নবম-দশম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১৩.১

অনুশীলনী ১৩.১: সমান্তর ধারা

১. $13 + 20 + 27 + 34 + \dots + 111$ ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক) $10$

খ) $13$

গ) $15$

ঘ) $20$

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 13$

সাধারণ অন্তর, $d = 20 – 13 = 7$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $111$

আমরা জানি, $n$-তম পদ = $a + (n – 1)d$

বা, $13 + (n – 1)7 = 111$

বা, $7(n – 1) = 111 – 13$

বা, $7(n – 1) = 98$

বা, $n – 1 = \frac{98}{7}$

বা, $n – 1 = 14$

বা, $n = 15$

উত্তর:গ) $15$

২. $5 + 8 + 11 + 14 + \dots + 62$ ধারাটি—

(i) একটি সসীম ধারা

(ii) একটি গুণোত্তর ধারা

(iii) এর $19$ তম পদ $59$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ধারাটির শেষ পদ $62$ নির্দিষ্ট থাকায় এটি একটি সসীম ধারা। (i সঠিক)

সাধারণ অন্তর $8 – 5 = 11 – 8 = 3$ (সমান), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা; গুণোত্তর ধারা নয়। (ii ভুল)

$19$-তম পদ = $a + (19 – 1)d = 5 + 18 \times 3 = 5 + 54 = 59$। (iii সঠিক)

উত্তর: খ) i ও iii

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ৩ – ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

$7 + 13 + 19 + 25 + \dots$ একটি ধারা।

এখানে, প্রথম পদ $a = 7$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 13 – 7 = 6$

৩. ধারাটির $15$ তম পদ কোনটি?

ক) $85$

খ) $91$

গ) $97$

ঘ) $104$

সমাধান:

$15$-তম পদ = $a + (15 – 1)d$

$= 7 + 14 \times 6$

$= 7 + 84$

$= 91$

উত্তর:খ) $91$

৪. ধারাটির প্রথম $20$টি পদের সমষ্টি কত?

ক) $141$

খ) $1210$

গ) $1280$

ঘ) $2560$

সমাধান:

প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

সুতরাং, প্রথম $20$টি পদের সমষ্টি, $S_{20} = \frac{20}{2} [2(7) + (20 – 1)6]$

$= 10 \times [14 + 19 \times 6]$

$= 10 \times [14 + 114]$

$= 10 \times 128$

$= 1280$

উত্তর:গ) $1280$

৫. $2 – 5 – 12 – 19 – \dots$ ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং $12$ তম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান: ধারাটি হলো: $2 + (-5) + (-12) + (-19) + \dots$

প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অন্তর, $d = (-5) – 2 = -7$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n – 1)d$

\therefore $12$-তম পদ $= a + (12 – 1)d$

$= 2 + 11 \times (-7)$

$= 2 – 77$

$= -75$

উত্তর: সাধারণ অন্তর $-7$ এবং $12$-তম পদ $-75$।

৬. $8 + 11 + 14 + 17 + \dots$ ধারাটির কোন পদ $392$?

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 8$

সাধারণ অন্তর, $d = 11 – 8 = 3$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $392$

আমরা জানি, $a + (n – 1)d = 392$

বা, $8 + (n – 1)3 = 392$

বা, $3(n – 1) = 392 – 8$

বা, $3(n – 1) = 384$

বা, $n – 1 = \frac{384}{3}$

বা, $n – 1 = 128$

বা, $n = 128 + 1$

বা, $n = 129$

উত্তর: ধারাটির $129$-তম পদ $392$।

৭. $4 + 7 + 10 + 13 + \dots$ ধারাটির কোন পদ $301$?

সমাধান: এখানে, প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 – 4 = 3$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $301$

আমরা জানি, $a + (n – 1)d = 301$

বা, $4 + (n – 1)3 = 301$

বা, $3(n – 1) = 301 – 4$

বা, $3(n – 1) = 297$

বা, $n – 1 = \frac{297}{3}$

বা, $n – 1 = 99$

বা, $n = 99 + 1$

বা, $n = 100$

উত্তর: ধারাটির $100$-তম পদ $301$।

৮. কোনো সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $n$ এবং $n$ তম পদ $m$ হলে, ধারাটির $(m + n)$ তম পদ কত?

