অনুশীলনী ৫.৪: বীজগণিতীয় রাশির গসাগু ও লসাগু
১. $(a – 5)$ এর বর্গ কোনটি?
ব্যাখ্যা: $(a – 5)^2 = a^2 – 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 – 10a + 25$
উত্তর: (খ) $a^2 – 10a + 25$
২. $(x + y)^2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)^2$ এর মান কোনটি?
ব্যাখ্যা: ধরি, $x + y = a$ এবং $x – y = b$
অতএব, প্রদত্ত রাশি $= a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$= \{(x + y) + (x – y)\}^2 = (2x)^2 = 4x^2$ [মান বসিয়ে]
উত্তর: (গ) $4x^2$
৩. $a + b = 4$ এবং $a – b = 2$ হলে, $ab$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা:
$ab = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 – \left(\frac{2}{2}\right)^2 = (2)^2 – (1)^2 = 4 – 1 = 3$
উত্তর: (ক) $3$
৪. একটি রাশি অপর একটি রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকের কী বলা হয়?
ব্যাখ্যা: কোনো রাশি অন্য একটি রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, প্রথম রাশিটিকে (ভাজ্য) দ্বিতীয় রাশির (ভাজক) গুণিতক এবং দ্বিতীয় রাশিটিকে প্রথম রাশির গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলা হয়।
উত্তর: (গ) গুণিতক
৫. $2a$ ও $3b$ এর গ.সা.গু. কত?
ব্যাখ্যা: সংখ্যা সহগ $2$ ও $3$ এর গ.সা.গু. $= 1$
এবং বীজগণিতীয় রাশি $a$ ও $b$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
অতএব, গ.সা.গু. $= 1$
উত্তর: (ক) $1$
৬. $9x^2 – 25y^2$ এবং $15ax – 25ay$ এর ল.সা.গু. কত?
ব্যাখ্যা:
১ম রাশি $= 9x^2 – 25y^2 = (3x)^2 – (5y)^2 = (3x + 5y)(3x – 5y)$
২য় রাশি $= 15ax – 25ay = 5a(3x – 5y)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 5a(3x + 5y)(3x – 5y) = 5a(9x^2 – 25y^2)$
উত্তর: (ঘ) $5a(9x^2 – 25y^2)$
৭. $x^3y^5$ ও $a^2 – b^2$ এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা: রাশি দুটির মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (১ ছাড়া)। অতএব গ.সা.গু. হবে $1$।
উত্তর: (ঘ) $1$
৮. $x – \frac{1}{x} = 0$ হলে—
(i) $x = 1$
(ii) $x = -1$
(iii) $x = \pm 1$
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা: $x – \frac{1}{x} = 0$
বা, $\frac{x^2 – 1}{x} = 0$
বা, $x^2 – 1 = 0$
বা, $x^2 = 1$
বা, $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$
অর্থাৎ $x = 1$ অথবা $x = -1$। তাই (i), (ii) ও (iii) তিনটি উক্তিই সঠিক।
উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
৯. $a + \frac{1}{a} = 4$ হলে $a^2 – 4a + 1$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $a + \frac{1}{a} = 4$
বা, $\frac{a^2 + 1}{a} = 4$
বা, $a^2 + 1 = 4a$
বা, $a^2 – 4a + 1 = 0$
উত্তর: (ঘ) $0$
১০. $(a + 5)$ এর বর্গ কোনটি?
ব্যাখ্যা: $(a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$
উত্তর: (ক) $a^2 + 10a + 25$
১১. $a + b = 8, a – b = 4$ হলে $ab =$ কত?
