অনুশীলনী ৪.৪: বীজগণিতীয় রাশির গসাগু ও লসাগু
১. $(3x – 5)(5 + 3x)$ কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান: প্রদত্ত রাশি $= (3x – 5)(5 + 3x)$
$= (3x – 5)(3x + 5)$
$= (3x)^2 – (5)^2$
দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপ হলো $(3x)^2 – 5^2$।
সঠিক উত্তর: (গ) $(3x)^2 – 5^2$
নিচের তথ্যের আলোকে (২-৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:
$x^2 – \sqrt{3}x + 1 = 0 \text{ হলে}$
২. $x + \frac{1}{x}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান: দেওয়া আছে,
$x^2 – \sqrt{3}x + 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 1 = \sqrt{3}x$
$\Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{\sqrt{3}x}{x}$ [উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে]
$\Rightarrow \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$
সঠিক উত্তর: (ঘ) $\sqrt{3}$
৩. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান: $x^2 + \frac{1}{x^2}$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$= (\sqrt{3})^2 – 2$
$= 3 – 2$
$= 1$
সঠিক উত্তর: (ক) 1
৪. $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান: $x^3 + \frac{1}{x^3}$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= (\sqrt{3})^3 – 3(\sqrt{3})$
$= 3\sqrt{3} – 3\sqrt{3}$
$= 0$
সঠিক উত্তর: (ঘ) 0
৫. $x^2 – x – 30$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষিতরূপ নিচের কোনটি?
সমাধান: $x^2 – x – 30$
$= x^2 – 6x + 5x – 30$
$= x(x – 6) + 5(x – 6)$
$= (x – 6)(x + 5)$ বা, $(x + 5)(x – 6)$
সঠিক উত্তর: (খ) $(x + 5)(x – 6)$
৬. বীজগণিতের সূত্রাবলিতে
i. $x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2)$ (সঠিক)
ii. $ab = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2$ (সঠিক)
iii. $x^3 + y^3 = (x + y)^3 + 3xy(x + y)$ (ভুল, সঠিক সূত্র: $(x + y)^3 – 3xy(x + y)$)
উপরের তথ্য অনুযায়ী নিচের কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
৭. $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে,
(১) $\left(x – \frac{1}{x}\right)^2$ এর মান কত?
সমাধান: $\left(x – \frac{1}{x}\right)^2$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$= (2)^2 – 4$
$= 4 – 4$
$= 0$
সঠিক উত্তর: (ক) 0
(২) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান কত?
সমাধান: $x^3 + \frac{1}{x^3}$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= (2)^3 – 3(2)$
$= 8 – 6$
$= 2$
সঠিক উত্তর: (খ) 2
(৩) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান কত?
সমাধান: $x^4 + \frac{1}{x^4}$
$= \left(x^2\right)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2$
$= \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$
$= \left\{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2\right\}^2 – 2$
$= \left\{(2)^2 – 2\right\}^2 – 2$
$= (4 – 2)^2 – 2$
$= (2)^2 – 2$
$= 4 – 2$
$= 2$
সঠিক উত্তর: (ঘ) 2
গ.সা.গু. নির্ণয় করো (৮–১৩) :
৮. $36a^2b^2c^4d^5$, $54a^5c^2d^4$ এবং $90a^4b^3c^2$
সমাধান: সংখ্যা সহগ $36, 54$ এবং $90$ এর গ.সা.গু. $= 18$
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতসমূহ:
$a$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= a^2$
$b$ প্রতিটি রাশিতে বিদ্যমান নয়।
$c$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= c^2$
$d$ প্রতিটি রাশিতে বিদ্যমান নয়।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 18a^2c^2$(উত্তর)
৯. $20x^3y^2a^3b^4$, $15x^4y^3a^4b^3$ এবং $35x^2y^4a^3b^2$
সমাধান: সংখ্যা সহগ $20, 15$ এবং $35$ এর গ.সা.গু. $= 5$