সমাধান: ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

প্রশ্নানুসারে,

$m$-তম পদ $= a + (m – 1)d = n$ ——- (১)

$n$-তম পদ $= a + (n – 1)d = m$ ——- (২)

(১) নং সমীকরণ হতে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\{a + (m – 1)d\} – \{a + (n – 1)d\} = n – m$

বা, $(m – 1)d – (n – 1)d = -(m – n)$

বা, $(m – 1 – n + 1)d = -(m – n)$

বা, $(m – n)d = -(m – n)$

বা, $d = -1$

এখন, ধারাটির $(m + n)$-তম পদ $= a + (m + n – 1)d$

$= a + (m – 1 + n)d$

$= a + (m – 1)d + nd$

$= n + n(-1)$ [ (১) নং সমীকরণ হতে $a + (m – 1)d = n$ এবং $d = -1$ বসিয়ে ]

$= n – n$

$= 0$

উত্তর:$0$

৯. $1 + 3 + 5 + 7 + \dots$ ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

এখানে, প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 3 – 1 = 2$।

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

$= \frac{n}{2} [2(1) + (n – 1)2]$

$= \frac{n}{2} [2 + 2n – 2]$

$= \frac{n}{2} [2n]$

$= n^2$

উত্তর:$n^2$

১০. $8 + 16 + 24 + \dots$ ধারাটির প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 8$

সাধারণ অন্তর, $d = 16 – 8 = 8$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

পদসংখ্যা, $n = 9$

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

$S_9 = \frac{9}{2} [2a + (9 – 1)d]$

$= \frac{9}{2} [2(8) + 8(8)]$

$= \frac{9}{2} [16 + 64]$

$= \frac{9}{2} \times 80$

$= 9 \times 40$

$= 360$

উত্তর:$360$

১১. $5 + 11 + 17 + 23 + \dots + 59 =$ কত?

সমাধান: এখানে, প্রথম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 11 – 5 = 6$

শেষ পদ $= 59$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 59$

বা, $a + (n – 1)d = 59$

বা, $5 + (n – 1)6 = 59$

বা, $6(n – 1) = 59 – 5$

বা, $6(n – 1) = 54$

বা, $n – 1 = 9$

বা, $n = 10$

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

অতএব, ১ম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \frac{10}{2} [2(5) + (10 – 1)6]$

$= 5 \times [10 + 9 \times 6]$

$= 5 \times [10 + 54]$

$= 5 \times 64$

$= 320$

উত্তর:$320$

১২. $29 + 25 + 21 + \dots – 23 =$ কত?

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 29$

সাধারণ অন্তর, $d = 25 – 29 = -4$

শেষ পদ $= -23$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= -23$

বা, $a + (n – 1)d = -23$

বা, $29 + (n – 1)(-4) = -23$

বা, $-4(n – 1) = -23 – 29$

বা, $-4(n – 1) = -52$

বা, $n – 1 = \frac{-52}{-4}$

বা, $n – 1 = 13$

বা, $n = 14$

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

অতএব, ১ম $14$টি পদের সমষ্টি,

$S_{14} = \frac{14}{2} [2(29) + (14 – 1)(-4)]$

$= 7 \times [58 + 13(-4)]$

$= 7 \times [58 – 52]$

$= 7 \times 6$

$= 42$

উত্তর:$42$

১৩. কোনো সমান্তর ধারার $12$ তম পদ $77$ হলে, এর প্রথম $23$টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

দেওয়া আছে,

$12$-তম পদ $= a + (12 – 1)d = 77$

বা, $a + 11d = 77$ ——- (১)

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

প্রথম $23$টি পদের সমষ্টি,

$S_{23} = \frac{23}{2} [2a + (23 – 1)d]$

$= \frac{23}{2} [2a + 22d]$

$= \frac{23}{2} \times 2(a + 11d)$

$= 23 \times (a + 11d)$

$= 23 \times 77$ [ (১) হতে মান বসিয়ে ]

$= 1771$

উত্তর:$1771$

১৪. একটি সমান্তর ধারার $16$ তম পদ $-20$ হলে, এর প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

