অনুশীলনী ৪.২: বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও ঘন সম্পর্কিত সমস্যা
১. সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় করো :
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি:
- $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
- $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)$
(ক) $3x + y$
সমাধান: $(3x + y)^3$
$= (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot 3x \cdot y^2 + y^3$
$= 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot y + 9xy^2 + y^3$
$= 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$(উত্তর)
(খ) $x^2 + y$
সমাধান: $(x^2 + y)^3$
$= (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot y + 3 \cdot x^2 \cdot y^2 + y^3$
$= x^6 + 3x^4y + 3x^2y^2 + y^3$(উত্তর)
(গ) $5p + 2q$
সমাধান: $(5p + 2q)^3$
$= (5p)^3 + 3 \cdot (5p)^2 \cdot 2q + 3 \cdot 5p \cdot (2q)^2 + (2q)^3$
$= 125p^3 + 3 \cdot 25p^2 \cdot 2q + 3 \cdot 5p \cdot 4q^2 + 8q^3$
$= 125p^3 + 150p^2q + 60pq^2 + 8q^3$(উত্তর)
(ঘ) $a^2b + c^2d$
সমাধান: $(a^2b + c^2d)^3$
$= (a^2b)^3 + 3 \cdot (a^2b)^2 \cdot c^2d + 3 \cdot a^2b \cdot (c^2d)^2 + (c^2d)^3$
$= a^6b^3 + 3a^4b^2c^2d + 3a^2bc^4d^2 + c^6d^3$(উত্তর)
(ঙ) $6p – 7$
সমাধান: $(6p – 7)^3$
$= (6p)^3 – 3 \cdot (6p)^2 \cdot 7 + 3 \cdot 6p \cdot (7)^2 – (7)^3$
$= 216p^3 – 3 \cdot 36p^2 \cdot 7 + 3 \cdot 6p \cdot 49 – 343$
$= 216p^3 – 756p^2 + 882p – 343$(উত্তর)
(চ) $ax – by$
সমাধান: $(ax – by)^3$
$= (ax)^3 – 3 \cdot (ax)^2 \cdot by + 3 \cdot ax \cdot (by)^2 – (by)^3$
$= a^3x^3 – 3a^2b x^2 y + 3ab^2 x y^2 – b^3y^3$(উত্তর)
(ছ) $2p^2 – 3r^2$
সমাধান: $(2p^2 – 3r^2)^3$
$= (2p^2)^3 – 3 \cdot (2p^2)^2 \cdot 3r^2 + 3 \cdot 2p^2 \cdot (3r^2)^2 – (3r^2)^3$
$= 8p^6 – 3 \cdot 4p^4 \cdot 3r^2 + 3 \cdot 2p^2 \cdot 9r^4 – 27r^6$
$= 8p^6 – 36p^4r^2 + 54p^2r^4 – 27r^6$(উত্তর)
(জ) $x^3 + 2$
সমাধান: $(x^3 + 2)^3$
$= (x^3)^3 + 3 \cdot (x^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x^3 \cdot (2)^2 + (2)^3$
$= x^9 + 6x^6 + 12x^3 + 8$(উত্তর)
(ঝ) $2m + 3n – 5p$
সমাধান: $(2m + 3n – 5p)^3$
$= \{(2m + 3n) – 5p\}^3$
$= (2m + 3n)^3 – 3 \cdot (2m + 3n)^2 \cdot 5p + 3 \cdot (2m + 3n) \cdot (5p)^2 – (5p)^3$
$= \{(2m)^3 + 3(2m)^2(3n) + 3(2m)(3n)^2 + (3n)^3\} – 15p(4m^2 + 12mn + 9n^2) + 3(2m + 3n)(25p^2) – 125p^3$
$= (8m^3 + 36m^2n + 54mn^2 + 27n^3) – (60m^2p + 180mnp + 135n^2p) + 75p^2(2m + 3n) – 125p^3$
$= 8m^3 + 27n^3 – 125p^3 + 36m^2n + 54mn^2 – 60m^2p – 135n^2p + 150mp^2 + 225np^2 – 180mnp$(উত্তর)
(ঞ) $x^2 – y^2 + z^2$
