অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৬.১

অনুশীলনী ৬.১: দুই চলক বিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ

(ক) প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো (১-১২) :

১। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$x + y = 4 \quad \dots \text{(i)}$

$x – y = 2 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$x = 4 – y \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$(4 – y) – y = 2$

বা, $4 – 2y = 2$

বা, $-2y = 2 – 4$

বা, $-2y = -2$

বা, $y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = 4 – 1 = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (3, 1)$

২। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$2x + y = 5 \quad \dots \text{(i)}$

$x – y = 1 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

$x = y + 1 \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$2(y + 1) + y = 5$

বা, $2y + 2 + y = 5$

বা, $3y = 5 – 2$

বা, $3y = 3$

বা, $y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = 1 + 1 = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 1)$

৩। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$3x + 2y = 10 \quad \dots \text{(i)}$

$x – y = 0 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

$x = y \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$3y + 2y = 10$

বা, $5y = 10$

বা, $y = 2$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 2)$

৪। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{a} – \frac{y}{b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{b} \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

$\frac{x}{a} = \frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{y}{b} \quad \dots \text{(iii)}$

$\frac{x}{a}$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\left(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{y}{b}\right) + \frac{y}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

বা, $-\frac{1}{b} + \frac{2y}{b} = \frac{1}{b}$

বা, $\frac{2y}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{b}$

বা, $\frac{2y}{b} = \frac{2}{b}$

বা, $y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{a} = \frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{1}{b}$

বা, $\frac{x}{a} = \frac{1}{a}$

বা, $x = 1$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (1, 1)$

৫। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$3x – 2y = 0 \quad \dots \text{(i)}$

$17x – 7y = 13 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$3x = 2y$

বা, $x = \frac{2y}{3} \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

বা, $17\left(\frac{2y}{3}\right) – 7y = 13$

বা, $\frac{34y}{3} – 7y = 13$

বা, $\frac{34y – 21y}{3} = 13$

বা, $\frac{13y}{3} = 13$

বা, $13y = 39$

বা, $y = 3$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = \frac{2 \times 3}{3} = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

৬। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$x – y = 2a \quad \dots \text{(i)}$

$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$x = 2a + y \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$a(2a + y) + by = a^2 + b^2$

বা, $2a^2 + ay + by = a^2 + b^2$

বা, $y(a + b) = a^2 + b^2 – 2a^2$

বা, $y(a + b) = b^2 – a^2$

বা, $y(a + b) = (b – a)(b + a)$

বা, $y = b – a$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = 2a + (b – a) = a + b$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (a + b, b – a)$

৭।সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$ax + by = ab \quad \dots \text{(i)}$

$bx + ay = ab \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$ax = ab – by$

বা, $x = \frac{ab – by}{a} \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$b\left(\frac{ab – by}{a}\right) + ay = ab$

বা, $\frac{ab^2 – b^2 y}{a} + ay = ab$

বা, $\frac{ab^2 – b^2 y + a^2 y}{a} = ab$

বা, $ab^2 + y(a^2 – b^2) = a^2 b$

বা, $y(a^2 – b^2) = a^2 b – ab^2$

বা, $y(a – b)(a + b) = ab(a – b)$

বা, $y = \frac{ab}{a + b}$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = \frac{ab – b\left(\frac{ab}{a + b}\right)}{a}$

বা, $x = \frac{\frac{ab(a + b) – ab^2}{a + b}}{a}$

বা, $x = \frac{\frac{a^2 b + ab^2 – ab^2}{a + b}}{a}$

বা, $x = \frac{\frac{a^2 b}{a + b}}{a} = \frac{ab}{a + b}$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = \left(\frac{ab}{a + b}, \frac{ab}{a + b}\right)$

৮। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$ax – by = ab \quad \dots \text{(i)}$

$bx – ay = ab \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$ax = ab + by$

বা, $x = \frac{ab + by}{a} \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$b\left(\frac{ab + by}{a}\right) – ay = ab$

বা, $\frac{ab^2 + b^2 y}{a} – ay = ab$

বা, $\frac{ab^2 + b^2 y – a^2 y}{a} = ab$

বা, $ab^2 – y(a^2 – b^2) = a^2 b$

বা, $-y(a^2 – b^2) = a^2 b – ab^2$

বা, $-y(a^2 – b^2) = ab(a – b)$

বা, $y(a – b)(a + b) = -ab(a – b)$

বা, $y = -\frac{ab}{a + b}$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = \frac{ab + b\left(-\frac{ab}{a + b}\right)}{a}$

