অনুশীলনী ২.১: অনুপাত ও শতকরা
১. নিচের সংখ্যাদ্বয়ের প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশিকে অনুপাতে প্রকাশ কর :
(ক) ২৫ ও ৩৫
সমাধান:
প্রথম রাশি $= 25$
দ্বিতীয় রাশি $= 35$
$\therefore$ অনুপাত $= 25 : 35$
$= \frac{25}{35}$
$= \frac{5}{7}$ [উভয় রাশিকে $5$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 5 : 7$
উত্তর:$5 : 7$
(খ) $7\frac{1}{3}$ ও $9\frac{2}{5}$
সমাধান:
প্রথম রাশি $= 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$
দ্বিতীয় রাশি $= 9\frac{2}{5} = \frac{47}{5}$
$\therefore$ অনুপাত $= \frac{22}{3} : \frac{47}{5}$
$= \frac{22}{3} \div \frac{47}{5}$
$= \frac{22}{3} \times \frac{5}{47}$
$= \frac{110}{141}$
$= 110 : 141$
উত্তর:$110 : 141$
(গ) ১ বছর ২ মাস ও ৭ মাস
সমাধান:
প্রথম রাশি $= 1 \text{ বছর } 2 \text{ মাস} = (1 \times 12 + 2) \text{ মাস} = (12 + 2) \text{ মাস} = 14 \text{ মাস}$
দ্বিতীয় রাশি $= 7 \text{ মাস}$
$\therefore$ অনুপাত $= 14 : 7$
$= \frac{14}{7}$
$= \frac{2}{1}$ [উভয় রাশিকে $7$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 2 : 1$
উত্তর:$2 : 1$
(ঘ) ৭ কেজি ও ২ কেজি ৩০০ গ্রাম
সমাধান:
প্রথম রাশি $= 7 \text{ কেজি} = (7 \times 1000) \text{ গ্রাম} = 7000 \text{ গ্রাম}$
দ্বিতীয় রাশি $= 2 \text{ কেজি } 300 \text{ গ্রাম} = (2 \times 1000 + 300) \text{ গ্রাম} = (2000 + 300) \text{ গ্রাম} = 2300 \text{ গ্রাম}$
$\therefore$ অনুপাত $= 7000 : 2300$
$= \frac{7000}{2300}$
$= \frac{70}{23}$ [উভয় রাশিকে $100$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 70 : 23$
উত্তর:$70 : 23$
(ঙ) ২ টাকা ও ৪০ পয়সা
সমাধান:
প্রথম রাশি $= 2 \text{ টাকা} = (2 \times 100) \text{ পয়সা} = 200 \text{ পয়সা}$
দ্বিতীয় রাশি $= 40 \text{ পয়সা}$
$\therefore$ অনুপাত $= 200 : 40$
$= \frac{200}{40}$
$= \frac{5}{1}$ [উভয় রাশিকে $40$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 5 : 1$
উত্তর:$5 : 1$
২. নিচের অনুপাতগুলোকে সরলীকরণ কর :
(ক) $9 : 12$
সমাধান: $9 : 12$
$= \frac{9}{12}$
$= \frac{3}{4}$ [উভয় রাশিকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 3 : 4$
উত্তর:$3 : 4$
(খ) $15 : 21$
সমাধান: $15 : 21$
$= \frac{15}{21}$
$= \frac{5}{7}$ [উভয় রাশিকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 5 : 7$
উত্তর:$5 : 7$
(গ) $45 : 36$
সমাধান: $45 : 36$
$= \frac{45}{36}$
$= \frac{5}{4}$ [উভয় রাশিকে $9$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 5 : 4$
উত্তর:$5 : 4$
(ঘ) $65 : 26$
সমাধান: $65 : 26$
$= \frac{65}{26}$
$= \frac{5}{2}$ [উভয় রাশিকে $13$ দ্বারা ভাগ করে]
$= 5 : 2$
উত্তর:$5 : 2$
৩. নিচের সমতুল অনুপাতগুলোর খালিঘর পূরণ কর :
(ক) $2 : 3 = 8 : \square$
সমাধান: $2 : 3 = 8 : \square$
বা, $\frac{2}{3} = \frac{8}{\square}$
বা, $2 \times \square = 3 \times 8$
বা, $2 \times \square = 24$