সমাধান: $(x^2 – y^2 + z^2)^3$
$= \{(x^2 – y^2) + z^2\}^3$
$= (x^2 – y^2)^3 + 3(x^2 – y^2)^2(z^2) + 3(x^2 – y^2)(z^2)^2 + (z^2)^3$
$= \{(x^2)^3 – 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 – (y^2)^3\} + 3z^2(x^4 – 2x^2y^2 + y^4) + 3z^4(x^2 – y^2) + z^6$
$= x^6 – 3x^4y^2 + 3x^2y^4 – y^6 + 3x^4z^2 – 6x^2y^2z^2 + 3y^4z^2 + 3x^2z^4 – 3y^2z^4 + z^6$
$= x^6 – y^6 + z^6 – 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + 3x^4z^2 + 3y^4z^2 + 3x^2z^4 – 3y^2z^4 – 6x^2y^2z^2$(উত্তর)
(ট) $a^2b^2 – c^2d^2$
সমাধান: $(a^2b^2 – c^2d^2)^3$
$= (a^2b^2)^3 – 3 \cdot (a^2b^2)^2 \cdot c^2d^2 + 3 \cdot a^2b^2 \cdot (c^2d^2)^2 – (c^2d^2)^3$
$= a^6b^6 – 3a^4b^4c^2d^2 + 3a^2b^2c^4d^4 – c^6d^6$(উত্তর)
(ঠ) $a^2b – b^3c$
সমাধান: $(a^2b – b^3c)^3$
$= (a^2b)^3 – 3 \cdot (a^2b)^2 \cdot b^3c + 3 \cdot a^2b \cdot (b^3c)^2 – (b^3c)^3$
$= a^6b^3 – 3a^4b^2 \cdot b^3c + 3a^2b \cdot b^6c^2 – b^9c^3$
$= a^6b^3 – 3a^4b^5c + 3a^2b^7c^2 – b^9c^3$(উত্তর)
(ড) $x^3 – 2y^3$
সমাধান: $(x^3 – 2y^3)^3$
$= (x^3)^3 – 3 \cdot (x^3)^2 \cdot 2y^3 + 3 \cdot x^3 \cdot (2y^3)^2 – (2y^3)^3$
$= x^9 – 3 \cdot x^6 \cdot 2y^3 + 3 \cdot x^3 \cdot 4y^6 – 8y^9$
$= x^9 – 6x^6y^3 + 12x^3y^6 – 8y^9$(উত্তর)
(ঢ) $11a – 12b$
সমাধান: $(11a – 12b)^3$
$= (11a)^3 – 3 \cdot (11a)^2 \cdot 12b + 3 \cdot 11a \cdot (12b)^2 – (12b)^3$
$= 1331a^3 – 3 \cdot 121a^2 \cdot 12b + 3 \cdot 11a \cdot 144b^2 – 1728b^3$
$= 1331a^3 – 4356a^2b + 4752ab^2 – 1728b^3$(উত্তর)
(ণ) $x^3 + y^3$
সমাধান: $(x^3 + y^3)^3$
$= (x^3)^3 + 3 \cdot (x^3)^2 \cdot y^3 + 3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^2 + (y^3)^3$
$= x^9 + 3x^6y^3 + 3x^3y^6 + y^9$(উত্তর)
২. সরল করো :
(ক) $(3x + y)^3 + 3(3x + y)^2(3x – y) + 3(3x + y)(3x – y)^2 + (3x – y)^3$
সমাধান: ধরি, $3x + y = a$ এবং $3x – y = b$
প্রদত্ত রাশি $= (3x + y)^3 + 3(3x + y)^2(3x – y) + 3(3x + y)(3x – y)^2 + (3x – y)^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$= (a + b)^3$
$= \{(3x + y) + (3x – y)\}^3$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে]
$= (3x + y + 3x – y)^3$
$= (6x)^3$
$= 216x^3$(উত্তর)
(খ) $(2p + 5q)^3 + 3(2p + 5q)^2(5q – 2p) + 3(2p + 5q)(5q – 2p)^2 + (5q – 2p)^3$
সমাধান: ধরি, $2p + 5q = a$ এবং $5q – 2p = b$
প্রদত্ত রাশি $= (2p + 5q)^3 + 3(2p + 5q)^2(5q – 2p) + 3(2p + 5q)(5q – 2p)^2 + (5q – 2p)^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$= (a + b)^3$
$= \{(2p + 5q) + (5q – 2p)\}^3$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে]
