অনুশীলনী ৫: সরল সহসমীকরণ
নিচের সমীকরণগুলো সমাধান কর (১ – ১২):
১.$x + 4 = 13$
সমাধান: $x + 4 = 13$
বা, $x = 13 – 4$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $x = 9$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 9$
২.$x + 5 = 9$
সমাধান: $x + 5 = 9$
বা, $x = 9 – 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 4$
৩.$y + 1 = 10$
সমাধান: $y + 1 = 10$
বা, $y = 10 – 1$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $y = 9$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $y = 9$
৪.$y – 5 = 11$
সমাধান: $y – 5 = 11$
বা, $y = 11 + 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $y = 16$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $y = 16$
৫.$z + 3 = 15$
সমাধান: $z + 3 = 15$
বা, $z = 15 – 3$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $z = 12$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $z = 12$
৬.$3x = 12$
সমাধান: $3x = 12$
বা, $x = \frac{12}{3}$ [উভয় পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 4$
৭.$2x + 1 = 9$
সমাধান: $2x + 1 = 9$
বা, $2x = 9 – 1$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $2x = 8$
বা, $x = \frac{8}{2}$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 4$
৮.$4x – 5 = 11$
সমাধান: $4x – 5 = 11$
বা, $4x = 11 + 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $4x = 16$
বা, $x = \frac{16}{4}$ [উভয় পক্ষকে $4$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 4$
৯.$3x – 5 = 17$
সমাধান: $3x – 5 = 17$
বা, $3x = 17 + 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $3x = 22$
বা, $x = \frac{22}{3}$ [উভয় পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 7\frac{1}{3}$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{22}{3}$ (বা $7\frac{1}{3}$)
১০.$7x – 2 = x + 16$
সমাধান: $7x – 2 = x + 16$
বা, $7x – x = 16 + 2$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $6x = 18$
বা, $x = \frac{18}{6}$ [উভয় পক্ষকে $6$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 3$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 3$
১১.$3 – x = 14$
সমাধান: $3 – x = 14$
বা, $-x = 14 – 3$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $-x = 11$
বা, $x = -11$ [উভয় পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে]
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = -11$
১২.$2x + 9 = 3$
সমাধান: $2x + 9 = 3$
বা, $2x = 3 – 9$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $2x = -6$
বা, $x = \frac{-6}{2}$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = -3$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = -3$
সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর ($১৩ – ১৮$):
১৩. কোন সংখ্যার দ্বিগুণ এর সাথে $6$ যোগ করলে যোগফল $14$ হবে?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
$\therefore$ সংখ্যাটির দ্বিগুণ $= 2x$
প্রশ্নমতে, $2x + 6 = 14$
বা, $2x = 14 – 6$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $2x = 8$
বা, $x = \frac{8}{2}$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $4$
১৪. কোন সংখ্যা থেকে $5$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল $11$ হবে?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
প্রশ্নমতে, $x – 5 = 11$
বা, $x = 11 + 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $x = 16$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $16$
১৫. কোন সংখ্যার $7$ গুণ সমান $21$ হবে?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
$\therefore$ সংখ্যাটির $7$ গুণ $= 7x$
প্রশ্নমতে, $7x = 21$
বা, $x = \frac{21}{7}$ [উভয় পক্ষকে $7$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 3$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $3$
১৬. কোন সংখ্যার $4$ গুণের সাথে $3$ যোগ করলে যোগফল $23$ হবে?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
$\therefore$ সংখ্যাটির $4$ গুণ $= 4x$
প্রশ্নমতে, $4x + 3 = 23$
বা, $4x = 23 – 3$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $4x = 20$
বা, $x = \frac{20}{4}$ [উভয় পক্ষকে $4$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 5$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $5$
১৭. একটি কলমের দাম যত টাকা তা থেকে $2$ টাকা কম হলে দাম হতো $10$ টাকা। কলমটির দাম কত?
সমাধান: মনে করি, কলমটির দাম $= x$ টাকা
প্রশ্নমতে, $x – 2 = 10$
বা, $x = 10 + 2$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $x = 12$
$\therefore$ কলমটির দাম $12$ টাকা
১৮. কনিকার কাছে যতগুলো চকলেট আছে, তার চারগুণ চকলেট আছে মনিকার কাছে। দুইজনের একত্রে $25$টি চকলেট আছে। কনিকার কতগুলো চকলেট আছে?
সমাধান: মনে করি, কনিকার চকলেট আছে $= x$ টি
$\therefore$ মনিকার চকলেট আছে $= 4x$ টি
প্রশ্নমতে, $x + 4x = 25$
বা, $5x = 25$
বা, $x = \frac{25}{5}$ [উভয় পক্ষকে $5$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 5$
$\therefore$ কনিকার $5$টি চকলেট আছে।
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনী)
১. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?
উত্তর: (ঘ) $2(x+y)$
ব্যাখ্যা: আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2(x+y)$ মিটার।
২. যদি $x$ এর দ্বিগুণ এর সাথে $3$ যোগ করলে যোগফল $9$ হয় তবে $x$ এর মান কোনটি?
উত্তর: (ক) $3$
ব্যাখ্যা: প্রশ্নমতে, $2x + 3 = 9$
বা, $2x = 9 – 3$
বা, $2x = 6$
বা, $x = \frac{6}{2}$
বা, $x = 3$
৩.$a, b, c$ যে কোনো সংখ্যা এবং $a = b$ হলে—
(i) $ac = bc$
(ii) $a + c = b + c$
(iii) $a – c = b – c$
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: (ঘ) i, ii, ও iii
নিচের তথ্যের আলোকে (৪ ও ৫) নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল $30$ এবং বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যার চারগুণ।
৪. বড় সংখ্যা ও ছোট সংখ্যার অনুপাত কত?
