অনুশীলনী ৭: সেট
১। নিচের কোনটি যে কোনো সেটের উপসেট?
ক) {0}
খ) {Ø}
গ) Ø
ঘ) (Ø)
সমাধান: ফাঁকা সেট (Ø) যেকোনো সেটের একটি উপসেট।
সঠিক উত্তর: গ) Ø
পাশের ভেনচিত্রটির আলোকে ২ থেকে ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:
ভেনচিত্র হতে উপাদানসমূহ:
- সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
- সেট A = {1, 2, 3, 4}
- সেট B = {2, 3, 5, 6}
- সেট C = {3, 4, 6, 7}
২। সার্বিক সেট কোনটি?
(ক) A
(খ) B
(গ) A ∪ B
(ঘ) U
সমাধান: ভেনচিত্রে আয়তক্ষেত্র দিয়ে সার্বিক সেট নির্দেশ করা হয়, যাকে U প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সঠিক উত্তর: (ঘ) U
৩। কোনটি Bᶜ সেট?
(ক) {5, 6, 7, 8}
(খ) {2, 3, 5, 6}
(গ) {1, 4, 7, 8}
(ঘ) {3, 6}
সমাধান: Bᶜ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} – {2, 3, 5, 6}
= {1, 4, 7, 8}
সঠিক উত্তর: (গ) {1, 4, 7, 8}
৪। কোনটি A ∩ B সেট?
(ক) {2, 3}
(খ) {2, 3, 5, 6}
(গ) {3, 4, 6, 7}
(ঘ) {2, 3, 4, 5, 6, 7}
সমাধান: A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 5, 6}
= {2, 3}
সঠিক উত্তর: (ক) {2, 3}
৫। কোনটি A ∪ B সেট?
(ক) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(খ) {5, 6, 7}
(গ) {8}
(ঘ) {3}
সমাধান: A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
সঠিক উত্তর: (ক) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
৬। নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:
(ক) {x : x, বিজোড় সংখ্যা এবং 3 < x < 15}
সমাধান: 3 অপেক্ষা বড় এবং 15 অপেক্ষা ছোট বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো: 5, 7, 9, 11, 13
নির্ণেয় সেট: {5, 7, 9, 11, 13}
(খ) {x : x, 48 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ}
সমাধান: 48 এর সকল গুণনীয়ক হলো: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো: 2, 3
নির্ণেয় সেট: {2, 3}
(গ) {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 36}
সমাধান: 36 অপেক্ষা ছোট 3 এর ধনাত্মক গুণিতকগুলো হলো: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
নির্ণেয় সেট: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33}
(ঘ) {x : x, পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 10}
সমাধান: যেসব পূর্ণসংখ্যার বর্গ 10 অপেক্ষা ছোট:
- 0 এর বর্গ = 0 < 10
- (±1) এর বর্গ = 1 < 10
- (±2) এর বর্গ = 4 < 10
- (±3) এর বর্গ = 9 < 10
- (±4) এর বর্গ = 16 (যা 10 এর চেয়ে ছোট নয়)
নির্ণেয় সেট: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
৭। নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:
(ক) {3, 4, 5, 6, 7, 8}
সমাধান: সেটের উপাদানগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা, যা 2 অপেক্ষা বড় এবং 9 অপেক্ষা ছোট।
নির্ণেয় সেট: {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 2 < x < 9}
(খ) {4, 8, 12, 16, 20, 24}
সমাধান: উপাদানগুলো 4 এর গুণিতক এবং 24 এর সমান বা ছোট।
নির্ণেয় সেট: {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 24}
(গ) {7, 11, 13, 17}
সমাধান: উপাদানগুলো মৌলিক সংখ্যা, যা 5 অপেক্ষা বড় এবং 19 অপেক্ষা ছোট।
নির্ণেয় সেট: {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 5 < x < 19}
৮। A = {1, 2, 3}, B = {2, a} এবং C = {a, b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো:
(ক) A ∪ B
সমাধান: A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {2, a}
= {1, 2, 3, a}
(খ) B ∩ C
সমাধান: B ∩ C = {2, a} ∩ {a, b}
= {a}
(গ) A ∩ (B ∪ C)
সমাধান: B ∪ C = {2, a} ∪ {a, b} = {2, a, b}
অতএব, A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∩ {2, a, b}
= {2}
(ঘ) (A ∪ B) ∪ C
সমাধান: (A ∪ B) = {1, 2, 3, a}
অতএব, (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, a} ∪ {a, b}
= {1, 2, 3, a, b}
(ঙ) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
