অনুশীলনী ১৬.১: ত্রিভুজের পরিসীমা, ক্ষেত্রফল
১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $25$ মিটার। এর অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহু অপরটির $\frac{3}{4}$ অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ মিটার।
তাহলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{3x}{4}$ মিটার।
এবং অতিভুজ $= 25$ মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
$\text{(ভূমি)}^2 + \text{(লম্ব)}^2 = \text{(অতিভুজ)}^2$
বা, $x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = 25^2$
বা, $x^2 + \frac{9x^2}{16} = 625$
বা, $\frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 625$
বা, $\frac{25x^2}{16} = 625$
বা, $25x^2 = 625 \times 16$
বা, $x^2 = \frac{625 \times 16}{25}$
বা, $x^2 = 25 \times 16$
বা, $x^2 = 400$
বা, $x = \sqrt{400}$
বা, $x = 20$
সুতরাং, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $20$ মিটার।
এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{3 \times 20}{4} = 15$ মিটার।
উত্তর:$15$ মিটার এবং $20$ মিটার।
২. $20$ মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে ওপরের প্রান্ত $4$ মিটার নিচে নামবে।
সমাধান: দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) $= 20$ মিটার।
দেওয়ালের প্রাথমিক উচ্চতা $= 20$ মিটার।
মইটির ওপরের প্রান্ত $4$ মিটার নিচে নামলে নতুন উচ্চতা (লম্ব) $= (20 – 4)$ মিটার $= 16$ মিটার।
ধরি, মইটির গোড়া দেয়াল থেকে $x$ মিটার দূরে সরাতে হবে (ভূমি $= x$ মিটার)।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
$\text{(ভূমি)}^2 + \text{(লম্ব)}^2 = \text{(অতিভুজ)}^2$
বা, $x^2 + 16^2 = 20^2$
বা, $x^2 + 256 = 400$
বা, $x^2 = 400 – 256$
বা, $x^2 = 144$
বা, $x = \sqrt{144}$
বা, $x = 12$
উত্তর: দেয়াল থেকে $12$ মিটার দূরে সরাতে হবে।
৩. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $16$ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির $\frac{5}{6}$ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য $b = x$ মিটার।
অতএব, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য $a = \frac{5x}{6}$ মিটার।
প্রশ্নমতে, পরিসীমা $= 16$ মিটার
বা, $a + a + b = 16$
বা, $\frac{5x}{6} + \frac{5x}{6} + x = 16$
বা, $\frac{5x + 5x + 6x}{6} = 16$
বা, $\frac{16x}{6} = 16$
বা, $16x = 16 \times 6$
বা, $x = 6$
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য $b = 6$ মিটার।
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য $a = \frac{5 \times 6}{6} = 5$ মিটার।
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$ বর্গ একক
$= \frac{6}{4}\sqrt{4(5)^2 – 6^2}$ বর্গ মিটার
$= \frac{3}{2}\sqrt{4(25) – 36}$ বর্গ মিটার
$= \frac{3}{2}\sqrt{100 – 36}$ বর্গ মিটার
$= \frac{3}{2}\sqrt{64}$ বর্গ মিটার
$= \frac{3}{2} \times 8$ বর্গ মিটার
$= 12$ বর্গ মিটার
উত্তর:$12$ বর্গমিটার।
৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য $25$ সে.মি., $27$ সে.মি. এবং পরিসীমা $84$ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি,
প্রথম বাহু $a = 25$ সে.মি.
দ্বিতীয় বাহু $b = 27$ সে.মি.
তৃতীয় বাহু $= c$ সে.মি.
পরিসীমা $= 84$ সে.মি.
বা, $a + b + c = 84$
বা, $25 + 27 + c = 84$
বা, $52 + c = 84$
বা, $c = 84 – 52$
বা, $c = 32$ সে.মি.