বা, $x = \frac{\frac{ab(a + b) – ab^2}{a + b}}{a}$

বা, $x = \frac{\frac{a^2 b + ab^2 – ab^2}{a + b}}{a}$

বা, $x = \frac{ab}{a + b}$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = \left(\frac{ab}{a + b}, -\frac{ab}{a + b}\right)$

৯। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$ax – by = a – b \quad \dots \text{(i)}$

$ax + by = a + b \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$ax = a – b + by$

বা, $x = \frac{a – b + by}{a} \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$a\left(\frac{a – b + by}{a}\right) + by = a + b$

বা, $a – b + by + by = a + b$

বা, $a – b + 2by = a + b$

বা, $2by = a + b – a + b$

বা, $2by = 2b$

বা, $y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = \frac{a – b + b(1)}{a} = \frac{a}{a} = 1$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (1, 1)$

১০। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad \dots \text{(ii)}$

ধরি, $\frac{1}{x} = u$ এবং $\frac{1}{y} = v$

তাহলে সমীকরণদ্বয় হবে:

$u + v = \frac{5}{6} \quad \dots \text{(iii)}$

$u – v = \frac{1}{6} \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iv) হতে পাই,

$u = \frac{1}{6} + v \quad \dots \text{(v)}$

$u$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$\left(\frac{1}{6} + v\right) + v = \frac{5}{6}$

বা, $2v = \frac{5}{6} – \frac{1}{6}$

বা, $2v = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

বা, $v = \frac{1}{3}$

$v$ এর মান সমীকরণ (v) এ বসিয়ে পাই,

$u = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

এখন,

$\frac{1}{x} = u = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2$

$\frac{1}{y} = v = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

১১। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{b} – \frac{y}{a} = \frac{2}{b} – \frac{1}{a} \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$\frac{x}{a} = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} – \frac{y}{b}$

বা, $ x = a\left(\frac{2}{a} + \frac{1}{b} – \frac{y}{b}\right) = 2 + \frac{a}{b} – \frac{ay}{b} \quad \dots \text{(iii)}$

$x$ এর এই মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{b}\left(2 + \frac{a}{b} – \frac{ay}{b}\right) – \frac{y}{a} = \frac{2}{b} – \frac{1}{a}$

বা, $ \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2} – \frac{ay}{b^2} – \frac{y}{a} = \frac{2}{b} – \frac{1}{a}$

বা, $ \frac{a}{b^2} + \frac{1}{a} = \frac{ay}{b^2} + \frac{y}{a}$

বা, $ \frac{a^2 + b^2}{ab^2} = y\left(\frac{a^2 + b^2}{ab^2}\right)$

বা, $ y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x = 2 + \frac{a}{b} – \frac{a(1)}{b} = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 1)$

১২। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{a}{2} + \frac{b}{3} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{a}{x} – \frac{b}{y} = \frac{a}{2} – \frac{b}{3} \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

$\frac{a}{x} = \frac{a}{2} – \frac{b}{3} + \frac{b}{y} \quad \dots \text{(iii)}$

$\frac{a}{x}$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\left(\frac{a}{2} – \frac{b}{3} + \frac{b}{y}\right) + \frac{b}{y} = \frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

বা, $ -\frac{b}{3} + \frac{2b}{y} = \frac{b}{3}$

বা, $ \frac{2b}{y} = \frac{b}{3} + \frac{b}{3}$

বা, $ \frac{2b}{y} = \frac{2b}{3}$

বা, $ y = 3$

$y$ এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{a}{x} = \frac{a}{2} – \frac{b}{3} + \frac{b}{3}$

বা, $\frac{a}{x} = \frac{a}{2}$

বা, $x = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

(খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো (১৩-২৬) :

১৩। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$x – y = 4 \quad \dots \text{(i)}$

$x + y = 6 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(x – y) + (x + y) = 4 + 6$

বা, $2x = 10$

বা, $x = 5$

$x$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$5 + y = 6$

বা, $y = 6 – 5$

বা, $y = 1$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (5, 1)$

১৪। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$2x + 3y = 7 \quad \dots \text{(i)}$