উত্তর: (ঘ) $4:1$
ব্যাখ্যা: বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যার $4$ গুণ। অর্থাৎ বড় সংখ্যা : ছোট সংখ্যা $= 4 : 1$।
৫. ছোট সংখ্যাটি কত?
উত্তর: (খ) $10$
ব্যাখ্যা: মনে করি, ছোট সংখ্যাটি $= x$
সুতরাং, বড় সংখ্যাটি $= 4x$
প্রশ্নমতে, $4x – x = 30$
বা, $3x = 30$
বা, $x = \frac{30}{3}$
বা, $x = 10$
অতএব, ছোট সংখ্যাটি $10$।
সৃজনশীল প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $33$।
দৃশ্যকল্প-২: রনি বাজারে গিয়ে $5$ টি আপেল ও $1$ ডজন কলা মোট $216$ টাকায় ক্রয় করে, যেখানে একটি আপেলের দাম তিনটি কলার দামের সমান।
ক) কোন সংখ্যার $7$ গুণ $35$ হলে সংখ্যাটির $3$ গুণ সমান কত হবে তা নির্ণয় কর।
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
শর্তমতে, $7x = 35$
বা, $x = \frac{35}{7}$
বা, $x = 5$
অতএব, সংখ্যাটি $5$।
এখন, সংখ্যাটির $3$ গুণ $= 5 \times 3 = 15$
উত্তর:$15$
খ) দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে বৃহত্তম স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান: মনে করি,
প্রথম ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাটি $= x$
দ্বিতীয় ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাটি $= x + 1$
তৃতীয় (বৃহত্তম) ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাটি $= x + 2$
প্রশ্নমতে, $x + (x + 1) + (x + 2) = 33$
বা, $3x + 3 = 33$
বা, $3x = 33 – 3$
বা, $3x = 30$
বা, $x = \frac{30}{3}$
বা, $x = 10$
অতএব, বৃহত্তম স্বাভাবিক সংখ্যাটি $= x + 2 = 10 + 2 = 12$
উত্তর:$12$
গ) দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে একটি আপেলের দাম নির্ণয় কর।
সমাধান: আমরা জানি, $1$ ডজন $= 12$ টি।
উদ্দীপক অনুসারে,
$1$ টি আপেলের দাম $= 3$ টি কলার দাম।
অতএব, $5$ টি আপেলের দাম $= (5 \times 3)$ টি কলার দাম $= 15$ টি কলার দাম।
রনি $5$ টি আপেল ও $12$ টি কলা কিনেছিল।
অর্থাৎ, মোট কেনাকাটা $= 15$ টি কলার দাম $+ 12$ টি কলার দাম $= 27$ টি কলার দাম।
প্রশ্নমতে,
$27$ টি কলার দাম $= 216$ টাকা
বা, $1$ টি কলার দাম $= \frac{216}{27}$ টাকা $= 8$ টাকা
সুতরাং, $1$ টি আপেলের দাম $= 3 \times 1$ টি কলার দাম
$= 3 \times 8$ টাকা
$= 24$ টাকা
উত্তর:$24$ টাকা
সংক্ষিপ্ত উত্তর প্রশ্ন:
১. সমাধান কর: $8x – 3 = 3x + 17$
সমাধান: $8x – 3 = 3x + 17$
বা, $8x – 3x = 17 + 3$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $5x = 20$
বা, $x = \frac{20}{5}$ [উভয় পক্ষকে $5$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 4$
২. কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে $7$ যোগ করলে যোগফল $34$ হয় সেই সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
প্রশ্নমতে, $3x + 7 = 34$
বা, $3x = 34 – 7$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $3x = 27$
বা, $x = \frac{27}{3}$ [উভয় পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 9$
$\therefore$ সংখ্যাটি $9$
৩. কোনো সংখ্যার $5$ গুণের সাথে ঐ সংখ্যার $3$ গুণ যোগ করলে যোগফল $32$ হয়। সংখ্যাটি কত?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
প্রশ্নমতে, $5x + 3x = 32$
বা, $8x = 32$
বা, $x = \frac{32}{8}$ [উভয় পক্ষকে $8$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $4$
৪. কোন সংখ্যার চারগুণ থেকে ঐ সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল $24$ হবে?
সমাধান: মনে করি, সংখ্যাটি $= x$
প্রশ্নমতে, $4x – 2x = 24$
বা, $2x = 24$
বা, $x = \frac{24}{2}$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 12$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $12$
৫. দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার যোগফল $30$ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান: মনে করি,
প্রথম ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাটি $= x$
দ্বিতীয় ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাটি $= x + 2$
প্রশ্নমতে, $x + (x + 2) = 30$
বা, $2x + 2 = 30$
বা, $2x = 30 – 2$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $2x = 28$
বা, $x = \frac{28}{2}$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 14$
প্রথম সংখ্যাটি $= 14$
দ্বিতীয় সংখ্যাটি $= 14 + 2 = 16$
$\therefore$ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $14$ এবং $16$
৬. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল $27$ হলে, সংখ্যা তিনটি নির্ণয় কর।
সমাধান: মনে করি,
প্রথম ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যাটি $= x$
দ্বিতীয় ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যাটি $= x + 2$
তৃতীয় ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যাটি $= x + 4$
প্রশ্নমতে, $x + (x + 2) + (x + 4) = 27$
বা, $3x + 6 = 27$
বা, $3x = 27 – 6$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $3x = 21$
বা, $x = \frac{21}{3}$ [উভয় পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 7$
প্রথম সংখ্যাটি $= 7$
দ্বিতীয় সংখ্যাটি $= 7 + 2 = 9$
তৃতীয় সংখ্যাটি $= 7 + 4 = 11$
$\therefore$ সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে $7, 9$ এবং $11$