$= (2p + 5q + 5q – 2p)^3$
$= (10q)^3$
$= 1000q^3$(উত্তর)
(গ) $(x + 2y)^3 – 3(x + 2y)^2(x – 2y) + 3(x + 2y)(x – 2y)^2 – (x – 2y)^3$
সমাধান: ধরি, $x + 2y = a$ এবং $x – 2y = b$
প্রদত্ত রাশি $= (x + 2y)^3 – 3(x + 2y)^2(x – 2y) + 3(x + 2y)(x – 2y)^2 – (x – 2y)^3$
$= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
$= (a – b)^3$
$= \{(x + 2y) – (x – 2y)\}^3$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে]
$= (x + 2y – x + 2y)^3$
$= (4y)^3$
$= 64y^3$(উত্তর)
(ঘ) $(6m + 2)^3 – 3(6m + 2)^2(6m – 4) + 3(6m + 2)(6m – 4)^2 – (6m – 4)^3$
সমাধান: ধরি, $6m + 2 = a$ এবং $6m – 4 = b$
প্রদত্ত রাশি $= (6m + 2)^3 – 3(6m + 2)^2(6m – 4) + 3(6m + 2)(6m – 4)^2 – (6m – 4)^3$
$= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
$= (a – b)^3$
$= \{(6m + 2) – (6m – 4)\}^3$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে]
$= (6m + 2 – 6m + 4)^3$
$= (6)^3$
$= 216$(উত্তর)
(ঙ) $(x – y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 – y^2)$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= (x – y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 – y^2)$
$= (x – y)^3 + (x + y)^3 + 3 \cdot 2x \cdot (x + y)(x – y)$
$= (x + y)^3 + (x – y)^3 + 3(x + y)(x – y)\{(x + y) + (x – y)\}$
ধরি, $x + y = a$ এবং $x – y = b$
$\therefore a + b = (x + y) + (x – y) = 2x$
প্রদত্ত রাশি $= a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$= (a + b)^3$
$= (2x)^3$ [$a + b$ এর মান বসিয়ে]
$= 8x^3$(উত্তর)
৩. $a + b = 8$ এবং $ab = 15$ হলে, $a^3 + b^3$ এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $a + b = 8$ এবং $ab = 15$
প্রদত্ত রাশি $= a^3 + b^3$
$= (a + b)^3 – 3ab(a + b)$
$= (8)^3 – 3 \cdot 15 \cdot 8$
$= 512 – 360$
$= 152$(উত্তর)
৪. $x + y = 2$ হলে, দেখাও যে, $x^3 + y^3 + 6xy = 8$
সমাধান: দেওয়া আছে, $x + y = 2$
বামপক্ষ $= x^3 + y^3 + 6xy$
$= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 6xy$
$= (2)^3 – 3xy(2) + 6xy$
$= 8 – 6xy + 6xy$
$= 8$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore x^3 + y^3 + 6xy = 8$(দেখানো হলো)
৫. $2x + 3y = 13$ এবং $xy = 6$ হলে, $8x^3 + 27y^3$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $2x + 3y = 13$ এবং $xy = 6$
প্রদত্ত রাশি $= 8x^3 + 27y^3$
$= (2x)^3 + (3y)^3$
$= (2x + 3y)^3 – 3 \cdot 2x \cdot 3y(2x + 3y)$
$= (2x + 3y)^3 – 18xy(2x + 3y)$
$= (13)^3 – 18 \cdot 6 \cdot 13$
$= 2197 – 1404$
$= 793$(উত্তর)
৬. $p – q = 5, pq = 3$ হলে, $p^3 – q^3$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $p – q = 5$ এবং $pq = 3$
প্রদত্ত রাশি $= p^3 – q^3$