$6x – 7y = 5 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

$6x + 9y = 21 \quad \dots \text{(iii)}$

সমীকরণ (iii) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(6x + 9y) – (6x – 7y) = 21 – 5$

বা, $16y = 16$

বা, $y = 1$

$y$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$2x + 3(1) = 7$

বা, $2x + 3 = 7$

বা, $2x = 4$

বা, $x = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 1)$

১৫। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$4x + 3y = 15 \quad \dots \text{(i)}$

$5x + 4y = 19 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 4 দ্বারা এবং (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

$16x + 12y = 60 \quad \dots \text{(iii)}$

$15x + 12y = 57 \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iii) হতে (iv) বিয়োগ করে পাই,

$(16x + 12y) – (15x + 12y) = 60 – 57$

বা, $x = 3$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$4(3) + 3y = 15$

বা, $12 + 3y = 15$

বা, $3y = 3$

বা, $y = 1$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (3, 1)$

১৬। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$3x – 2y = 5 \quad \dots \text{(i)}$

$2x + 3y = 12 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং (ii) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

$9x – 6y = 15 \quad \dots \text{(iii)}$

$4x + 6y = 24 \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iii) ও (iv) যোগ করে পাই,

$13x = 39

বা, $x = 3$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$3(3) – 2y = 5$

বা, $9 – 2y = 5$

বা, $-2y = 5 – 9$

বা, $-2y = -4$

বা, $y = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (3, 2)$

১৭। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$4x – 3y = -1 \quad \dots \text{(i)}$

$3x – 2y = 0 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 2 দ্বারা এবং (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

$8x – 6y = -2 \quad \dots \text{(iii)}$

$9x – 6y = 0 \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iv) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই,

$(9x – 6y) – (8x – 6y) = 0 – (-2)$

বা, $x = 2$

$x$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$3(2) – 2y = 0$

বা, $6 – 2y = 0$

বা, $2y = 6$

বা, $y = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

১৮। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$3x – 5y = -9 \quad \dots \text{(i)}$

$5x – 3y = 1 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং (ii) কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,

$9x – 15y = -27 \quad \dots \text{(iii)}$

$25x – 15y = 5 \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iv) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই,

$(25x – 15y) – (9x – 15y) = 5 – (-27)$

বা, $16x = 32$

বা, $x = 2$

$x$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$5(2) – 3y = 1$

বা, $10 – 3y = 1$

বা, $-3y = -9$

বা, $y = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

১৯। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 3 \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{2} – \frac{y}{2} = 1 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\right) + \left(\frac{x}{2} – \frac{y}{2}\right) = 3 + 1$

বা, $\frac{2x}{2} = 4$

বা, $x = 4$

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\right) – \left(\frac{x}{2} – \frac{y}{2}\right) = 3 – 1$

বা, $\frac{2y}{2} = 2$

বা, $y = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (4, 2)$

২০। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$x + ay = b \quad \dots \text{(i)}$

$ax – by = c \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে $a$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$ax + a^2 y = ab \quad \dots \text{(iii)}$

সমীকরণ (iii) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(ax + a^2 y) – (ax – by) = ab – c$

বা, $a^2 y + by = ab – c$

বা, $y(a^2 + b) = ab – c$

বা, $y = \frac{ab – c}{a^2 + b}$

সমীকরণ (i) কে $b$ দ্বারা এবং (ii) কে $a$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$bx + aby = b^2 \quad \dots \text{(iv)}$

$a^2 x – aby = ac \quad \dots \text{(v)}$

সমীকরণ (iv) ও (v) যোগ করে পাই,

$bx + a^2 x = b^2 + ac$

বা, $x(a^2 + b) = ac + b^2$

বা, $x = \frac{ac + b^2}{a^2 + b}$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = \left(\frac{ac + b^2}{a^2 + b}, \frac{ab – c}{a^2 + b}\right)$

২১। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \quad \dots \text{(i)}$

$x – \frac{y}{3} = 3 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) + \left(x – \frac{y}{3}\right) = 3 + 3$

বা, $\frac{x}{2} + x = 6$

বা, $\frac{3x}{2} = 6$

বা, $3x = 12$

বা, $x = 4$

$x$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$4 – \frac{y}{3} = 3$

বা, $ -\frac{y}{3} = 3 – 4$

বা, $ -\frac{y}{3} = -1$

বা, $y = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (4, 3)$

২২। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{3} + \frac{2}{y} = 1 \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{4} – \frac{3}{y} = 3 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং (ii) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