বা, $\square = \frac{24}{2}$
বা, $\square = 12$
উত্তর:$2 : 3 = 8 : 12$
(খ) $5 : 6 = \square : 36$
সমাধান: $5 : 6 = \square : 36$
বা, $\frac{5}{6} = \frac{\square}{36}$
বা, $6 \times \square = 5 \times 36$
বা, $6 \times \square = 180$
বা, $\square = \frac{180}{6}$
বা, $\square = 30$
উত্তর:$5 : 6 = 30 : 36$
(গ) $7 : \square = 42 : 54$
সমাধান: $7 : \square = 42 : 54$
বা, $\frac{7}{\square} = \frac{42}{54}$
বা, $42 \times \square = 7 \times 54$
বা, $42 \times \square = 378$
বা, $\square = \frac{378}{42}$
বা, $\square = 9$
উত্তর:$7 : 9 = 42 : 54$
(ঘ) $\square : 9 = 63 : 81$
সমাধান: $\square : 9 = 63 : 81$
বা, $\frac{\square}{9} = \frac{63}{81}$
বা, $81 \times \square = 9 \times 63$
বা, $81 \times \square = 567$
বা, $\square = \frac{567}{81}$
বা, $\square = 7$
উত্তর:$7 : 9 = 63 : 81$
৪. একটি হলঘরের প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত $2 : 5$। প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের সম্ভাব্য মান বসিয়ে সারণিটি পূরণ কর:
সমাধান:
এখানে, $\frac{\text{প্রস্থ}}{\text{দৈর্ঘ্য}} = \frac{2}{5}$
- ২য় কলামে (দৈর্ঘ্য $50$ হলে):$\frac{\text{প্রস্থ}}{50} = \frac{2}{5}$বা, $\text{প্রস্থ} = \frac{2 \times 50}{5} = 20$
- ৩য় কলামে (প্রস্থ $40$ হলে):$\frac{40}{\text{দৈর্ঘ্য}} = \frac{2}{5}$বা, $\text{দৈর্ঘ্য} = \frac{40 \times 5}{2} = 100$
- ৪র্থ কলামে (দৈর্ঘ্য $200$ হলে):$\frac{\text{প্রস্থ}}{200} = \frac{2}{5}$বা, $\text{প্রস্থ} = \frac{2 \times 200}{5} = 80$
- ৫ম কলামে (প্রস্থ $160$ হলে):$\frac{160}{\text{দৈর্ঘ্য}} = \frac{2}{5}$বা, $\text{দৈর্ঘ্য} = \frac{160 \times 5}{2} = 400$
পূরণকৃত সারণি:
| হল ঘরের প্রস্থ (মি:) | ১০ | ২০ | ৪০ | ৮০ | ১৬০ |
| হল ঘরের দৈর্ঘ্য (মি:) | ২৫ | ৫০ | ১০০ | ২০০ | ৪০০ |
৫. নিচের সমতুল অনুপাতগুলোকে চিহ্নিত কর :
$12 : 18,\ 6 : 18,\ 15 : 10,\ 3 : 2,\ 6 : 9,\ 2 : 3,\ 1 : 3,\ 2 : 6,\ 12 : 8$
সমাধান: প্রত্যেকটি অনুপাতকে লঘিষ্ঠ রূপে প্রকাশ করে পাই:
- $12 : 18 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = 2 : 3$
- $6 : 18 = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} = 1 : 3$
- $15 : 10 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 3 : 2$
- $3 : 2$ (ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ)
- $6 : 9 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = 2 : 3$
- $2 : 3$ (ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ)
- $1 : 3$ (ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ)
- $2 : 6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 1 : 3$
- $12 : 8 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 3 : 2$
সমতুল অনুপাতের দলসমূহ:
১ম দল (যাদের লঘিষ্ঠ মান $2 : 3$):
$12 : 18,\ 6 : 9,\ 2 : 3$
২য় দল (যাদের লঘিষ্ঠ মান $1 : 3$):
$6 : 18,\ 1 : 3,\ 2 : 6$