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতসমূহ:
$x$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= x^2$
$y$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= y^2$
$a$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= a^3$
$b$ এর সর্বনিম্ন ঘাত $= b^2$
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 5a^3b^2x^2y^2$(উত্তর)
১০. $x^2 – 3x$, $x^2 – 9$ এবং $x^2 – 4x + 3$
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 3x = x(x – 3)$
২য় রাশি $= x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x + 3)(x – 3)$
৩য় রাশি $= x^2 – 4x + 3$
$= x^2 – 3x – x + 3$
$= x(x – 3) – 1(x – 3)$
$= (x – 3)(x – 1)$
সাধারণ উৎপাদক হলো $(x – 3)$
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x – 3$(উত্তর)
১১. $18(x + y)^3$, $24(x + y)^2$ এবং $32(x^2 – y^2)$
সমাধান: সংখ্যা সহগ $18, 24$ এবং $32$ এর গ.সা.গু. $= 2$
১ম রাশি $= 18(x + y)^3 = 18(x + y)(x + y)(x + y)$
২য় রাশি $= 24(x + y)^2 = 24(x + y)(x + y)$
৩য় রাশি $= 32(x^2 – y^2) = 32(x + y)(x – y)$
সাধারণ উৎপাদক হলো $(x + y)$
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 2(x + y)$(উত্তর)
১২. $a^2b(a^3 – b^3)$, $a^2b^2(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ এবং $a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^2b(a^3 – b^3) = a \times a \times b \times (a – b)(a^2 + ab + b^2)$
২য় রাশি $= a \times a \times b \times b\times (a^4 + a^2b^2 + b^4)$
$= a \times a \times b \times b\times \{(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 – a^2b^2\}$
$= a \times a \times b \times b\times \{(a^2 + b^2)^2 – (ab)^2\}$
$= a \times a \times b \times b\times (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 – ab)$
$= a \times a \times b \times b\times (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)$
৩য় রাশি $= a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4$
$= ab^2(a^2 + ab + b^2)$
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= ab(a^2 + ab + b^2)$(উত্তর)
১৩. $a^3 – 3a^2 – 10a$, $a^3 + 6a^2 + 8a$ এবং $a^4 – 5a^3 – 14a^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^3 – 3a^2 – 10a$
$= a(a^2 – 3a – 10)$
$= a(a^2 – 5a + 2a – 10)$
$= a\{a(a – 5) + 2(a – 5)\}$
$= a(a – 5)(a + 2)$
২য় রাশি $= a^3 + 6a^2 + 8a$
$= a(a^2 + 6a + 8)$
$= a(a^2 + 4a + 2a + 8)$
$= a\{a(a + 4) + 2(a + 4)\}$
$= a(a + 4)(a + 2)$
৩য় রাশি $= a^4 – 5a^3 – 14a^2$
$= a^2(a^2 – 5a – 14)$
$= a^2(a^2 – 7a + 2a – 14)$
$= a^2\{a(a – 7) + 2(a – 7)\}$
$= a^2(a – 7)(a + 2)$
সাধারণ উৎপাদকসমূহ: $a$ এবং $(a + 2)$
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= a(a + 2)$(উত্তর)
ল.সা.গু. নির্ণয় করো (১৪–১৯) :
১৪. $a^5b^2c$, $ab^3c^2$ এবং $a^7b^4c^3$
সমাধান:
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতসমূহ:
$a$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= a^7$
$b$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= b^4$
$c$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= c^3$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a^7b^4c^3$(উত্তর)
১৫. $5a^2b^3c^2$, $10ab^2c^3$ এবং $15ab^3c$
সমাধান:
সংখ্যা সহগ $5, 10$ এবং $15$ এর ল.সা.গু. $=30$
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতসমূহ:
$a$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= a^2$
$b$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= b^3$