$x + \frac{6}{y} = 3 \quad \dots \text{(iii)}$

$\frac{x}{2} – \frac{6}{y} = 6 \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iii) ও (iv) যোগ করে পাই,

$x + \frac{x}{2} = 3 + 6$

বা, $\frac{3x}{2} = 9$

বা, $3x = 18$

বা, $x = 6$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{6}{3} + \frac{2}{y} = 1$

বা, $2 + \frac{2}{y} = 1$

বা, $\frac{2}{y} = 1 – 2$

বা, $\frac{2}{y} = -1$

বা, $y = -2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (6, -2)$

২৩। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{b} – \frac{y}{a} = \frac{2}{b} – \frac{1}{a} \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে $\frac{1}{a}$ দ্বারা এবং (ii) কে $\frac{1}{b}$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\frac{x}{a^2} + \frac{y}{ab} = \frac{2}{a^2} + \frac{1}{ab} \quad \dots \text{(iii)}$

$\frac{x}{b^2} – \frac{y}{ab} = \frac{2}{b^2} – \frac{1}{ab} \quad \dots \text{(iv)}$

সমীকরণ (iii) ও (iv) যোগ করে পাই,

$\frac{x}{a^2} + \frac{x}{b^2} = \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2}$

বা, $x\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) = 2\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right)$

বা, $x = 2$

সমীকরণ (i) কে $\frac{1}{b}$ দ্বারা এবং (ii) কে $\frac{1}{a}$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\frac{x}{ab} + \frac{y}{b^2} = \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \quad \dots \text{(v)}$

$\frac{x}{ab} – \frac{y}{a^2} = \frac{2}{ab} – \frac{1}{a^2} \quad \dots \text{(vi)}$

সমীকরণ (v) হতে (vi) বিয়োগ করে পাই,

$\frac{y}{b^2} + \frac{y}{a^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$

বা, $y\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) = 1\cdot\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right)$

বা, $y = 1$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 1)$

২৪। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{a}{2} + \frac{b}{3} \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{a}{x} – \frac{b}{y} = \frac{a}{2} – \frac{b}{3} \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\left(\frac{a}{x} + \frac{b}{y}\right) + \left(\frac{a}{x} – \frac{b}{y}\right) = \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) + \left(\frac{a}{2} – \frac{b}{3}\right)$

বা, $\frac{2a}{x} = \frac{2a}{2}$

বা, $\frac{2a}{x} = a$

বা, $ax = 2a$

বা, $x = 2$

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$\left(\frac{a}{x} + \frac{b}{y}\right) – \left(\frac{a}{x} – \frac{b}{y}\right) = \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) – \left(\frac{a}{2} – \frac{b}{3}\right)$

বা, $\frac{2b}{y} = \frac{2b}{3}$

বা, $y = 3$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (2, 3)$

২৫। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$\frac{x}{6} + \frac{2}{y} = 2 \quad \dots \text{(i)}$

$\frac{x}{4} – \frac{1}{y} = 1 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (ii) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

$\frac{x}{2} – \frac{2}{y} = 2 \quad \dots \text{(iii)}$

সমীকরণ (i) ও (iii) যোগ করে পাই,

$\frac{x}{6} + \frac{x}{2} = 2 + 2$

বা, $\frac{x + 3x}{6} = 4$

বা, $\frac{4x}{6} = 4$

বা, $4x = 24$

বা, $x = 6$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{6}{6} + \frac{2}{y} = 2$

বা, $1 + \frac{2}{y} = 2$

বা, $\frac{2}{y} = 2 – 1$

বা, $\frac{2}{y} = 1$

বা, $y = 2$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (6, 2)$

২৬। সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ

$x + y = a – b \quad \dots \text{(i)}$

$ax – by = a^2 + b^2 \quad \dots \text{(ii)}$

সমীকরণ (i) কে $b$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$bx + by = ab – b^2 \quad \dots \text{(iii)}$

সমীকরণ (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,

$(ax – by) + (bx + by) = (a^2 + b^2) + (ab – b^2)$

বা, $ax + bx = a^2 + ab$

বা, $x(a + b) = a(a + b)$

বা, $x = a$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$a + y = a – b$

বা, $y = a – b – a$

বা, $y = -b$

নির্ণেয় সমাধান:$(x, y) = (a, -b)$