সমাধান: A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ {2, a} = {2}
B ∩ C = {2, a} ∩ {a, b} = {a}
অতএব, (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = {2} ∪ {a}
= {2, a}
৯. যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 5}, B = {2, 4, 7} এবং C = {4, 5, 6} হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলোর সত্যতা যাচাই করো :
(ক) A ∩ B = B ∩ A
সমাধান: বামপক্ষ = A ∩ B
= {1, 2, 5} ∩ {2, 4, 7}
= {2}
ডানপক্ষ = B ∩ A
= {2, 4, 7} ∩ {1, 2, 5}
= {2}
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ,
অতএব, সম্পর্কটি সত্য। (যাচাই করা হলো)
(খ) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
সমাধান: এখানে,
A ∩ B = {1, 2, 5} ∩ {2, 4, 7} = {2}
বামপক্ষ = (A ∩ B)′
= U – (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7}
আবার,
A′ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {1, 2, 5}
= {3, 4, 6, 7}
B′ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2, 4, 7}
= {1, 3, 5, 6}
ডানপক্ষ = A′ ∪ B′
= {3, 4, 6, 7} ∪ {1, 3, 5, 6}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7}
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ,
অতএব, সম্পর্কটি সত্য। (যাচাই করা হলো)
(গ) (A ∪ C)′ = A′ ∩ C′
সমাধান: এখানে,
A ∪ C = {1, 2, 5} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
বামপক্ষ = (A ∪ C)′
= U – (A ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {1, 2, 4, 5, 6}
= {3, 7}
আবার,
A′ = U – A = {3, 4, 6, 7}
C′ = U – C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 7}
ডানপক্ষ = A′ ∩ C′
= {3, 4, 6, 7} ∩ {1, 2, 3, 7}
= {3, 7}
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ,
অতএব, সম্পর্কটি সত্য। (যাচাই করা হলো)
১০. P এবং Q যথাক্রমে 21 ও 35 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, P ∪ Q নির্ণয় করো।
সমাধান: 21 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 3, 7, 21
অতএব, P = {1, 3, 7, 21}
35 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 5, 7, 35
অতএব, Q = {1, 5, 7, 35}
P ∪ Q = {1, 3, 7, 21} ∪ {1, 5, 7, 35}
= {1, 3, 5, 7, 21, 35} (উত্তর)
১১. ভেনচিত্রের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:
ভেনচিত্র থেকে উপাদানসমূহ পেয়ে পাই:
- U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
- A = {3, 4, 5, 6}
- B = {4, 5, 8, 9}
- C = {5, 6, 7, 8}
(ক) A সেটটি সেট গঠন পদ্ধতিতে লেখো।
সমাধান: তালিকা পদ্ধতিতে, A = {3, 4, 5, 6}
A সেটের উপাদানগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা, যা 2 অপেক্ষা বড় এবং 7 অপেক্ষা ছোট (বা 3 এর সমান বা বড় এবং 6 এর সমান বা ছোট)।
নির্ণেয় সেট: {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 2 < x < 7} (উত্তর)
(খ) A, B ও C কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং A ∩ C ও A ∪ B নির্ণয় করো।
সমাধান: তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ:
A = {3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 8, 9}
C = {5, 6, 7, 8}
এখন, A ∩ C = {3, 4, 5, 6} ∩ {5, 6, 7, 8}
= {5, 6} (উত্তর)
A ∪ B = {3, 4, 5, 6} ∪ {4, 5, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 8, 9} (উত্তর)
(গ) প্রমাণ করো যে, (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
সমাধান: ভেনচিত্র হতে পাই,
U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 8, 9}
এখানে, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 8, 9}
বামপক্ষ = (A ∪ B)′
= U – (A ∪ B)
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {3, 4, 5, 6, 8, 9}
= {7, 10}
আবার, A′ = U – A
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9, 10}
B′ = U – B
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {4, 5, 8, 9}