ব্যাখ্যা:
$ab = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 – \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4^2 – 2^2 = 16 – 4 = 12$
উত্তর: (গ) $12$
গ.সা.গু. নির্ণয় করো (১২—২১)।
১২. $3a^3b^2c, 6ab^2c^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 3a^3b^2c$
২য় রাশি $= 6ab^2c^2$
সংখ্যা সহগ $3$ ও $6$ এর গ.সা.গু. $= 3$
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. $= ab^2c$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 3ab^2c$
১৩. $5ab^2x^2, 10a^2by^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 5ab^2x^2$
২য় রাশি $= 10a^2by^2$
সংখ্যা সহগ $5$ ও $10$ এর গ.সা.গু. $= 5$
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. $= ab$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 5ab$
১৪. $3a^2x^2, 6axy^2, 9ay^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 3a^2x^2$
২য় রাশি $= 6axy^2$
৩য় রাশি $= 9ay^2$
সংখ্যা সহগ $3, 6, 9$ এর গ.সা.গু. $= 3$
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. $= a$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 3a$
১৫. $16a^3x^4y, 40a^2y^3x, 28ax^3$
সমাধান:
১ম রাশি $= 16a^3x^4y$
২য় রাশি $= 40a^2y^3x$
৩য় রাশি $= 28ax^3$
সংখ্যা সহগ $16, 40, 28$ এর গ.সা.গু. $= 4$
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. $= ax$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 4ax$
১৬. $a^2 + ab, a^2 – b^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^2 + ab = a(a + b)$
২য় রাশি $= a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (a + b)$
১৭. $x^3y – xy^3, (x – y)^2$
সমাধান:
- ১ম রাশি $= x^3y – xy^3 = xy(x^2 – y^2) = xy(x + y)(x – y)$
- ২য় রাশি $= (x – y)^2 = (x – y)(x – y)$
নির্ণেয় গ.সা.গু.:$(x – y)$
১৮. $x^2 + 7x + 12, x^2 + 9x + 20$
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 + 7x + 12 = x^2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 4)(x + 3)$
২য় রাশি $= x^2 + 9x + 20 = x^2 + 5x + 4x + 20 = x(x + 5) + 4(x + 5) = (x + 5)(x + 4)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x + 4)$
১৯. $a^3 – ab^2, a^4 + 2a^3b + a^2b^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^3 – ab^2 = a(a^2 – b^2) = a(a + b)(a – b)$
২য় রাশি $= a^4 + 2a^3b + a^2b^2 = a^2(a^2 + 2ab + b^2) = a^2(a + b)^2 = a^2(a + b)(a + b)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= a(a + b)$
২০. $a^2 – 16, 3a + 12, a^2 + 5a + 4$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^2 – 16 = a^2 – 4^2 = (a + 4)(a – 4)$
২য় রাশি $= 3a + 12 = 3(a + 4)$
৩য় রাশি $= a^2 + 5a + 4 = a^2 + 4a + a + 4 = a(a + 4) + 1(a + 4) = (a + 4)(a + 1)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (a + 4)$
২১. $xy – y, x^3y – xy, x^2 – 2x + 1$
সমাধান:
১ম রাশি $= xy – y = y(x – 1)$
২য় রাশি $= x^3y – xy = xy(x^2 – 1) = xy(x + 1)(x – 1)$
৩য় রাশি $= x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 = (x – 1)(x – 1)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x – 1)$
ল.সা.গু. নির্ণয় করো (২২—৩১):
২২. $6a^3b^2c, 9a^4bd^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 6a^3b^2c$
২য় রাশি $= 9a^4bd^2$
সংখ্যা সহগ $6$ ও $9$ এর ল.সা.গু. $= 18$
বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু. $= a^4b^2cd^2$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 18a^4b^2cd^2$
২৩. $5x^2y^2, 10xz^3, 15y^3z^4$
সমাধান:
১ম রাশি $= 5x^2y^2$
২য় রাশি $= 10xz^3$
৩য় রাশি $= 15y^3z^4$
সংখ্যা সহগ $5, 10, 15$ এর ল.সা.গু. $= 30$
বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু. $= x^2y^3z^4$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 30x^2y^3z^4$
২৪. $2p^2xy^2, 3pq^2, 6pqx^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= 2p^2xy^2$
২য় রাশি $= 3pq^2$
৩য় রাশি $= 6pqx^2$
সংখ্যা সহগ $2, 3, 6$ এর ল.সা.গু. $= 6$
বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু. $= p^2q^2x^2y^2$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 6p^2q^2x^2y^2$
২৫. $(b^2 – c^2), (b + c)^2$
সমাধান:
১ম রাশি $= b^2 – c^2 = (b + c)(b – c)$
২য় রাশি $= (b + c)^2$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (b + c)^2(b – c)$
২৬. $x^2 + 2x, x^2 + 3x + 2$
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 + 2x = x(x + 2)$
২য় রাশি $= x^2 + 3x + 2 = x^2 + 2x + x + 2 = x(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(x + 1)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x(x + 1)(x + 2)$
২৭. $9x^2 – 25y^2, 15ax – 25ay$
সমাধান:
১ম রাশি $= 9x^2 – 25y^2 = (3x)^2 – (5y)^2 = (3x + 5y)(3x – 5y)$
২য় রাশি $= 15ax – 25ay = 5a(3x – 5y)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 5a(3x + 5y)(3x – 5y) = 5a(9x^2 – 25y^2)$
২৮. $x^2 – 3x – 10, x^2 – 10x + 25$
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 3x – 10 = x^2 – 5x + 2x – 10 = x(x – 5) + 2(x – 5) = (x – 5)(x + 2)$
২য় রাশি $= x^2 – 10x + 25 = (x – 5)^2$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x + 2)(x – 5)^2$
২৯. $a^2 – 7a + 12, a^2 + a – 20, a^2 + 2a – 15$
সমাধান:
১ম রাশি $= a^2 – 7a + 12 = a^2 – 4a – 3a + 12 = a(a – 4) – 3(a – 4) = (a – 4)(a – 3)$
২য় রাশি $= a^2 + a – 20 = a^2 + 5a – 4a – 20 = a(a + 5) – 4(a + 5) = (a + 5)(a – 4)$
৩য় রাশি $= a^2 + 2a – 15 = a^2 + 5a – 3a – 15 = a(a + 5) – 3(a + 5) = (a + 5)(a – 3)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (a – 3)(a – 4)(a + 5)$
৩০. $x^2 – 8x + 15, x^2 – 25, x^2 + 2x – 15$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 8x + 15 = x^2 – 5x – 3x + 15 = x(x – 5) – 3(x – 5) = (x – 5)(x – 3)$
২য় রাশি $= x^2 – 25 = x^2 – 5^2 = (x + 5)(x – 5)$
৩য় রাশি $= x^2 + 2x – 15 = x^2 + 5x – 3x – 15 = x(x + 5) – 3(x + 5) = (x + 5)(x – 3)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x + 5)(x – 5)(x – 3)$ বা $(x^2 – 25)(x – 3)$
৩১. $x + 5, x^2 + 5x, x^2 + 7x + 10$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি $= x + 5$
২য় রাশি $= x^2 + 5x = x(x + 5)$
৩য় রাশি $= x^2 + 7x + 10 = x^2 + 5x + 2x + 10 = x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 5)(x + 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x(x + 5)(x + 2)$
৩২. $a = 2x – 3$ এবং $b = 2x + 5$
ক) $a + b$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $a = 2x – 3$ এবং $b = 2x + 5$
অতএব, $a + b = (2x – 3) + (2x + 5)$
$= 2x – 3 + 2x + 5$
$= 4x + 2$