$= (p – q)^3 + 3pq(p – q)$
$= (5)^3 + 3 \cdot 3 \cdot 5$
$= 125 + 45$
$= 170$(উত্তর)
৭. $x – 2y = 3$ হলে, $x^3 – 8y^3 – 18xy$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $x – 2y = 3$
প্রদত্ত রাশি $= x^3 – 8y^3 – 18xy$
$= (x)^3 – (2y)^3 – 18xy$
$= (x – 2y)^3 + 3 \cdot x \cdot 2y(x – 2y) – 18xy$
$= (x – 2y)^3 + 6xy(x – 2y) – 18xy$
$= (3)^3 + 6xy(3) – 18xy$
$= 27 + 18xy – 18xy$
$= 27$(উত্তর)
৮. $4x – 3 = 5$ হলে, প্রমাণ করো যে, $64x^3 – 27 – 180x = 125$
সমাধান: দেওয়া আছে, $4x – 3 = 5$
বামপক্ষ $= 64x^3 – 27 – 180x$
$= (4x)^3 – (3)^3 – 180x$
$= (4x – 3)^3 + 3 \cdot 4x \cdot 3(4x – 3) – 180x$
$= (4x – 3)^3 + 36x(4x – 3) – 180x$
$= (5)^3 + 36x(5) – 180x$
$= 125 + 180x – 180x$
$= 125$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore 64x^3 – 27 – 180x = 125$(প্রমাণিত)
৯. $a = -3$ এবং $b = 2$ হলে, $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $a = -3$ এবং $b = 2$
প্রদত্ত রাশি $= 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$
$= (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3b + 3 \cdot 2a \cdot (3b)^2 + (3b)^3$
$= (2a + 3b)^3$
$= \{2(-3) + 3(2)\}^3$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে
$= (-6 + 6)^3$
$= (0)^3$
$= 0$(উত্তর)
১০. $a = 7$ হলে, $a^3 + 6a^2 + 12a + 1$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $a = 7$
প্রদত্ত রাশি $= a^3 + 6a^2 + 12a + 1$
$= a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot (2)^2 + (2)^3 – 7$
$= (a + 2)^3 – 7$
$= (7 + 2)^3 – 7$ [$a$ এর মান বসিয়ে]
$= (9)^3 – 7$
$= 729 – 7$
$= 722$(উত্তর)
১১. $x = 5$ হলে, $x^3 – 12x^2 + 48x – 64$ এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $x = 5$
প্রদত্ত রাশি $= x^3 – 12x^2 + 48x – 64$
$= x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot (4)^2 – (4)^3$
$= (x – 4)^3$
$= (5 – 4)^3$ [$x$ এর মান বসিয়ে]
$= (1)^3$
$= 1$(উত্তর)
১২. $a^2 + b^2 = c^2$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2 = c^6$
সমাধান: দেওয়া আছে, $a^2 + b^2 = c^2$
বামপক্ষ $= a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2$
$= (a^2)^3 + (b^2)^3 + 3a^2b^2c^2$
$= (a^2 + b^2)^3 – 3a^2b^2(a^2 + b^2) + 3a^2b^2c^2$
$= (c^2)^3 – 3a^2b^2(c^2) + 3a^2b^2c^2$
$= c^6 – 3a^2b^2c^2 + 3a^2b^2c^2$
$= c^6$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2 = c^6$(প্রমাণিত)
১৩. $x + \frac{1}{x} = 4$ হলে, প্রমাণ করো যে, $x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$
প্রমাণ: দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 4$