= {3, 6, 7, 10}
ডানপক্ষ = A′ ∩ B′
= {7, 8, 9, 10} ∩ {3, 6, 7, 10}
= {7, 10}
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ,
অতএব, (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (প্রমাণিত)
১২. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 ও 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে তাদের সেট যথাক্রমে A ও B ।
(ক) A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।
সমাধান: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 কে ভাগ করলে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো 31 অপেক্ষা বড় এবং (346 – 31) বা 315 এর গুণনীয়ক।
315 এর গুণনীয়কসমূহ:
315 = 1 × 315
= 3 × 105
= 5 × 63
= 7 × 45
= 9 × 35
= 15 × 21
315 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে 31 অপেক্ষা বড় সংখ্যাগুলো হলো: 35, 45, 63, 105, 315।
উত্তর: A = {35, 45, 63, 105, 315}
(খ) A ∩ B নির্ণয় করো।
সমাধান: ‘ক’ থেকে পাই, A = {35, 45, 63, 105, 315}
আবার, যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 556 কে ভাগ করলে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো 31 অপেক্ষা বড় এবং (556 – 31) বা 525 এর গুণনীয়ক।
525 এর গুণনীয়কসমূহ:
525 = 1 × 525
= 3 × 175
= 5 × 105
= 7 × 75
= 15 × 35
= 21 × 25
525 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে 31 অপেক্ষা বড় সংখ্যাগুলো হলো: 35, 75, 105, 175, 525।
অতএব, B = {35, 75, 105, 175, 525}
এখন, A ∩ B = {35, 45, 63, 105, 315} ∩ {35, 75, 105, 175, 525}
= {35, 105}
উত্তর: {35, 105}
(গ) A ∩ B ভেনচিত্রে দেখাও এবং A ∩ B এর উপসেটগুলো লেখো।
সমাধান:
‘খ’ থেকে পাই, A ∩ B = {35, 105}
ভেনচিত্র:
┌───────────────────────────────────────────────┐
│ U │
│ ┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │
│ │ A │ │ B │ │
│ │ │ │ │ │
│ │ 45, 63, │35 │ 75, 175, │ │
│ │ 315 │105│ 525 │ │
│ │ │ │ │ │
│ └─────────────────┘ └─────────────────┘ │
└───────────────────────────────────────────────┘
(ব্যাখ্যা: A এবং B বৃত্ত দুটির সাধারণ ছেদ অংশে 35 ও 105 থাকবে, যা A ∩ B নির্দেশ করে।)
A ∩ B এর উপসেটসমূহ:
A ∩ B = {35, 105} সেটের উপসেটগুলো হলো:
{35, 105}, {35}, {105}, ∅
উত্তর: {35, 105}, {35}, {105}, ∅
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১। সেট প্রকাশের পদ্ধতি কয়টি?
ক) 1টি
খ) 2টি
গ) 3টি
ঘ) 4টি
সমাধান: সেট প্রকাশের পদ্ধতি প্রধানত ২ টি (তালিকা পদ্ধতি ও সেট গঠন পদ্ধতি)।
সঠিক উত্তর: খ) 2টি
২। S = {x : x, জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) {2, 3, 4}
খ) {2, 4, 6}
গ) {1, 3, 5}
ঘ) {3, 5, 7}
সমাধান: 1 থেকে 7 এর মধ্যবর্তী জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 4, 6।
সঠিক উত্তর: খ) {2, 4, 6}
৩। A = {2, 3, 5} হলে—
i. A = {x ∈ N : 1 < x < 6 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
ii. A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 7 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
iii. A = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 5 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সমাধান:
- i এর জন্য: 1 অপেক্ষা বড় এবং 6 অপেক্ষা ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 3, 5। (সঠিক)
- ii এর জন্য: 2 এর সমান বা বড় এবং 7 অপেক্ষা ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 3, 5। (সঠিক)
- iii এর জন্য: 2 এর সমান বা বড় এবং 5 এর সমান বা ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 3, 5। (সঠিক)
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:
U = {2, 3, 5, 7}, A = {2, 5}, B = {3, 5, 7}
৪। Aᶜ কোনটি?
ক) {2, 5}
খ) {3, 5}
গ) {3, 7}
ঘ) {2, 7}
সমাধান: Aᶜ = U – A
= {2, 3, 5, 7} – {2, 5}
= {3, 7}
সঠিক উত্তর: গ) {3, 7}
৫। A ∩ Bᶜ কোনটি?