৩য় দল (যাদের লঘিষ্ঠ মান $3 : 2$):
$15 : 10,\ 3 : 2,\ 12 : 8$
৬. নিচের সরল অনুপাতগুলোকে মিশ্র অনুপাতে প্রকাশ কর :
(ক) $3:5, 5:7$ ও $7:9$
সমাধান: প্রদত্ত অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল $= 3 \times 5 \times 7 = 105$
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল $= 5 \times 7 \times 9 = 315$
$\therefore$ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত $= 105 : 315 = \frac{105}{315} = \frac{1}{3} = 1 : 3$
উত্তর:$1 : 3$
(খ) $5:3, 7:5$ ও $9:7$
সমাধান: প্রদত্ত অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল $= 5 \times 7 \times 9 = 315$
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল $= 3 \times 5 \times 7 = 105$
$\therefore$ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত $= 315 : 105 = \frac{315}{105} = \frac{3}{1} = 3 : 1$
উত্তর:$3 : 1$
৭. $9:16$ অনুপাতটিকে ব্যস্ত অনুপাতে প্রকাশ কর।
সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত $= 9 : 16$
$\therefore$ নির্ণেয় ব্যস্ত অনুপাত $= 16 : 9$
উত্তর:$16 : 9$
৮. নিম্নের অনুপাতগুলোর কোনটি একক অনুপাত?
(ক) $16:13$
(খ) $13:17$
(গ) $21:21$
সমাধান: যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, তাকে একক অনুপাত বলে।
এখানে, (গ) $21:21 = \frac{21}{21} = 1:1$, যেখানে পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি উভয়ই সমান।
উত্তর: (গ) $21:21$
৯. $550$ টাকাকে $5:6$ ও $4:7$ অনুপাতে ভাগ কর।
সমাধান:
প্রথম অংশ ($5:6$ অনুপাতে ভাগ):
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $= 5 + 6 = 11$
- ১ম অংশ $= 550$ টাকার $\frac{5}{11}$ অংশ $= 50 \times 5 = 250$ টাকা
- ২য় অংশ $= 550$ টাকার $\frac{6}{11}$ অংশ $= 50 \times 6 = 300$ টাকা
দ্বিতীয় অংশ ($4:7$ অনুপাতে ভাগ):
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $= 4 + 7 = 11$
- ১ম অংশ $= 550$ টাকার $\frac{4}{11}$ অংশ $= 50 \times 4 = 200$ টাকা
- ২য় অংশ $= 550$ টাকার $\frac{7}{11}$ অংশ $= 50 \times 7 = 350$ টাকা
উত্তর:
$5:6$ অনুপাতে ভাগ করলে অংশগুলো যথাক্রমে $250$ টাকা ও $300$ টাকা।
$4:7$ অনুপাতে ভাগ করলে অংশগুলো যথাক্রমে $200$ টাকা ও $350$ টাকা।
১০. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত $14:3$। পিতার বয়স $56$ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?
সমাধান: দেওয়া আছে,
$\frac{\text{পিতার বয়স}}{\text{পুত্রের বয়স}} = \frac{14}{3}$
বা, $\frac{56}{\text{পুত্রের বয়স}} = \frac{14}{3}$ [পিতার বয়স $56$ বছর বসিয়ে]
বা, $\text{পুত্রের বয়স} \times 14 = 56 \times 3$ [আড়গুণন করে]
বা, $\text{পুত্রের বয়স} = \frac{56 \times 3}{14}$
বা, $\text{পুত্রের বয়স} = 4 \times 3 = 12$
$\therefore$ পুত্রের বয়স $12$ বছর।
উত্তর:$12$ বছর
১১. দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত $5:7$। দ্বিতীয়টির মূল্য $84$ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত?