বামপক্ষ $= x^3 + \frac{1}{x^3}$
$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= (4)^3 – 3(4)$
$= 64 – 12$
$= 52$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$(প্রমাণিত)
১৪. $a – \frac{1}{a} = 5$ হলে, $a^3 – \frac{1}{a^3}$ এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $a – \frac{1}{a} = 5$
প্রদত্ত রাশি $= a^3 – \frac{1}{a^3}$
$= \left(a – \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left(a – \frac{1}{a}\right)$
$= (5)^3 + 3(5)$
$= 125 + 15$
$= 140$(উত্তর)
১৫. সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় করো :
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি:
- $(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3$
- $(a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3$
(ক) $(a^2 + b^2)(a^4 – a^2b^2 + b^4)$
সমাধান: $(a^2 + b^2)(a^4 – a^2b^2 + b^4)$
$= (a^2 + b^2)\{(a^2)^2 – a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2\}$
$= (a^2)^3 + (b^2)^3$
$= a^6 + b^6$(উত্তর)
(খ) $(ax – by)(a^2x^2 + abxy + b^2y^2)$
সমাধান: $(ax – by)(a^2x^2 + abxy + b^2y^2)$
$= (ax – by)\{(ax)^2 + ax \cdot by + (by)^2\}$
$= (ax)^3 – (by)^3$
$= a^3x^3 – b^3y^3$(উত্তর)
(গ) $(2ab^2 – 1)(4a^2b^4 + 2ab^2 + 1)$
সমাধান: $(2ab^2 – 1)(4a^2b^4 + 2ab^2 + 1)$
$= (2ab^2 – 1)\{(2ab^2)^2 + 2ab^2 \cdot 1 + (1)^2\}$
$= (2ab^2)^3 – (1)^3$
$= 8a^3b^6 – 1$(উত্তর)
(ঘ) $(x^2 + a)(x^4 – ax^2 + a^2)$
সমাধান: $(x^2 + a)(x^4 – ax^2 + a^2)$
$= (x^2 + a)\{(x^2)^2 – x^2 \cdot a + a^2\}$
$= (x^2)^3 + a^3$
$= x^6 + a^3$(উত্তর)
(ঙ) $(7a + 4b)(49a^2 – 28ab + 16b^2)$
সমাধান: $(7a + 4b)(49a^2 – 28ab + 16b^2)$
$= (7a + 4b)\{(7a)^2 – 7a \cdot 4b + (4b)^2\}$
$= (7a)^3 + (4b)^3$
$= 343a^3 + 64b^3$(উত্তর)
(চ) $(2a – 1)(4a^2 + 2a + 1)(8a^3 + 1)$
সমাধান: $(2a – 1)(4a^2 + 2a + 1)(8a^3 + 1)$
$= (2a – 1)\{(2a)^2 + 2a \cdot 1 + (1)^2\}(8a^3 + 1)$
$= \{(2a)^3 – (1)^3\}(8a^3 + 1)$
$= (8a^3 – 1)(8a^3 + 1)$
$= (8a^3)^2 – (1)^2$
$= 64a^6 – 1$(উত্তর)
(ছ) $(x + a)(x^2 – ax + a^2)(x – a)(x^2 + ax + a^2)$
সমাধান: $(x + a)(x^2 – ax + a^2)(x – a)(x^2 + ax + a^2)$
$= \{(x + a)(x^2 – ax + a^2)\} \times \{(x – a)(x^2 + ax + a^2)\}$
$= (x^3 + a^3)(x^3 – a^3)$
$= (x^3)^2 – (a^3)^2$
$= x^6 – a^6$(উত্তর)
(জ) $(5a + 3b)(25a^2 – 15ab + 9b^2)(125a^3 – 27b^3)$
সমাধান: $(5a + 3b)(25a^2 – 15ab + 9b^2)(125a^3 – 27b^3)$
$= (5a + 3b)\{(5a)^2 – 5a \cdot 3b + (3b)^2\}(125a^3 – 27b^3)$
$= \{(5a)^3 + (3b)^3\}(125a^3 – 27b^3)$
$= (125a^3 + 27b^3)(125a^3 – 27b^3)$
$= (125a^3)^2 – (27b^3)^2$
$= 15625a^6 – 729b^6$(উত্তর)