দেওয়া আছে,

$16$-তম পদ $= a + (16 – 1)d = -20$

বা, $a + 15d = -20$ ——- (১)

প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি,

$S_{31} = \frac{31}{2} [2a + (31 – 1)d]$

$= \frac{31}{2} [2a + 30d]$

$= \frac{31}{2} \times 2(a + 15d)$

$= 31 \times (a + 15d)$

$= 31 \times (-20)$ [ (১) হতে মান বসিয়ে ]

$= -620$

উত্তর:$-620$

১৫. $9 + 7 + 5 + \dots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-144$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 9$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 – 9 = -2$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

প্রশ্নানুসারে, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $= -144$

$\frac{n}{2} [2a + (n – 1)d] = -144$

বা, $\frac{n}{2} [2(9) + (n – 1)(-2)] = -144$

বা, $\frac{n}{2} [18 – 2n + 2] = -144$

বা, $\frac{n}{2} [20 – 2n] = -144$

বা, $n(10 – n) = -144$

বা, $10n – n^2 = -144$

বা, $n^2 – 10n – 144 = 0$

বা, $n^2 – 18n + 8n – 144 = 0$

বা, $n(n – 18) + 8(n – 18) = 0$

বা, $(n – 18)(n + 8) = 0$

হয়, $n – 18 = 0 \implies n = 18$

অথবা, $n + 8 = 0 \implies n = -8$(গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)

উত্তর:$n = 18$

১৬. $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2550$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে,

প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অন্তর, $d = 4 – 2 = 2$

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা।

প্রশ্নানুসারে, $\frac{n}{2} [2a + (n – 1)d] = 2550$

বা, $\frac{n}{2} [2(2) + (n – 1)2] = 2550$

বা, $\frac{n}{2} [4 + 2n – 2] = 2550$

বা, $\frac{n}{2} [2n + 2] = 2550$

বা, $n(n + 1) = 2550$

বা, $n^2 + n – 2550 = 0$

বা, $n^2 + 51n – 50n – 2550 = 0$

বা, $n(n + 51) – 50(n + 51) = 0$

বা, $(n + 51)(n – 50) = 0$

হয়, $n – 50 = 0 \implies n = 50$

অথবা, $n + 51 = 0 \implies n = -51$(গ্রহণযোগ্য নয়)

উত্তর:$n = 50$

১৭. কোনো ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n(n + 1)$ হলে, ধারাটি নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = n(n + 1)$

১ম পদের সমষ্টি, $S_1 = 1(1 + 1) = 2$
অতএব, ১ম পদ $= S_1 = 2$

১ম ২ পদের সমষ্টি, $S_2 = 2(2 + 1) = 6$
অতএব, ২য় পদ $= S_2 – S_1 = 6 – 2 = 4$

১ম ৩ পদের সমষ্টি, $S_3 = 3(3 + 1) = 12$
অতএব, ৩য় পদ $= S_3 – S_2 = 12 – 6 = 6$

১ম ৪ পদের সমষ্টি, $S_4 = 4(4 + 1) = 20$
অতএব, ৪র্থ পদ $= S_4 – S_3 = 20 – 12 = 8$

সুতরাং, ধারাটি হলো: $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$

উত্তর:$2 + 4 + 6 + 8 + \dots$

১৮. কোনো ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n(n + 1)$। ধারাটির $10$টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: দেওয়া আছে, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n = n(n + 1)$

এখানে $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে বলা হয়েছে (অর্থাৎ $n = 10$):

$S_{10} = 10(10 + 1)$

$= 10 \times 11$

$= 110$

উত্তর:$110$

১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $560$ হলে, এর প্রথম $6$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

১ম শর্তমতে,

$S_{12} = \frac{12}{2} [2a + (12 – 1)d] = 144$

বা, $6 [2a + 11d] = 144$

বা, $2a + 11d = \frac{144}{6}$

বা, $2a + 11d = 24$ ——- (১)

২য় শর্তমতে,

$S_{20} = \frac{20}{2} [2a + (20 – 1)d] = 560$

বা, $10 [2a + 19d] = 560$

বা, $2a + 19d = 56$ ——- (২)

