অনুশীলনী ১১.১: বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত
১. দুটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a$ মিটার এবং $b$ মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গমিটার।
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $b$ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল = $b^2$ বর্গমিটার।
অতএব, বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $a^2 : b^2$
২. একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ এবং বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2$
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = $2\pi r$
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$
প্রশ্নানুসারে, $\pi r^2 = a^2$
বা, $a = \sqrt{\pi r^2}$
বা, $a = r\sqrt{\pi}$
এখন, পরিসীমার অনুপাত:
$= \frac{2\pi r}{4a}$
$= \frac{2\pi r}{4 \cdot r\sqrt{\pi}}$
$= \frac{\pi}{2\sqrt{\pi}}$
$= \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{\pi}}$
$= \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
অতএব, বৃত্ত ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অনুপাত = $\sqrt{\pi} : 2$
৩. দুইটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ এবং এদের ল.সা.গু. 180। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ এবং $4x$ (যেখানে $x \neq 0$)।
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = $12x$
প্রশ্নানুসারে, $12x = 180$
বা, $x = \frac{180}{12}$
বা, $x = 15$
অতএব, প্রথম সংখ্যাটি = $3 \times 15 = 45$
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = $4 \times 15 = 60$
৪. একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত $1 : 4$, অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ করো।
সমাধান:
ধরি, অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $x$ এবং উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা = $4x$।
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = $x + 4x = 5x$
অতএব, মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে অনুপস্থিত শিক্ষার্থীর শতকরা হার:
$= \left( \frac{x}{5x} \times 100 \right)\%$
$= \left( \frac{1}{5} \times 100 \right)\%$
$= 20\%$
৫. একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি, ক্রয়মূল্য = $100$ টাকা।
$28\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = $(100 – 28) = 72$ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত:
$= 72 : 100$
$= \frac{72}{100}$
$= \frac{18}{25}$
$= 18 : 25$
৬. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। 7 বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল $5 : 2$। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = $70$ বছর।
$7$ বছর পূর্বে তাদের বয়সের সমষ্টি ছিল = $70 – (7 \times 2) = 56$ বছর।
ধরি, $7$ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল $5x$ এবং পুত্রের বয়স ছিল $2x$।
প্রশ্নানুসারে, $5x + 2x = 56$
বা, $7x = 56$
বা, $x = 8$
তাহলে, $7$ বছর পূর্বে:
পিতার বয়স ছিল = $5 \times 8 = 40$ বছর
পুত্রের বয়স ছিল = $2 \times 8 = 16$ বছর
বর্তমানে:
পিতার বয়স = $40 + 7 = 47$ বছর
পুত্রের বয়স = $16 + 7 = 23$ বছর
$5$ বছর পর:
পিতার বয়স হবে = $47 + 5 = 52$ বছর
পুত্রের বয়স হবে = $23 + 5 = 28$ বছর
অতএব, $5$ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = $52 : 28 = 13 : 7$
৭. যদি $a : b = b : c$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
দেওয়া আছে, $a : b = b : c$
বা, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
বা, $b^2 = ac$
ক) $\frac{a}{c} = \frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}$