উত্তর:$4x + 2$
খ) সূত্রের সাহায্যে $a^2$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: $a^2 = (2x – 3)^2$
$= (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2$
$= 4x^2 – 12x + 9$
উত্তর:$4x^2 – 12x + 9$
গ) সূত্রের সাহায্যে $a$ ও $b$ এর গুণফল নির্ণয় করো। $x = 2$ হলে, $ab =$ কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $a = 2x – 3$, $b = 2x + 5$ এবং $x = 2$
আমরা জানি, $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$
অতএব, $ab = (2x – 3)(2x + 5)$
$= (2x)^2 + (-3 + 5)(2x) + (-3)(5)$
$= 4x^2 + (2)(2x) – 15$
$= 4x^2 + 4x – 15$
এখন, $x = 2$ হলে,
$ab = 4(2)^2 + 4(2) – 15$
$= 4(4) + 8 – 15$
$= 16 + 8 – 15$
$= 24 – 15$
$= 9$
উত্তর: গুণফল $4x^2 + 4x – 15$; মান $9$
৩৩. $x^2 – 3x – 10, x^3 + 6x^2 + 8x$ এবং $x^4 – 5x^3 – 14x^2$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) $(3x – 2y + z)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।
সমাধান: $(3x – 2y + z)$ এর বর্গ
$= (3x – 2y + z)^2$
$= \{(3x – 2y) + z\}^2$
$= (3x – 2y)^2 + 2(3x – 2y)z + z^2$
$= \{(3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2\} + 6xz – 4yz + z^2$
$= 9x^2 – 12xy + 4y^2 + 6xz – 4yz + z^2$
$= 9x^2 + 4y^2 + z^2 – 12xy – 4yz + 6zx$
উত্তর: $9x^2 + 4y^2 + z^2 – 12xy – 4yz + 6zx$
খ) ১ম ও ২য় রাশির গ.সা.গু নির্ণয় করো।
সমাধান:
১ম রাশি $= x^2 – 3x – 10 = x^2 – 5x + 2x – 10 = x(x – 5) + 2(x – 5) = (x – 5)(x + 2)$
২য় রাশি $= x^3 + 6x^2 + 8x = x(x^2 + 6x + 8) = x(x^2 + 4x + 2x + 8) = x\{x(x + 4) + 2(x + 4)\} = x(x + 4)(x + 2)$
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x + 2)$
গ) রাশি তিনটির ল.সা.গু নির্ণয় করো।
সমাধান: ‘খ’ হতে পাই,
১ম রাশি $= (x – 5)(x + 2)$
২য় রাশি $= x(x + 4)(x + 2)$
এবং ৩য় রাশি $= x^4 – 5x^3 – 14x^2$
$= x^2(x^2 – 5x – 14)$
$= x^2(x^2 – 7x + 2x – 14)$
$= x^2\{x(x – 7) + 2(x – 7)\}$
$= x^2(x – 7)(x + 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x^2(x + 2)(x – 5)(x + 4)(x – 7)$
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)
১. $a, a^2, a(a + b)$ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কোনটি?
ব্যাখ্যা:
১ম রাশি $= a$
২য় রাশি $= a^2$
৩য় রাশি $= a(a + b)$
এখানে, $a$ এবং $a^2$ এর মধ্যে ল.সা.গু. হলো $a^2$ এবং অতিরিক্ত উৎপাদক হলো $(a + b)$।
অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a^2(a + b)$
উত্তর: (ঘ) $a^2(a + b)$
২. $x = a + 7$ ও $y = a – 7$ হলে—
(i) $x – y = 14$
(ii) $xy = a^2 – 49$
(iii) $y^2 = a^2 + 14a + 49$
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা:
(i) নম্বর যাচাই:
$x – y = (a + 7) – (a – 7)$
$= a + 7 – a + 7$
$= 14$
অতএব, (i) সঠিক।
(ii) নম্বর যাচাই:
$xy = (a + 7)(a – 7)$
$= (a)^2 – (7)^2$
$= a^2 – 49$
অতএব, (ii) সঠিক।
(iii) নম্বর যাচাই:
$y^2 = (a – 7)^2$
$= a^2 – 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2$
$= a^2 – 14a + 49$
এখানে প্রশ্নপত্রে দেওয়া আছে $y^2 = a^2 + 14a + 49$, যা সঠিক নয় (চিহ্ন মাইনাস হওয়ার কথা ছিল)।
অতএব, (iii) ভুল।
অতএব, সঠিক উক্তিগুলো হলো (i) ও (ii)।
উত্তর: (ক) i ও ii
$(x^3y – xy^3)$ ও $(x – y)(x + 2y)$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।
৩. প্রথম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?