(২) নং সমীকরণ থেকে (১) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$(2a + 19d) – (2a + 11d) = 56 – 24$

বা, $8d = 32$

বা, $d = 4$

$d$-এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$2a + 11(4) = 24$

বা, $2a + 44 = 24$

বা, $2a = 24 – 44$

বা, $2a = -20$

বা, $a = -10$

অতএব, প্রথম $6$ পদের সমষ্টি,

$S_6 = \frac{6}{2} [2a + (6 – 1)d]$

$= 3 [2(-10) + 5(4)]$

$= 3 [-20 + 20]$

$= 3 \times 0$

$= 0$

উত্তর:$0$

২০. কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $n$ এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $m$ হলে, এর প্রথম $(m + n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

১ম শর্তানুসারে,

$S_m = \frac{m}{2} [2a + (m – 1)d] = n$

বা, $m [2a + (m – 1)d] = 2n$

বা, $2am + m(m – 1)d = 2n$ ——- (১)

২য় শর্তানুসারে,

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d] = m$

বা, $n [2a + (n – 1)d] = 2m$

বা, $2an + n(n – 1)d = 2m$ ——- (২)

(১) নং সমীকরণ হতে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$2am – 2an + \{m(m – 1) – n(n – 1)\}d = 2n – 2m$

বা, $2a(m – n) + (m^2 – m – n^2 + n)d = -2(m – n)$

বা, $2a(m – n) + \{(m^2 – n^2) – (m – n)\}d = -2(m – n)$

বা, $2a(m – n) + \{(m – n)(m + n) – (m – n)\}d = -2(m – n)$

বা, $(m – n) [2a + (m + n – 1)d] = -2(m – n)$

বা, $2a + (m + n – 1)d = -2$ ——- (৩)

এখন, প্রথম $(m + n)$ পদের সমষ্টি,

$S_{m+n} = \frac{m + n}{2} [2a + (m + n – 1)d]$

$= \frac{m + n}{2} (-2)$ [ (৩) নং হতে মান বসিয়ে ]

$= -(m + n)$

উত্তর:$-(m + n)$

২১. কোনো সমান্তর ধারায় $p$ তম, $q$ তম ও $r$ তম পদ যথাক্রমে $a, b, c$ হলে, দেখাও যে, $a(q – r) + b(r – p) + c(p – q) = 0$

সমাধান:

ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= X$ এবং সাধারণ অন্তর $= Y$।

দেওয়া আছে,

$p$-তম পদ $= X + (p – 1)Y = a$ ——- (১)

$q$-তম পদ $= X + (q – 1)Y = b$ ——- (২)

$r$-তম পদ $= X + (r – 1)Y = c$ ——- (৩)

এখন, বামপক্ষ $= a(q – r) + b(r – p) + c(p – q)$

$= \{X + (p – 1)Y\}(q – r) + \{X + (q – 1)Y\}(r – p) + \{X + (r – 1)Y\}(p – q)$ [$a, b, c$ এর মান বসিয়ে]

$= X(q – r) + (p – 1)Y(q – r) + X(r – p) + (q – 1)Y(r – p) + X(p – q) + (r – 1)Y(p – q)$

$= X(q – r + r – p + p – q) + Y\{(p – 1)(q – r) + (q – 1)(r – p) + (r – 1)(p – q)\}$

$= X(0) + Y\{pq – pr – q + r + qr – pq – r + p + pr – qr – p + q\}$

$= 0 + Y(0)$

$= 0 = \text{ডানপক্ষ}$(দেখানো হলো)

২২. দেখাও যে, $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 125 = 169 + 171 + 173 + \dots + 209$

সমাধান:

বামপক্ষ:$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 125$

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a_1 = 1$, সাধারণ অন্তর $d_1 = 2$

ধরি, পদসংখ্যা $= n_1$

$n_1$-তম পদ $= 1 + (n_1 – 1)2 = 125 \implies 2(n_1 – 1) = 124 \implies n_1 – 1 = 62 \implies n_1 = 63$

সমষ্টি $ = \frac{63}{2} (1 + 125) = \frac{63}{2} \times 126 = 63 \times 63 = 3969$