সমাধান:
বামপক্ষ = $\frac{a}{c}$
ডানপক্ষ = $\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}$
$= \frac{a^2 + ac}{ac + c^2}$(যেহেতু $b^2 = ac$)
$= \frac{a(a + c)}{c(a + c)}$
$= \frac{a}{c}$
অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{a}{c} = \frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}$(প্রমাণিত)
খ) $a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\right) = a^3 + b^3 + c^3$
সমাধান:
বামপক্ষ $= a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\right)$
$= \frac{a^2b^2c^2}{a^3} + \frac{a^2b^2c^2}{b^3} + \frac{a^2b^2c^2}{c^3}$
$= \frac{b^2c^2}{a} + \frac{a^2c^2}{b} + \frac{a^2b^2}{c}$
$= \frac{(ac)c^2}{a} + \frac{(b^2)^2}{b} + \frac{a^2(ac)}{c}$ [$b^2 = ac$ মান বসিয়ে]
$= \frac{ac^3}{a} + \frac{b^4}{b} + \frac{a^3c}{c}$
$= c^3 + b^3 + a^3$
$= a^3 + b^3 + c^3 = \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)
গ) $\frac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + ca)^3} = 1$
সমাধান: দেওয়া আছে, $b^2 = ac$
বামপক্ষ $= \frac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + ca)^3}$
হরের অংশটি আলাদাভাবে মান বসাই:
$ab + bc + ca = ab + bc + b^2$(যেহেতু $ca = b^2$)
$= b(a + c + b)$
$= b(a + b + c)$
সুতরাং, হরের ঘন $= [b(a + b + c)]^3 = b^3(a + b + c)^3$
এখন বামপক্ষে মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{abc(a + b + c)^3}{b^3(a + b + c)^3}$
$= \frac{abc}{b^3}$
$= \frac{abc}{b \cdot b^2}$
$= \frac{abc}{b \cdot (ac)}$
$= \frac{abc}{abc}$
$= 1 = \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)
৮. সমাধান করো:
ক) $\frac{1 – \sqrt{1 – x}}{1 + \sqrt{1 – x}} = \frac{1}{3}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{1 – \sqrt{1 – x}}{1 + \sqrt{1 – x}} = \frac{1}{3}$
বা, $\frac{(1 – \sqrt{1 – x}) + (1 + \sqrt{1 – x})}{(1 – \sqrt{1 – x}) – (1 + \sqrt{1 – x})} = \frac{1 + 3}{1 – 3}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2}{-2\sqrt{1 – x}} = \frac{4}{-2}$
বা, $\frac{1}{\sqrt{1 – x}} = 2$
বা, $\sqrt{1 – x} = \frac{1}{2}$
বা, $1 – x = \frac{1}{4}$ [উভয়পাশে বর্গ করে]
বা, $x = 1 – \frac{1}{4}$
বা, $x = \frac{3}{4}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{3}{4}$
খ) $\frac{a + x – \sqrt{a^2 – x^2}}{a + x + \sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{b}{x}, \, 2a > b > 0$ এবং $x \neq 0$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{a + x – \sqrt{a^2 – x^2}}{a + x + \sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{b}{x}$
বা, $\frac{(a + x – \sqrt{a^2 – x^2}) + (a + x + \sqrt{a^2 – x^2})}{(a + x – \sqrt{a^2 – x^2}) – (a + x + \sqrt{a^2 – x^2})} = \frac{b + x}{b – x}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2(a + x)}{-2\sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{b + x}{b – x}$
বা, $\frac{a + x}{\sqrt{(a + x)(a – x)}} = \frac{x + b}{x – b}$(উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে)
বা, $\frac{\sqrt{a + x} \cdot \sqrt{a + x}}{\sqrt{a + x} \cdot \sqrt{a – x}} = \frac{x + b}{x – b}$
বা, $\sqrt{\frac{a + x}{a – x}} = \frac{x + b}{x – b}$
বা, $\frac{a + x}{a – x} = \frac{(x + b)^2}{(x – b)^2} = \frac{x^2 + 2bx + b^2}{x^2 – 2bx + b^2}$ [উভয়পাশে বর্গ করে]
বা, $\frac{(a + x) + (a – x)}{(a + x) – (a – x)} = \frac{(x^2 + 2bx + b^2) + (x^2 – 2bx + b^2)}{(x^2 + 2bx + b^2) – (x^2 – 2bx + b^2)}$ [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2a}{2x} = \frac{2(x^2 + b^2)}{4bx}$