$c$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= c^3$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 30a^2b^3c^3$(উত্তর)
১৬. $3x^3y^2$, $4xy^3z$, $5x^4y^2z^2$ এবং $12xy^4z^2$
সমাধান: সংখ্যা সহগ $3, 4, 5$ এবং $12$ এর ল.সা.গু. $= 60$
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতসমূহ:
$x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= x^4$
$y$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= y^4$
$z$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $= z^2$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 60x^4y^4z^2$(উত্তর)
১৭. $x^2 – 4$, $x^2 + 4x + 4$ এবং $x^3 – 8$
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x + 2)(x – 2)$
২য় রাশি $= x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2$
৩য় রাশি $= x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x + 2)^2(x – 2)(x^2 + 2x + 4)$(উত্তর)
১৮. $6x^2 – x – 1$, $3x^2 + 7x + 2$ এবং $2x^2 + 3x – 2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 6x^2 – x – 1$
$= 6x^2 – 3x + 2x – 1$
$= 3x(2x – 1) + 1(2x – 1)$
$= (2x – 1)(3x + 1)$
২য় রাশি $= 3x^2 + 7x + 2$
$= 3x^2 + 6x + x + 2$
$= 3x(x + 2) + 1(x + 2)$
$= (x + 2)(3x + 1)$
৩য় রাশি $= 2x^2 + 3x – 2$
$= 2x^2 + 4x – x – 2$
$= 2x(x + 2) – 1(x + 2)$
$= (x + 2)(2x – 1)$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (2x – 1)(3x + 1)(x + 2)$(উত্তর)
১৯. $a^3 + b^3$, $(a + b)^3$, $(a^2 – b^2)^2$ এবং $(a^2 – ab + b^2)^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
২য় রাশি $= (a + b)^3$
৩য় রাশি $= (a^2 – b^2)^2 = \{(a + b)(a – b)\}^2 = (a + b)^2(a – b)^2$
৪র্থ রাশি $= (a^2 – ab + b^2)^2$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (a + b)^3(a – b)^2(a^2 – ab + b^2)^2$(উত্তর)
২০. $3x – 5y + 3z$ এবং $3x + 5y – z$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) ১ম রাশিটির বর্গ নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি $= 3x – 5y + 3z$
$\therefore$ ১ম রাশিটির বর্গ $= (3x – 5y + 3z)^2$
$= (3x)^2 + (-5y)^2 + (3z)^2 + 2(3x)(-5y) + 2(-5y)(3z) + 2(3z)(3x)$ [আমরা জানি, $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$]
$= 9x^2 + 25y^2 + 9z^2 – 30xy – 30yz + 18zx$(উত্তর)
খ) রাশি দুইটির গুণফলকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।
সমাধান: ধরি, $A = 3x – 5y + 3z$ এবং $B = 3x + 5y – z$
আমরা জানি, $AB = \left(\frac{A + B}{2}\right)^2 – \left(\frac{A – B}{2}\right)^2$
এখানে,
$A + B = (3x – 5y + 3z) + (3x + 5y – z) = 6x + 2z$
$\Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{6x + 2z}{2} = 3x + z$
এবং,
$A – B = (3x – 5y + 3z) – (3x + 5y – z)$
$= 3x – 5y + 3z – 3x – 5y + z$
$= -10y + 4z = 4z – 10y$
$\Rightarrow \frac{A – B}{2} = \frac{4z – 10y}{2} = 2z – 5y$
$\therefore$ রাশি দুইটির গুণফলকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপ:
$= (3x + z)^2 – (2z – 5y)^2$(বা, $(3x + z)^2 – (5y – 2z)^2$)(উত্তর)
গ) ২য় রাশিটির মান শূন্য হলে প্রমাণ করো যে, $27x^3 + 125y^3 + 45xyz = z^3$
সমাধান: প্রশ্নমতে, ২য় রাশির মান শূন্য,
অর্থাৎ, $3x + 5y – z = 0$
$\Rightarrow 3x + 5y = z$
এখন, বামপক্ষ $= 27x^3 + 125y^3 + 45xyz$
$= (3x)^3 + (5y)^3 + 45xyz$
$= (3x + 5y)^3 – 3 \cdot 3x \cdot 5y (3x + 5y) + 45xyz$
$= z^3 – 45xy(z) + 45xyz$[$3x + 5y = z$ বসিয়ে]
$= z^3 – 45xyz + 45xyz$
$= z^3$
$= \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১. $-5 – y$ এর বর্গ নিচের কোনটি?