সমাধান: প্রথম রাশি $= x^3y – xy^3$
$= xy(x^2 – y^2)$
$= xy(x + y)(x – y)$
উত্তর: (ঘ) $xy(x + y)(x – y)$
৪. বীজগণিতীয় রাশি দুটির ল.সা.গু. নিচের কোনটি?
সমাধান: প্রথম রাশি $= xy(x + y)(x – y)$
দ্বিতীয় রাশি $= (x – y)(x + 2y)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= xy(x + y)(x – y)(x + 2y)$
$= xy(x^2 – y^2)(x + 2y)$
উত্তর: (গ) $xy(x^2 – y^2)(x + 2y)$
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. $x^4 – 625$ এবং $x^2 + 3x – 10$ দুটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) সূত্রের সাহায্যে $(m^2 – 3)$ ও $(m^2 + 3)$ এর গুণফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
নির্ণেয় গুণফল $= (m^2 – 3)(m^2 + 3)$
$= (m^2)^2 – 3^2$
$= m^4 – 9$
উত্তর:$m^4 – 9$
খ) রাশি দুটির গ.সা.গু নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রথম রাশি $= x^4 – 625$
$= (x^2)^2 – 25^2$
$= (x^2 + 25)(x^2 – 25)$
$= (x^2 + 25)(x^2 – 5^2)$
$= (x^2 + 25)(x + 5)(x – 5)$
দ্বিতীয় রাশি $= x^2 + 3x – 10$
$= x^2 + 5x – 2x – 10$
$= x(x + 5) – 2(x + 5)$
$= (x + 5)(x – 2)$
উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক হলো $(x + 5)$।
নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x + 5)$
গ) রাশি দুটির ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
সমাধান: ‘খ’ হতে পাই,
প্রথম রাশি $= (x^2 + 25)(x + 5)(x – 5)$
দ্বিতীয় রাশি $= (x + 5)(x – 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x^2 + 25)(x + 5)(x – 5)(x – 2)$
$= (x^4 – 625)(x – 2)$
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. (ক) $9x^2 – 24x + 16$ কে $(a – b)^2$ আকারে প্রকাশ করো।
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= 9x^2 – 24x + 16$
$= (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2$
$= (3x – 4)^2$
উত্তর:$(3x – 4)^2$
৬. (খ) $a – b = 5$ এবং $a^2 + b^2 = 37$ হলে, $ab$-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a – b)^2 + 2ab$
বা, $37 = 5^2 + 2ab$
বা, $37 = 25 + 2ab$
বা, $2ab = 37 – 25$
বা, $2ab = 12$
বা, $ab = \frac{12}{2}$
বা, $ab = 6$
উত্তর:$6$
৬. (গ) সূত্র প্রয়োগ করে $(ab – bc + ca)$-এর বর্গ নির্ণয় করো।
সমাধান: $(ab – bc + ca)$ এর বর্গ
$= (ab – bc + ca)^2$
$= \{(ab – bc) + ca\}^2$
$= (ab – bc)^2 + 2(ab – bc)(ca) + (ca)^2$
$= \{(ab)^2 – 2 \cdot ab \cdot bc + (bc)^2\} + 2a^2bc – 2abc^2 + c^2a^2$
$= a^2b^2 – 2ab^2c + b^2c^2 + 2a^2bc – 2abc^2 + c^2a^2$
$= a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc – 2ab^2c – 2abc^2$
উত্তর:$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc – 2ab^2c – 2abc^2$
৬. (ঘ) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$ হলে, $\left(x – \frac{1}{x}\right)^2$-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x – \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
বা, $7 = \left(x – \frac{1}{x}\right)^2 + 2$
বা, $\left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = 7 – 2$
বা, $\left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = 5$
উত্তর:$5$