বা, $\frac{a}{x} = \frac{x^2 + b^2}{2bx}$
বা, $a = \frac{x^2 + b^2}{2b}$ [উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা গুণ করে পাই ($x \neq 0$)]
বা, $x^2 + b^2 = 2ab$
বা, $x^2 = 2ab – b^2$
বা, $x = \pm \sqrt{2ab – b^2}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \pm \sqrt{2ab – b^2}$
গ) $81 \left(\frac{1 – x}{1 + x}\right)^3 = \frac{1 + x}{1 – x}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $81 \left(\frac{1 – x}{1 + x}\right)^3 = \frac{1 + x}{1 – x}$
বা, $81 = \frac{1 + x}{1 – x} \div \left(\frac{1 – x}{1 + x}\right)^3$
বা, $81 = \frac{1 + x}{1 – x} \times \left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)^3$
বা, $\left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)^4 = 81$
বা, $\left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)^4 = 3^4$
বা, $\frac{1 + x}{1 – x} = \pm 3$
এখন, ধনাত্মক মান (+) নিয়ে পাই,
$\frac{1 + x}{1 – x} = 3$
বা, $1 + x = 3(1 – x)$
বা, $1 + x = 3 – 3x$
বা, $x + 3x = 3 – 1$
বা, $4x = 2$
বা, $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
আবার, ঋণাত্মক মান (-) নিয়ে পাই,
$\frac{1 + x}{1 – x} = -3$
বা, $1 + x = -3(1 – x)$
বা, $1 + x = -3 + 3x$
বা, $3x – x = 1 + 3$
বা, $2x = 4$
বা, $x = 2$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{2}$ অথবা $x = 2$
৯. $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে,
সমাধান: ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$
তাহলে,
$c = dk$
$b = ck = (dk)k = dk^2$
$a = bk = (dk^2)k = dk^3$
ক) $\frac{a^3 + b^3}{b^3 + c^3} = \frac{b^3 + c^3}{c^3 + d^3}$
বামপক্ষ = $\frac{a^3 + b^3}{b^3 + c^3}$
$= \frac{(dk^3)^3 + (dk^2)^3}{(dk^2)^3 + (dk)^3}$
$= \frac{d^3k^9 + d^3k^6}{d^3k^6 + d^3k^3}$
$= \frac{d^3k^6(k^3 + 1)}{d^3k^3(k^3 + 1)}$
$= k^3$
ডানপক্ষ = $\frac{b^3 + c^3}{c^3 + d^3}$
$= \frac{(dk^2)^3 + (dk)^3}{(dk)^3 + d^3}$
$= \frac{d^3k^6 + d^3k^3}{d^3k^3 + d^3}$
$= \frac{d^3k^3(k^3 + 1)}{d^3(k^3 + 1)}$
$= k^3$
অতএব, $\frac{a^3 + b^3}{b^3 + c^3} = \frac{b^3 + c^3}{c^3 + d^3}$(দেখানো হলো)
খ) $(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$
বামপক্ষ = $(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2)$
$= [(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2][(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2]$
$= (d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2)(d^2k^4 + d^2k^2 + d^2)$
$= d^2k^2(k^4 + k^2 + 1) \cdot d^2(k^4 + k^2 + 1)$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
ডানপক্ষ = $(ab + bc + cd)^2$
$= [(dk^3)(dk^2) + (dk^2)(dk) + (dk)d]^2$
$= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2$
$= [d^2k(k^4 + k^2 + 1)]^2$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
অতএব, $(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$(দেখানো হলো)
১০. $x = \frac{4ab}{a + b}$ হলে, দেখাও যে, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = 2, \, a \neq b$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x = \frac{4ab}{a + b}$
বা, $\frac{x}{2a} = \frac{2b}{a + b}$ [উভয়পক্ষকে $2a$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} = \frac{2b + (a + b)}{2b – (a + b)}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} = \frac{a + 3b}{b – a}$ ——- (১)
আবার,
$\frac{x}{2b} = \frac{2a}{a + b}$ [মূল সমীকরণের উভয়পক্ষকে $2b$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{2a + (a + b)}{2a – (a + b)}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{3a + b}{a – b}$ ——- (২)