অর্ধ-পরিসীমা $s = \frac{84}{2} = 42$ সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$
$= \sqrt{42(42 – 25)(42 – 27)(42 – 32)}$
$= \sqrt{42 \times 17 \times 15 \times 10}$
$= \sqrt{107100}$
$\approx 327.26$
উত্তর:$327.26$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $2$ মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল $6\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার।
অতএব, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গমিটার।
বাহুর দৈর্ঘ্য $2$ মিটার বাড়ালে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হয় $(a + 2)$ মিটার।
অতএব, নতুন ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4}(a + 2)^2$ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}(a + 2)^2 – \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 6\sqrt{3}$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{4} \{(a + 2)^2 – a^2\} = 6\sqrt{3}$
বা, $\frac{1}{4} (a^2 + 4a + 4 – a^2) = 6$ [উভয়পক্ষকে $\sqrt{3}$ দিয়ে ভাগ করে]
বা, $\frac{1}{4} (4a + 4) = 6$
বা, $4a + 4 = 24$
বা, $4a = 24 – 4$
বা, $4a = 20$
বা, $a = \frac{20}{4}$
বা, $a = 5$
উত্তর: ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ মিটার।
৬. একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $26$ মিটার, $28$ মিটার এবং ক্ষেত্রফল $182$ বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি,
প্রথম বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 26$ মিটার
দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য, $b = 28$ মিটার
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $= \theta$
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} ab \sin\theta$
প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2} ab \sin\theta = 182$
বা, $\frac{1}{2} \times 26 \times 28 \times \sin\theta = 182$
বা, $13 \times 28 \times \sin\theta = 182$
বা, $364 \sin\theta = 182$
বা, $\sin\theta = \frac{182}{364}$
বা, $\sin\theta = \frac{1}{2}$
বা, $\sin\theta = \sin 30^\circ$
বা, $\theta = 30^\circ$
উত্তর: বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $30^\circ$।
৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য $10$ মিটার এবং ক্ষেত্রফল $48$ বর্গমিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 10$ মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য $= b$ মিটার
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 – b^2}$
প্রশ্নমতে, $\frac{b}{4} \sqrt{4(10)^2 – b^2} = 48$
বা, $b \sqrt{400 – b^2} = 48 \times 4$
বা, $b \sqrt{400 – b^2} = 192$
বা, $b^2 (400 – b^2) = 192^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $400b^2 – b^4 = 36864$
বা, $b^4 – 400b^2 + 36864 = 0$
বা, $b^4 – 256b^2 – 144b^2 + 36864 = 0$
বা, $b^2(b^2 – 256) – 144(b^2 – 256) = 0$
বা, $(b^2 – 256)(b^2 – 144) = 0$ হয়,
$b^2 – 256 = 0 \implies b^2 = 256 \implies b = \sqrt{256} = 16$
অথবা,
$b^2 – 144 = 0 \implies b^2 = 144 \implies b = \sqrt{144} = 12$
উত্তর: ভূমির দৈর্ঘ্য $12$ মিটার অথবা $16$ মিটার।
৮. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা পরস্পর $135^\circ$ কোণ করে দুই দিকে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় $7$ কিলোমিটার ও ঘণ্টায় $5$ কিলোমিটার বেগে বিপরীত মুখে রওনা হলো। $4$ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, নির্দিষ্ট স্থানটি $O$।
$4$ ঘণ্টা পর প্রথম ব্যক্তি $A$ বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় ব্যক্তি $B$ বিন্দুতে পৌঁছায়।
প্রথম ব্যক্তির অতিক্রান্ত দূরত্ব, $OA = 7 \times 4 = 28$ কি.মি.
দ্বিতীয় ব্যক্তির অতিক্রান্ত দূরত্ব, $OB = 5 \times 4 = 20$ কি.মি.
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, $\angle AOB = 135^\circ$
কসাইন সূত্র (Cosine Rule) প্রয়োগ করে $4$ ঘণ্টা পর তাদের সরাসরি দূরত্ব $AB$ নির্ণয় করি:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
বা, $AB^2 = 28^2 + 20^2 – 2 \times 28 \times 20 \times \cos 135^\circ$
বা, $AB^2 = 784 + 400 – 1120 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
বা, $AB^2 = 1184 + \frac{1120}{\sqrt{2}}$
বা, $AB^2 = 1184 + 791.96$
বা, $AB^2 = 1975.96$
বা, $AB = \sqrt{1975.96} \approx 44.45$
উত্তর: সরাসরি দূরত্ব প্রায় $44.45$ কি.মি.।
৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু থেকে তিনটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $6$ সে.মি., $7$ সে.মি. ও $8$ সে.মি.। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ সে.মি.।
অভ্যন্তরস্থ বিন্দু $O$ থেকে বাহুত্রয়ের ওপর অঙ্কিত লম্বসমূহ $p_1 = 6$ সে.মি., $p_2 = 7$ সে.মি., এবং $p_3 = 8$ সে.মি.।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা, $h = p_1 + p_2 + p_3$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} a = 6 + 7 + 8$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} a = 21$
বা, $a = \frac{21 \times 2}{\sqrt{3}}$
বা, $a = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3} \approx 24.25$ সে.মি.