সমাধান: দেওয়া আছে,
$\frac{\text{প্রথম বইয়ের মূল্য}}{\text{দ্বিতীয় বইয়ের মূল্য}} = \frac{5}{7}$
বা, $\frac{\text{প্রথম বইয়ের মূল্য}}{84} = \frac{5}{7}$ [দ্বিতীয়টির মূল্য $84$ টাকা বসিয়ে]
বা, $\text{প্রথম বইয়ের মূল্য} \times 7 = 84 \times 5$ [আড়গুণন করে]
বা, $\text{প্রথম বইয়ের মূল্য} = \frac{84 \times 5}{7}$
বা, $\text{প্রথম বইয়ের মূল্য} = 12 \times 5 = 60$
$\therefore$ প্রথম বইটির মূল্য $60$ টাকা।
উত্তর:$60$ টাকা
১২. ১৮ ক্যারেটের ২০ গ্রাম ওজনের সোনার গহনায় সোনা ও খাদের অনুপাত $3:1$ হলে, ঐ গহনায় সোনা ও খাদের পরিমাণ নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে,
গহনার মোট ওজন $= 20$ গ্রাম
সোনা ও খাদের অনুপাত $= 3 : 1$
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $= 3 + 1 = 4$
$\therefore$ সোনার পরিমাণ $= 20$ গ্রামের $\frac{3}{4}$ অংশ $= 5 \times 3 = 15$ গ্রাম
$\therefore$ খাদের পরিমাণ $= 20$ গ্রামের $\frac{1}{4}$ অংশ $= 5 \times 1 = 5$ গ্রাম
উত্তর: সোনার পরিমাণ $15$ গ্রাম এবং খাদের পরিমাণ $5$ গ্রাম।
১৩. দুই বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলে আসা যাওয়ার দূরত্বের অনুপাত $2 : 3$। ১ম বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব $5$ কি.মি. হলে, দ্বিতীয় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব কত?
সমাধান: দেওয়া আছে,
$\frac{\text{১ম বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব}}{\text{২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব}} = \frac{2}{3}$
বা, $\frac{5}{\text{২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব}} = \frac{2}{3}$ [১ম বন্ধুর দূরত্ব $5$ কি.মি. বসিয়ে]
বা, $\text{২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব} \times 2 = 5 \times 3$ [আড়গুণন করে]
বা, $\text{২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব} = \frac{15}{2}$
বা, $\text{২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব} = 7.5$ (বা $7\frac{1}{2}$)
উত্তর:$7.5$ কি.মি. (বা $7\frac{1}{2}$ কি.মি.)
১৪. দুইটি কম্পিউটারের দামের অনুপাত $5 : 6$। প্রথমটির দাম ২৫০০০ টাকা হলে, দ্বিতীয়টির দাম কত? মূল্য বৃদ্ধির ফলে যদি প্রথমটির দাম ৫০০০ টাকা বেড়ে যায়, তখন তাদের দামের অনুপাতটি কী ধরনের অনুপাত?
সমাধান:
প্রথম অংশ:
দেওয়া আছে,
$\frac{\text{১ম কম্পিউটারের দাম}}{\text{২য় কম্পিউটারের দাম}} = \frac{5}{6}$
বা, $\frac{25000}{\text{২য় কম্পিউটারের দাম}} = \frac{5}{6}$ [১মটির দাম $25000$ টাকা বসিয়ে]
বা, $\text{২য় কম্পিউটারের দাম} \times 5 = 25000 \times 6$ [আড়গুণন করে]
বা, $\text{২য় কম্পিউটারের দাম} = \frac{25000 \times 6}{5}$
বা, $\text{২য় কম্পিউটারের দাম} = 5000 \times 6 = 30000$ টাকা
দ্বিতীয় অংশ:
প্রথম কম্পিউটারের দাম $5000$ টাকা বৃদ্ধি পেলে,
নতুন ১ম কম্পিউটারের দাম $= 25000 + 5000 = 30000$ টাকা।
এখন, প্রথম ও দ্বিতীয় কম্পিউটারের দামের নতুন অনুপাত:
$= 30000 : 30000 = 1 : 1$
যেহেতু এই অনুপাতের পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশি উভয়ই সমান ($1$), তাই এটি একটি একক অনুপাত।
উত্তর:
- দ্বিতীয় কম্পিউটারের দাম $30,000$ টাকা।
- দাম বৃদ্ধির পর অনুপাতটি একটি একক অনুপাত।