সমাধান:
$(-5 – y)^2 = \{-(5 + y)\}^2 = (5 + y)^2 = 25 + 10y + y^2 = y^2 + 10y + 25$
সঠিক উত্তর: (ক) $y^2 + 10y + 25$
২. $x^2 – 2x – 3$ ও $x^2 + 2x – 3$ এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 2x – 3 = x^2 – 3x + x – 3 = x(x – 3) + 1(x – 3) = (x – 3)(x + 1)$
২য় রাশি $= x^2 + 2x – 3 = x^2 + 3x – x – 3 = x(x + 3) – 1(x + 3) = (x + 3)(x – 1)$
যেহেতু উভয় রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ বীজগণিতীয় উৎপাদক নেই, তাই তাদের গ.সা.গু হবে $1$।
সঠিক উত্তর: (গ) 1
৩. $x^2 – 10x + 21$ ও $(x – 7)(x – 2)$ বীজগণিতীয় রাশি দুইটির —
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
১ম রাশি $= x^2 – 10x + 21 = x^2 – 7x – 3x + 21 = x(x – 7) – 3(x – 7) = (x – 7)(x – 3)$
২য় রাশি $= (x – 7)(x – 2)$
যাচাই:
i) গ.সা.গু. $= x – 7$ (সঠিক)
ii) ল.সা.গু. $= (x – 7)(x – 3)(x – 2)$ (উদ্দীপকে ল.সা.গু. দেওয়া আছে $(x – 7)(x – 3)$, তাই এটি ভুল)
iii) গুণফল $= (x – 7)(x – 3) \times (x – 7)(x – 2) = (x – 7)^2(x – 3)(x – 2)$ (সঠিক)
নিচের কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:
$x + y = 5 \text{ এবং } x – y = 3 \text{ হলে}$
৪. $xy$ এর মান কত?
সমাধান:
$xy = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 – \left(\frac{x – y}{2}\right)^2$
$= \left(\frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$= \frac{25}{4} – \frac{9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
সঠিক উত্তর: (ঘ) 4
৫. $x^2 – y^2$ এর মান কত?
সমাধান:
$x^2 – y^2 = (x + y)(x – y) = 5 \times 3 = 15$
সঠিক উত্তর: (গ) 15
সৃজনশীল প্রশ্ন
৬. $P = 3x^2 – 5x + 2$, $Q = 3x^2 – 16x – 12$ এবং $R = 3x^2 – x – 2$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) $P$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
সমাধান: $P = 3x^2 – 5x + 2$
$= 3x^2 – 3x – 2x + 2$
$= 3x(x – 1) – 2(x – 1)$
$= (x – 1)(3x – 2)$(উত্তর)
খ) $P = 0$ এবং $x \neq 0$ হলে, $9x^2 + \frac{4}{x^2}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $P = 0$
$\Rightarrow 3x^2 – 5x + 2 = 0$
$\Rightarrow 3x^2 + 2 = 5x$
যেহেতু $x \neq 0$, উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\Rightarrow \frac{3x^2 + 2}{x} = \frac{5x}{x}$
$\Rightarrow 3x + \frac{2}{x} = 5$
এখন,
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = (3x)^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2$
$= \left(3x + \frac{2}{x}\right)^2 – 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x}$
$= (5)^2 – 12$
$= 25 – 12$
$= 13$(উত্তর)
গ) $Q$ ও $R$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি, $Q = 3x^2 – 16x – 12$
$= 3x^2 – 18x + 2x – 12$
$= 3x(x – 6) + 2(x – 6)$
$= (x – 6)(3x + 2)$
২য় রাশি, $R = 3x^2 – x – 2$
$= 3x^2 – 3x + 2x – 2$
$= 3x(x – 1) + 2(x – 1)$
$= (x – 1)(3x + 2)$
$\therefore$$Q$ ও $R$ এর নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (3x + 2)(x – 6)(x – 1)$(উত্তর)
৭. $a – \frac{1}{a} = 3$ হলে –
ক) $\left(a + \frac{1}{a}\right)^2$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি,
$\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$
$= (3)^2 + 4$
$= 9 + 4$
$= 13$(উত্তর)
খ) প্রমাণ করো যে, $a^4 = 119 – \frac{1}{a^4}$
সমাধান: দেওয়া আছে, $a – \frac{1}{a} = 3$
$\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = 3^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
$\Rightarrow a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$
$\Rightarrow a^2 + \frac{1}{a^2} – 2 = 9$
$\Rightarrow a^2 + \frac{1}{a^2} = 11$
পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 = (11)^2$