ডানপক্ষ:$169 + 171 + 173 + \dots + 209$

এটিও একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a_2 = 169$, সাধারণ অন্তর $d_2 = 2$

ধরি, পদসংখ্যা $= n_2$

$n_2$-তম পদ $= 169 + (n_2 – 1)2 = 209 \implies 2(n_2 – 1) = 40 \implies n_2 – 1 = 20 \implies n_2 = 21$

সমষ্টি $= \frac{21}{2} (169 + 209) = \frac{21}{2} \times 378 = 21 \times 189 = 3969$

যেহেতু $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ} = 3969$

অতএব, $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 125 = 169 + 171 + 173 + \dots + 209$(দেখানো হলো)

২৩. এক ব্যক্তি $2500$ টাকার একটি ঋণ কিছুসংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে $2$ টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি $1$ টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধান: এখানে,

প্রথম কিস্তি, $a = 1$

প্রতি কিস্তিতে বৃদ্ধির পরিমাণ (সাধারণ অন্তর), $d = 2$

মোট পরিশোধের পরিমাণ (সমষ্টি), $S_n = 2500$ টাকা

ধরি, কিস্তির সংখ্যা $= n$

আমরা জানি, $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$

বা, $2500 = \frac{n}{2} [2(1) + (n – 1)2]$

বা, $2500 = \frac{n}{2} [2 + 2n – 2]$

বা, $2500 = \frac{n}{2} [2n]$

বা, $2500 = n^2$

বা, $n = \sqrt{2500}$

বা, $n = 50$

উত্তর:$50$টি কিস্তিতে।

২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, $l$ তম পদ $l^2$ এবং $k$ তম পদ $k^2$।

ক) ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি করো।

সমাধান: দেওয়া আছে,

প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$।

উদ্ধীপক অনুসারে:

$l$-তম পদ $= a + (l – 1)d = l^2$ ——- (১)

$k$-তম পদ $= a + (k – 1)d = k^2$ ——- (২)

খ) $(l + k)$ তম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান: ‘ক’ হতে পাই:

$a + (l – 1)d = l^2$ ——- (১)

$a + (k – 1)d = k^2$ ——- (২)

(১) নং সমীকরণ হতে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$(l – 1)d – (k – 1)d = l^2 – k^2$

বা, $(l – 1 – k + 1)d = (l – k)(l + k)$

বা, $(l – k)d = (l – k)(l + k)$

বা, $d = l + k$ [উভয়পক্ষকে $(l – k)$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($l \neq k$)]

এখন, $(l + k)$-তম পদ $= a + (l + k – 1)d$

$= a + (l – 1 + k)d$

$= a + (l – 1)d + kd$

$= l^2 + k(l + k)$ [ (১) হতে $a + (l – 1)d = l^2$ এবং $d = l + k$ বসিয়ে ]

$= l^2 + kl + k^2$

$= l^2 + lk + k^2$

উত্তর:$l^2 + lk + k^2$

গ) প্রমাণ করো ধারাটির প্রথম $(l + k)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{l + k}{2} (l^2 + k^2 + l + k)$

সমাধান: ‘ক’ হতে পাই:

$a + (l – 1)d = l^2$ ——- (১)

$a + (k – 1)d = k^2$ ——- (২)

(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$a + (l – 1)d + a + (k – 1)d = l^2 + k^2$

বা, $2a + (l – 1 + k – 1)d = l^2 + k^2$

বা, $2a + (l + k – 2)d = l^2 + k^2$

বা, $2a + (l + k – 1)d – d = l^2 + k^2$

বা, $2a + (l + k – 1)d = l^2 + k^2 + d$

‘খ’ হতে $d = l + k$ বসিয়ে পাই:

$2a + (l + k – 1)d = l^2 + k^2 + l + k$ ——- (৩)

এখন, ধারাটির প্রথম $(l + k)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি:

$S_{l+k} = \frac{l + k}{2} [2a + (l + k – 1)d]$

(৩) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,

$S_{l+k} = \frac{l + k}{2} (l^2 + k^2 + l + k)$(প্রমাণিত)