ধাপ ৩: (১) ও (২) নম্বর সমীকরণ যোগ করি:
$\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{a + 3b}{b – a} + \frac{3a + b}{a – b}$
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = -\frac{a + 3b}{a – b} + \frac{3a + b}{a – b}$
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{(3a + b) – (a + 3b)}{a – b}$
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{2a – 2b}{a – b}$
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = \frac{2(a – b)}{a – b}$
বা, $\frac{x + 2a}{x – 2a} + \frac{x + 2b}{x – 2b} = 2$(দেখানো হলো)
১১. $x = \frac{\sqrt[3]{m+1} + \sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1} – \sqrt[3]{m-1}}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $x^3 – 3mx^2 + 3x – m = 0$
সমাধান: দেওয়া আছে, $x = \frac{\sqrt[3]{m+1} + \sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1} – \sqrt[3]{m-1}}$
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{(\sqrt[3]{m+1} + \sqrt[3]{m-1}) + (\sqrt[3]{m+1} – \sqrt[3]{m-1})}{(\sqrt[3]{m+1} + \sqrt[3]{m-1}) – (\sqrt[3]{m+1} – \sqrt[3]{m-1})}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{2\sqrt[3]{m+1}}{2\sqrt[3]{m-1}}$
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{\sqrt[3]{m+1}}{\sqrt[3]{m-1}}$
বা, $\frac{(x + 1)^3}{(x – 1)^3} = \frac{m + 1}{m – 1}$ [উভয়পাশে ঘন করে]
বা, $\frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^3 – 3x^2 + 3x – 1} = \frac{m + 1}{m – 1}$
বা, $\frac{(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 – 3x^2 + 3x – 1)}{(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 3x^2 + 3x – 1)} = \frac{(m + 1) + (m – 1)}{(m + 1) – (m – 1)}$ [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2x^3 + 6x}{6x^2 + 2} = \frac{2m}{2}$
বা, $\frac{2(x^3 + 3x)}{2(3x^2 + 1)} = m$
বা, $\frac{x^3 + 3x}{3x^2 + 1} = m$
বা, $x^3 + 3x = m(3x^2 + 1)$ [আড়গুণন করে]
বা, $x^3 + 3x = 3mx^2 + m$
বা, $x^3 – 3mx^2 + 3x – m = 0$(প্রমাণিত)
অনুশীলনী ১১.১
১২. $x = \frac{\sqrt{2a + 3b} + \sqrt{2a – 3b}}{\sqrt{2a + 3b} – \sqrt{2a – 3b}}$ হলে, দেখাও যে, $3bx^2 – 4ax + 3b = 0$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x = \frac{\sqrt{2a + 3b} + \sqrt{2a – 3b}}{\sqrt{2a + 3b} – \sqrt{2a – 3b}}$
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{(\sqrt{2a + 3b} + \sqrt{2a – 3b}) + (\sqrt{2a + 3b} – \sqrt{2a – 3b})}{(\sqrt{2a + 3b} + \sqrt{2a – 3b}) – (\sqrt{2a + 3b} – \sqrt{2a – 3b})}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{2\sqrt{2a + 3b}}{2\sqrt{2a – 3b}}$
বা, $\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{\sqrt{2a + 3b}}{\sqrt{2a – 3b}}$
বা, $\frac{(x + 1)^2}{(x – 1)^2} = \frac{2a + 3b}{2a – 3b}$ [উভয়পাশে বর্গ করে]
বা, $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 – 2x + 1} = \frac{2a + 3b}{2a – 3b}$
বা, $\frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 – 2x + 1)}{(x^2 + 2x + 1) – (x^2 – 2x + 1)} = \frac{(2a + 3b) + (2a – 3b)}{(2a + 3b) – (2a – 3b)}$ [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2(x^2 + 1)}{4x} = \frac{4a}{6b}$
বা, $\frac{x^2 + 1}{2x} = \frac{2a}{3b}$
বা, $3b(x^2 + 1) = 4ax$ [আড়গুণন করে]
বা, $3bx^2 + 3b = 4ax$
বা, $3bx^2 – 4ax + 3b = 0$(দেখানো হলো)
১৩. $\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{(a + b)^2}{(b + c)^2}$ হলে, দেখাও যে, $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{(a + b)^2}{(b + c)^2}$