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} (14\sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} (196 \times 3)$
$= 147\sqrt{3} \approx 254.61$ বর্গ সে.মি.
উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য $24.25$ সে.মি. (প্রায়) এবং ক্ষেত্রফল $254.61$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
১০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির $\frac{11}{12}$ অংশ থেকে $6$ সে.মি. কম এবং অতিভুজ ভূমির $\frac{4}{3}$ অংশ থেকে $3$ সে.মি. কম।
ক) ভূমি $x$ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, ভূমি $= x$ সে.মি.
লম্ব, $h = \frac{11x}{12} – 6$ সে.মি.
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব}$
$= \frac{1}{2} \cdot x \cdot \left(\frac{11x}{12} – 6\right)$
$= \frac{x}{2} \left(\frac{11x – 72}{12}\right)$
$= \frac{11x^2 – 72x}{24}$
উত্তর:$\frac{11x^2 – 72x}{24}$ বর্গ সে.মি.
খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: ভূমি $= x$
লম্ব $= \frac{11x}{12} – 6$
অতিভুজ $= \frac{4x}{3} – 3$
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,
$\text{ভূমি}^2 + \text{লম্ব}^2 = \text{অতিভুজ}^2$
বা, $x^2 + \left(\frac{11x}{12} – 6\right)^2 = \left(\frac{4x}{3} – 3\right)^2$
বা, $x^2 + \left(\frac{11x – 72}{12}\right)^2 = \left(\frac{4x – 9}{3}\right)^2$
বা, $x^2 + \frac{(11x – 72)^2}{144} = \frac{(4x – 9)^2}{9}$
বা, $144x^2 + (11x – 72)^2 = 16(4x – 9)^2$ [উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $144x^2 + 121x^2 – 1584x + 5184 = 16(16x^2 – 72x + 81)$
বা, $265x^2 – 1584x + 5184 = 256x^2 – 1152x + 1296$
বা, $265x^2 – 256x^2 – 1584x + 1152x + 5184 – 1296 = 0$
বা, $9x^2 – 432x + 3888 = 0$
বা, $x^2 – 48x + 432 = 0$ [উভয়পক্ষকে $9$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x^2 – 36x – 12x + 432 = 0$
বা, $x(x – 36) – 12(x – 36) = 0$
বা, $(x – 36)(x – 12) = 0$ হয়,
$(x – 36) = 0$
$x = 36$
অথবা ,
$(x – 12) = 0$
$x = 12$
কিন্তু $x = 12$ হলে লম্ব $= \frac{11(12)}{12} – 6 = 5$ সে.মি. এবং অতিভুজ $= \frac{4(12)}{3} – 3 = 13$ সে.মি.।
অন্যভাবে $x = 36$ গ্রহণযোগ্য মান।
উত্তর: ভূমির দৈর্ঘ্য $12$ সে.মি. অথবা $36$ সে.মি.।
গ) ত্রিভুজটির ভূমি $12$ সে.মি. হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: ভূমি, $x = 12$ সে.মি. হলে:
লম্ব $= \frac{11(12)}{12} – 6 = 11 – 6 = 5$ সে.মি.
অতিভুজ $= \frac{4(12)}{3} – 3 = 16 – 3 = 13$ সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা $= 12 + 5 + 13 = 30$ সে.মি.
প্রশ্নমতে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $= 30$ সে.মি.
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু $= a$ সে.মি.
অতএব, $3a = 30 \implies a = 10$ সে.মি.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$
$= 25\sqrt{3} \approx 43.30$
উত্তর:$25\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি. বা $43.30$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।