ক) {2}
খ) {5}
গ) {2, 5}
ঘ) {3, 7}
সমাধান: Bᶜ = U – B
= {2, 3, 5, 7} – {3, 5, 7}
= {2}
এখন,
A ∩ Bᶜ = {2, 5} ∩ {2}
= {2}
সঠিক উত্তর: ক) {2}
সৃজনশীল প্রশ্ন
৬। কোনো ছাত্রাবাসের 65% ছাত্র মাছ পছন্দ করে, 55% ছাত্র মাংস পছন্দ করে এবং 40% ছাত্র উভয় খাদ্য পছন্দ করে।
(ক) A = {x : x, জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x² ≤ 16} এর উপসেটগুলো লেখো।
সমাধান: জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 4, 6, 8…
- x = 2 হলে, x² = 4 ≤ 16
- x = 4 হলে, x² = 16 ≤ 16
- x = 6 হলে, x² = 36 (যা 16 এর চেয়ে ছোট বা সমান নয়)
অতএব, A = {2, 4}
A সেটের উপসেটগুলো হলো: {2, 4}, {2}, {4}, ∅ (উত্তর)
(খ) উভয় খাদ্য পছন্দ করে না তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, মোট ছাত্রসংখ্যা = 100%
মাছ বা মাংস অন্তত একটি খাদ্য পছন্দ করে এমন ছাত্রসংখ্যা
= (মাছ পছন্দ করে) + (মাংস পছন্দ করে) – (উভয় খাদ্য পছন্দ করে)
= (65 + 55 – 40)%
= (120 – 40)%
= 80%
অতএব, উভয় খাদ্য পছন্দ করে না এমন ছাত্রসংখ্যা = (100 – 80)%
= 20%
উত্তর: 20% ছাত্র
(গ) যারা শুধু একটি খাদ্য পছন্দ করে তাদের সংখ্যার গুণনীয়ক সেটের ছেদ সেট নির্ণয় করো।
সমাধান:
- শুধু মাছ পছন্দ করে = (65 – 40)% = 25%
- শুধু মাংস পছন্দ করে = (55 – 40)% = 15%
ধরি,
25 এর গুণনীয়কের সেট = M
25 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 5, 25
অতএব, M = {1, 5, 25}
15 এর গুণনীয়কের সেট = N
15 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 3, 5, 15
অতএব, N = {1, 3, 5, 15}
নির্ণেয় ছেদ সেট (M ∩ N):
M ∩ N = {1, 5, 25} ∩ {1, 3, 5, 15}
= {1, 5} (উত্তর)
৭। সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এর তিনটি উপসেট
A = {x : x² – 6x + 8 = 0}
B = {x : x, বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 5}
C = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6}
(ক) P = {3, 5, 7, 11} কে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।
সমাধান: উপাদানগুলো 3, 5, 7, 11 হলো মৌলিক সংখ্যা, যা 2 অপেক্ষা বড় এবং 13 অপেক্ষা ছোট।
নির্ণেয় সেট: {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 2 < x < 13} (উত্তর)
(খ) A সেটের সকল উপসেটগুলো লেখো।
সমাধান: দেওয়া আছে, x² – 6x + 8 = 0
বা, x² – 4x – 2x + 8 = 0
বা, x(x – 4) – 2(x – 4) = 0
বা, (x – 4)(x – 2) = 0
হয়, x – 4 = 0
বা, x = 4
অথবা, x – 2 = 0
বা, x = 2
অতএব, A = {2, 4}
A সেটের সকল উপসেটগুলো হলো: {2, 4}, {2}, {4}, ∅ (উত্তর)
(গ) (B ∪ C)ᶜ নির্ণয় করো।
সমাধান: উদ্দীপক হতে পাই,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {x : x, বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 5}
= {1, 3, 5}
C = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6}
= {2, 3, 5}
এখন,
B ∪ C = {1, 3, 5} ∪ {2, 3, 5}
= {1, 2, 3, 5}
অতএব, (B ∪ C)ᶜ = U – (B ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 5}
= {4, 6, 7} (উত্তর)
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৮। (ক) A = {x ∈ N : x, জোড় সংখ্যা, 1 ≤ x ≤ 6} হলে, এর প্রকৃত উপসেটগুলো লেখো।
সমাধান: 1 থেকে 6 এর মধ্যে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 4, 6
অতএব, A = {2, 4, 6}
A সেটের মূল সেট {2, 4, 6} বাদ দিলে বাকি উপসেটগুলোই এর প্রকৃত উপসেট।
নির্ণেয় প্রকৃত উপসেটসমূহ:
{2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2}, {4}, {6}, ∅ (উত্তর)
(খ) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হলে, Bᶜ নির্ণয় করো।
সমাধান: Bᶜ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6}
= {1, 3, 5} (উত্তর)
(গ) B = {x ∈ N : x, 24 এর মৌলিক গুণনীয়ক } কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।
সমাধান: 24 এর সকল গুণনীয়ক: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 3
B = {2, 3} (উত্তর)
(ঘ) P = {x : x, 6 এর গুণনীয়কসমূহ } এবং Q = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ } হলে, P ∪ Q নির্ণয় করো।
সমাধান: 6 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 6
অতএব, P = {1, 2, 3, 6}
8 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 4, 8
অতএব, Q = {1, 2, 4, 8}
নির্ণেয় P ∪ Q:
P ∪ Q = {1, 2, 3, 6} ∪ {1, 2, 4, 8}
= {1, 2, 3, 4, 6, 8} (উত্তর)