বা, $\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{b^2 + 2bc + c^2}$
বা, $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2 + 2bc + c^2}$
বা, $\frac{(a^2 + b^2) – (a^2 + 2ab + b^2)}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(b^2 + c^2) – (b^2 + 2bc + c^2)}{b^2 + 2bc + c^2}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{-2ab}{(a + b)^2} = \frac{-2bc}{(b + c)^2}$
বা, $\frac{a}{(a + b)^2} = \frac{c}{(b + c)^2}$ [উভয়পক্ষকে $-2b$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $a(b + c)^2 = c(a + b)^2$
বা, $a(b^2 + 2bc + c^2) = c(a^2 + 2ab + b^2)$
বা, $ab^2 + 2abc + ac^2 = a^2c + 2abc + b^2c$
বা, $ab^2 + ac^2 = a^2c + b^2c$
বা, $ab^2 – b^2c = a^2c – ac^2$
বা, $b^2(a – c) = ac(a – c)$
বা, $b^2 = ac$ [উভয়পক্ষকে $(a – c)$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
অতএব, $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী। (দেখানো হলো)
১৪. $\frac{x}{b + c} = \frac{y}{c + a} = \frac{z}{a + b}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\frac{a}{y + z – x} = \frac{b}{z + x – y} = \frac{c}{x + y – z}$
সমাধান: ধরি, $\frac{x}{b + c} = \frac{y}{c + a} = \frac{z}{a + b} = k$
তাহলে,
$x = k(b + c)$
$y = k(c + a)$
$z = k(a + b)$
এখন,
$y + z – x = k(c + a) + k(a + b) – k(b + c) = k(c + a + a + b – b – c) = k(2a) = 2ak$
অতএব, $\frac{a}{y + z – x} = \frac{a}{2ak} = \frac{1}{2k}$
$z + x – y = k(a + b) + k(b + c) – k(c + a) = k(a + b + b + c – c – a) = k(2b) = 2bk$
অতএব, $\frac{b}{z + x – y} = \frac{b}{2bk} = \frac{1}{2k}$
$x + y – z = k(b + c) + k(c + a) – k(a + b) = k(b + c + c + a – a – b) = k(2c) = 2ck$
অতএব, $\frac{c}{x + y – z} = \frac{c}{2ck} = \frac{1}{2k}$
সুতরাং, $\frac{a}{y + z – x} = \frac{b}{z + x – y} = \frac{c}{x + y – z}$(প্রমাণিত)
১৫. $\frac{bz – cy}{a} = \frac{cx – az}{b} = \frac{ay – bx}{c}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$
সমাধান: ধরি, $\frac{bz – cy}{a} = \frac{cx – az}{b} = \frac{ay – bx}{c} = k$
তাহলে,
$bz – cy = ak$ ——- (১)
$cx – az = bk$ ——- (২)
$ay – bx = ck$ ——- (৩)
(১) নং কে $x$, (২) নং কে $y$ এবং (৩) নং কে $z$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি,
$x(bz – cy) + y(cx – az) + z(ay – bx) = akx + bky + ckz$
বা, $bxz – cxy + cxy – ayz + ayz – bxz = k(ax + by + cz)$
বা, $0 = k(ax + by + cz)$
যেহেতু $(ax + by + cz) \neq 0$, তাই $k = 0$
এখন $k = 0$ মান বসিয়ে পাই,
(১) নং থেকে: $bz – cy = 0$ বা, $bz = cy$ বা, $\frac{y}{b} = \frac{z}{c}$
(২) নং থেকে: $cx – az = 0$ বা, $cx = az$ বা, $\frac{x}{a} = \frac{z}{c}$
অতএব, $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$(প্রমাণিত)
১৬. $\frac{a + b – c}{a + b} = \frac{b + c – a}{b + c} = \frac{c + a – b}{c + a}$ এবং $a + b + c \neq 0$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a = b = c$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{a + b – c}{a + b} = \frac{b + c – a}{b + c} = \frac{c + a – b}{c + a}$
বা, $\frac{(a + b – c) – (a + b)}{a + b} = \frac{(b + c – a) – (b + c)}{b + c} = \frac{(c + a – b) – (c + a)}{c + a}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{-c}{a + b} = \frac{-a}{b + c} = \frac{-b}{c + a}$
বা, $\frac{c}{a + b} = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a}$ [উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ [ব্যস্তকরণ করে]
বা, $\frac{a + b}{c} + 1 = \frac{b + c}{a} + 1 = \frac{c + a}{b} + 1$ [প্রত্যেকটি পদের সাথে $1$ যোগ করে]
