধারা

Explanation:

ধরি, সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ $1, 2, 3, 4$।

তাহলে $a = 1, b = 2, c = 3, d = 4$।

এখানে, $b, c, d$ পদের ক্ষেত্রে, $c = \frac{b + d}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

সুতরাং, $c = \frac{b + d}{2}$ সম্পর্কটি সঠিক।

Explanation:

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 13 - 7 = 6$

ধারাটির $15$-তম পদ $= a + (15 - 1)d$

$= 7 + 14 \times 6$

$= 7 + 84$

$= 97$

Explanation:

প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, $a = 13$

সাধারণ অন্তর, $d = 20 - 13 = 7$

শেষ পদ / $n$-তম পদ $= 111$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a + (n - 1)d$

বা, $13 + (n - 1) \times 7 = 111$

বা, $(n - 1) \times 7 = 111 - 13$

বা, $(n - 1) \times 7 = 98$

বা, $n - 1 = \frac{98}{7}$

বা, $n - 1 = 14$

বা, $n = 14 + 1$

বা, $n = 15$

অতএব, ধারাটির পদ সংখ্যা $15$।

Explanation: 

এখানে, প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{-4}{4} = -1$

আমরা জানি, $n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, $(n + 1)$ অবশ্যই একটি সংখ্যা হবে এবং $2(n + 1)$ সর্বদাই একটি জোড় সংখ্যা নির্দেশ করে।

গুণোত্তর ধারার $r = -1$ এবং পদসংখ্যা জোড় হলে সমষ্টি:

$S = \frac{a[1 - (-1)^{\text{জোড়}}]}{1 - (-1)} = \frac{4(1 - 1)}{1 + 1} = \frac{4 \times 0}{2} = 0$

অতএব, ধারাটির প্রথম $2(n + 1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $0$।

Explanation:

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$

এখানে, $n = 100$

অতএব, $S_{100} = \frac{100(100 + 1)}{2}$

$= \frac{100 \times 101}{2}$

$= 50 \times 101$

$= 5050$

অতএব, প্রথম $100$টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $5050$।

Explanation:

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

এখানে, $n = 50$

অতএব, সমষ্টি $= \frac{50 \times (50 + 1) \times (2 \times 50 + 1)}{6}$

$= \frac{50 \times 51 \times 101}{6}$

$= \frac{257550}{6}$

$= 42925$

Explanation: 
এখানে, প্রথম পদ, $a = 1$
সাধারণ অন্তর, $d = 3 - 1 = 2$
ধরি, $n$-তম পদ / শেষ পদ $= 101$
আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n - 1)d$
বা, $1 + (n - 1) \times 2 = 101$
বা, $1 + 2n - 2 = 101$
বা, $2n - 1 = 101$
বা, $2n = 101 + 1$
বা, $2n = 102$
বা, $n = \frac{102}{2}$
বা, $n = 51$
অতএব, ধারাটির পদ সংখ্যা $51$।

Explanation:

প্রদত্ত ধারার পদগুলো -

১ম পদ $= ar^1 = ar^{2(1) - 1}$

২য় পদ $= ar^3 = ar^{2(2) - 1}$

৩য় পদ $= ar^5 = ar^{2(3) - 1}$

... ... ...

অতএব, $n$-তম পদ $= ar^{2n - 1}$।

Explanation:

ধারাটিকে রূপান্তর করে পাই,

$\log 3 + \log 3^2 + \log 3^3 + \dots$

$= \log 3 + 2\log 3 + 3\log 3 + \dots$

$= \log 3 (1 + 2 + 3 + \dots + 10)$ [$10$টি পদের জন্য]

আমরা জানি, ১ম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)}{2}$

এখানে $n = 10$, তাই $1$ হতে $10$ পর্যন্ত যোগফল $= \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$

অতএব, ধারাটির $10$টি পদের সমষ্টি $= 55\log 3$।

Explanation:

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$

এখানে, $n = 20$, $a = 7$, $d = 6$

অতএব,

$S_{20} = \frac{20}{2} [2 \times 7 + (20 - 1) \times 6]$

$= 10 \times [14 + 19 \times 6]$

$= 10 \times [14 + 114]$

$= 10 \times 128$

$= 1280$

Explanation:

প্রদত্ত ধারাটিকে লেখা যায়-

$\log 2 + \log 2^2 + \log 2^3 + \dots$

$= \log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \dots$

অতএব, সাধারণ অন্তর, $d = 2\log 2 - \log 2 = \log 2$

Explanation:

এটি একটি গুণোত্তর অনুক্রম।

এখানে,প্রথম পদ, $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$

দ্বিতীয় পদ $= -1$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}}$

$= \frac{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$= -1 \times \sqrt{3}$

$= -\sqrt{3}$

আমরা জানি, গুণোত্তর অনুক্রমের যেকোনো পদকে তার সাধারণ অনুপাত দিয়ে গুণ করলে পরবর্তী পদটি পাওয়া যায়।

অতএব, $\sqrt{3}$ এর পরবর্তী পদ (৪র্থ পদ) $= \text{তৃতীয় পদ} \times r$

$= \sqrt{3} \times (-\sqrt{3})$

$= -3$

Explanation:

প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা। এখানে, প্রথম পদ, $a = 128$ সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$

ধরি, $n$-তম পদ $= \frac{1}{2}$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n - 1}$

বা, $128 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1} = \frac{1}{2}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1} = \frac{1}{2 \times 128}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1} = \frac{1}{256}$

বা, $\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1} = \left(\frac{1}{2}\right)^8$

বা, $n - 1 = 8$

বা, $n = 8 + 1$

বা, $n = 9$

Explanation:

দেওয়া আছে, $n$ পদের যোগফল $S_n = n(n + 2)$

প্রথম পদ, $a = S_1$ (কারণ ১ম ১টি পদের সমষ্টিই হলো প্রথম পদ)।

অতএব, $n = 1$ বসালে পাই:

$S_1 = 1(1 + 2) = 1 \times 3 = 3$

সুতরাং, ধারার প্রথম পদ $3$।

Explanation: আমরা জানি, সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর, $d =$ যেকোনো পদ $-$ তার পূর্ববর্তী পদ।

এখানে, $d = 10 - 14 = -4$

অথবা, $d = 6 - 10 = -4$ অতএব, সাধারণ অন্তর হলো $-4$।

Explanation:

এখানে, প্রথম পদ, $a = -8$

সাধারণ অন্তর, $d = -3 - (-8) = -3 + 8 = 5$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a + (n - 1)d$

অতএব, $15$-তম পদ $= -8 + (15 - 1) \times 5$

$= -8 + 14 \times 5$

$= -8 + 70$

$= 62$

Explanation: 

এখানে, প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 4 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 301$

আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n - 1)d$

বা, $4 + (n - 1) \times 3 = 301$

বা, $4 + 3n - 3 = 301$

বা, $3n + 1 = 301$

বা, $3n = 301 - 1$

বা, $3n = 300$

বা, $n = \frac{300}{3}$

বা, $n = 100$

অতএব, ধারাটির $100$ তম পদ $301$।

Explanation: 
i. ধারাটির শেষ পদ নির্দিষ্ট ($62$), তাই এটি একটি সসীম ধারা। (সঠিক)
ii. ধারাটির পরপর দুটি পদের পার্থক্য সমান ($8 - 5 = 11 - 8 = 3$), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা নয়। (ভুল)

iii.ধারাটির ১ম পদ, $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর, $d = 3$

$19$-তম পদ $= a + (19 - 1)d = 5 + 18 \times 3 = 5 + 54 = 59$। (সঠিক)

সুতরাং, i ও iii সঠিক।

Explanation:

এখানে, প্রথম পদ, $a = 1$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{4}{1} = 4$

ধরি, $n$-তম পদ $= 1024$

আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a r^{n - 1}$

বা, $1 \times (4)^{n - 1} = 1024$

বা, $4^{n - 1} = 4^5$

বা, $n - 1 = 5$

বা, $n = 5 + 1$

বা, $n = 6$

অতএব, ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ $1024$।

Explanation:

এখানে ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

প্রথম পদ, $a = 2$

শেষ পদ, $p = 50$

পদসংখ্যা, $n = \text{শেষ পদ} - \text{প্রথম পদ} + 1 = 50 - 2 + 1 = 49$

আমরা জানি, স্বাভাবিক ধারার সমষ্টির সূত্র:

$\text{সমষ্টি } (S) = \frac{(\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}) \times \text{পদসংখ্যা}}{2}$

$S = \frac{(2 + 50) \times 49}{2}$

$S = \frac{52 \times 49}{2}$

$S = 26 \times 49 = 1274$