$\Rightarrow (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} + \left(\frac{1}{a^2}\right)^2 = 121$
$\Rightarrow a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 121$
$\Rightarrow a^4 + \frac{1}{a^4} = 121 – 2$
$\Rightarrow a^4 + \frac{1}{a^4} = 119$
$\Rightarrow a^4 = 119 – \frac{1}{a^4}$(প্রমাণিত)
গ) $a^5 – \frac{1}{a^5}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $a – \frac{1}{a} = 3$
‘ক’ থেকে পাই, $\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 13 \Rightarrow a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}$
‘খ’ থেকে পাই, $a^2 + \frac{1}{a^2} = 11$
এখন,
$a^3 – \frac{1}{a^3} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left(a – \frac{1}{a}\right)$
$= (3)^3 + 3(3) = 27 + 9 = 36$
আবার, $\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)$ এবং $\left(a^3 – \frac{1}{a^3}\right)$ গুণ করে পাই,
$\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)\left(a^3 – \frac{1}{a^3}\right) = 11 \times 36$
$\Rightarrow a^5 – a^2 \cdot \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^2} \cdot a^3 – \frac{1}{a^5} = 396$
$\Rightarrow a^5 – \frac{1}{a} + a – \frac{1}{a^5} = 396$
$\Rightarrow \left(a^5 – \frac{1}{a^5}\right) + \left(a – \frac{1}{a}\right) = 396$
$\Rightarrow \left(a^5 – \frac{1}{a^5}\right) + 3 = 396$
$\Rightarrow a^5 – \frac{1}{a^5} = 396 – 3$
$\Rightarrow a^5 – \frac{1}{a^5} = 393$(উত্তর)
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৮।
ক) $a + b = 10$ এবং $a – b = 6$ হলে, $a^2 + b^2$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: আমরা জানি,
$2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a – b)^2$
$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) = (10)^2 + (6)^2$ [দেওয়া আছে, $a + b = 10$ এবং $a – b = 6$]
$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) = 100 + 36$
$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) = 136$
$\Rightarrow a^2 + b^2 = \frac{136}{2}$
$\Rightarrow a^2 + b^2 = 68$
উত্তর:$68$
খ) $x^2 + 6x + 8$ কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।
সমাধান: $x^2 + 6x + 8$
$= x^2 + 4x + 2x + 8$
$= x(x + 4) + 2(x + 4)$
$= (x + 4)(x + 2)$
ধরি, $A = x + 4$ এবং $B = x + 2$
আমরা জানি,
$AB = \left(\frac{A + B}{2}\right)^2 – \left(\frac{A – B}{2}\right)^2$
এখানে,
$\frac{A + B}{2} = \frac{(x + 4) + (x + 2)}{2} = \frac{2x + 6}{2} = x + 3$
$\frac{A – B}{2} = \frac{(x + 4) – (x + 2)}{2} = \frac{x + 4 – x – 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$\therefore$ দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপ $= (x + 3)^2 – (1)^2$(উত্তর)
(বিকল্প নিয়ম)
$x^2 + 6x + 8 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 – 1 = (x + 3)^2 – 1^2$
গ) $a + \frac{1}{a} = 3$ হলে, $a^3 + \frac{1}{a^3}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 – 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left(a + \frac{1}{a}\right)$
$= (3)^3 – 3(3)$
$= 27 – 9$
$= 18$
উত্তর:$18$
ঘ) $2x^2 – 9x – 35$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
সমাধান: $2x^2 – 9x – 35$
$= 2x^2 – 14x + 5x – 35$ [$2 \times (-35) = -70 = -14 \times 5$]
$= 2x(x – 7) + 5(x – 7)$
$= (x – 7)(2x + 5)$
উত্তর:$(x – 7)(2x + 5)$
ঙ) $x^2 – 3x$ ও $x^2 – 9$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 3x = x(x – 3)$
২য় রাশি $= x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x + 3)(x – 3)$
দুইটি রাশির মধ্যে সাধারণ (common) উৎপাদক হলো $(x – 3)$।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x – 3$(উত্তর)