বা, $\frac{a + b + c}{c} = \frac{b + c + a}{a} = \frac{c + a + b}{b}$
যেহেতু $a + b + c \neq 0$, তাই উভয়পক্ষকে $(a + b + c)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} = \frac{1}{b}$
বা, $c = a = b$
অতএব, $a = b = c$(প্রমাণিত)
১৭. $\frac{x}{xa + yb + zc} = \frac{y}{ya + zb + xc} = \frac{z}{za + xb + yc}$ এবং $x + y + z \neq 0$ হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত $= \frac{1}{a + b + c}$
সমাধান:
অনুপাত সংযোজন নিয়ম অনুযায়ী,
প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x + y + z}{(xa + yb + zc) + (ya + zb + xc) + (za + xb + yc)}$
বা, প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x + y + z}{a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z)}$
বা, প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x + y + z}{(x + y + z)(a + b + c)}$
যেহেতু $x + y + z \neq 0$, তাই লব ও হর থেকে $(x + y + z)$ বাদ দিয়ে পাই:
প্রতিটি অনুপাত $= \frac{1}{a + b + c}$(দেখানো হলো)
১৮. যদি $(a + b + c)p = (b + c – a)q = (c + a – b)r = (a + b – c)s$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{p}$
সমাধান:
ধরি, $(a + b + c)p = (b + c – a)q = (c + a – b)r = (a + b – c)s = k$
তাহলে,
$\frac{1}{p} = \frac{a + b + c}{k}$
$\frac{1}{q} = \frac{b + c – a}{k}$
$\frac{1}{r} = \frac{c + a – b}{k}$
$\frac{1}{s} = \frac{a + b – c}{k}$
বামপক্ষ $= \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{b + c – a}{k} + \frac{c + a – b}{k} + \frac{a + b – c}{k}$
$= \frac{(b + c – a) + (c + a – b) + (a + b – c)}{k}$
$= \frac{a + b + c}{k}$
$= \frac{1}{p} = \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)
১৯. যদি $lx = my = nz$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy} = \frac{mn}{l^2} + \frac{nl}{m^2} + \frac{lm}{n^2}$
সমাধান: ধরি, $lx = my = nz = k$
তাহলে,
$x = \frac{k}{l}$, $y = \frac{k}{m}$, $z = \frac{k}{n}$
বামপক্ষ $= \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}$
$= \frac{\left(\frac{k}{l}\right)^2}{\left(\frac{k}{m}\right)\left(\frac{k}{n}\right)} + \frac{\left(\frac{k}{m}\right)^2}{\left(\frac{k}{n}\right)\left(\frac{k}{l}\right)} + \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{\left(\frac{k}{l}\right)\left(\frac{k}{m}\right)}$
$= \frac{\frac{k^2}{l^2}}{\frac{k^2}{mn}} + \frac{\frac{k^2}{m^2}}{\frac{k^2}{nl}} + \frac{\frac{k^2}{n^2}}{\frac{k^2}{lm}}$
$= \left(\frac{k^2}{l^2} \times \frac{mn}{k^2}\right) + \left(\frac{k^2}{m^2} \times \frac{nl}{k^2}\right) + \left(\frac{k^2}{n^2} \times \frac{lm}{k^2}\right)$
$= \frac{mn}{l^2} + \frac{nl}{m^2} + \frac{lm}{n^2} = \text{ডানপক্ষ}$(দেখানো হলো)
২০. যদি $\frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2}$ এবং $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{a + q}}{\sqrt{a – q}}$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{p + q}{a} = \frac{p – q}{q}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{a + q}}{\sqrt{a – q}}$
বা, $\frac{a^2}{b^2} = \frac{a + q}{a – q}$ [উভয়পাশে বর্গ করে]
আবার দেওয়া আছে, $\frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2}$
সুতরাং,
$\frac{p}{q} = \frac{a + q}{a – q}$ [একান্তরকরণ করে]
বা, $\frac{p}{a + q} = \frac{q}{a – q}$
বা, $\frac{p + q}{p – q} = \frac{(a + q) + (a – q)}{(a + q) – (a – q)}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{p + q}{p – q} = \frac{2a}{2q}$
বা, $\frac{p + q}{p – q} = \frac{a}{q}$
বা, $\frac{p + q}{a} = \frac{p – q}{q}$ [একান্তরকরণ করে] (দেখানো হলো)