নবম-দশম শ্রেণি উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ৮.৩

অনুশীলনী ৮.৩: বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সমূহ

১. $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে $\sin 2A$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin A = \sin 45^\circ$

বা, $A = 45^\circ$

এখন, $\sin 2A = \sin(2 \times 45^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

সঠিক উত্তর:গ) $1$

২. $\sin\theta + \cos\theta = 1$ হলে $\theta$ এর মান হবে—

(i) $0^\circ$

(ii) $30^\circ$

(iii) $90^\circ$

সমাধান:

$(i)$$\theta = 0^\circ$ হলে:$\sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 0 + 1 = 1$ (সঠিক)

$(ii)$$\theta = 30^\circ$ হলে:$\sin 30^\circ + \cos 30^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1$ (ভুল)

$(iii)$$\theta = 90^\circ$ হলে:$\sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1 + 0 = 1$ (সঠিক)

সুতরাং, $(i)$ ও $(iii)$ সঠিক।

সঠিক উত্তর:ঘ) $i$ ও $iii$

৩. মান নির্ণয় করো:

ক) $\sin 7\pi$

সমাধান:

$\sin 7\pi = \sin (7 \times \pi + 0) = 0$ [যেহেতু $\sin n\pi = 0$]

উত্তর:$0$

খ) $\cos \frac{11\pi}{2}$

সমাধান:

$\cos \frac{11\pi}{2} = \cos \left(11 \times \frac{\pi}{2} + 0\right)$ [যেহেতু $\frac{\pi}{2}$-এর গুণিতক বিজোড় ($11$), তাই $\cos$ পরিবর্তিত হয়ে $\sin$ হবে। $11 \times \frac{\pi}{2}$ চতুর্থাংশ অনুযায়ী চতুর্থ চতুর্থাংশে অবস্থিত, যেখানে $\cos$ ধনাত্মক।]

$\cos \frac{11\pi}{2} = \sin 0 = 0$

উত্তর:$0$

গ) $\cot 11\pi$

সমাধান:

$\cot 11\pi = \cot (11\pi + 0) = \frac{\cos 11\pi}{\sin 11\pi}$

যেহেতু $\sin 11\pi = 0$, তাই $\cot 11\pi$অসংজ্ঞায়িত (Undefined)।

উত্তর: অসংজ্ঞায়িত

ঘ) $\tan \left(-\frac{23\pi}{6}\right)$

সমাধান:

আমরা জানি, $\tan(-\theta) = -\tan\theta$

$\tan \left(-\frac{23\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{23\pi}{6}\right) = -\tan\left(4\pi – \frac{\pi}{6}\right)$

$= -\left(-\tan \frac{\pi}{6}\right) = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

উত্তর:$\frac{1}{\sqrt{3}}$

ঙ) $\text{cosec} \left(-\frac{19\pi}{3}\right)$

সমাধান:

আমরা জানি, $\text{cosec}(-\theta) = -\text{cosec}\theta$

$\text{cosec} \left(-\frac{19\pi}{3}\right) = -\text{cosec}\left(\frac{19\pi}{3}\right) = -\text{cosec}\left(6\pi + \frac{\pi}{3}\right)$

$= -\text{cosec} \frac{\pi}{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$

উত্তর:$-\frac{2}{\sqrt{3}}$

চ) $\sec \left(-\frac{25\pi}{2}\right)$

সমাধান:

আমরা জানি, $\sec(-\theta) = \sec\theta$

$\sec \left(-\frac{25\pi}{2}\right) = \sec\left(\frac{25\pi}{2}\right) = \sec\left(12\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sec \frac{\pi}{2}$

যেহেতু $\sec 90^\circ = \frac{1}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$, তাই এটি অসংজ্ঞায়িত।

উত্তর: অসংজ্ঞায়িত

ছ) $\sin \left(-\frac{31\pi}{6}\right)$

সমাধান:

$\sin \left(-\frac{31\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{31\pi}{6}\right) = -\sin\left(5\pi + \frac{\pi}{6}\right)$

$= -\left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

উত্তর:$\frac{1}{2}$

জ) $\cos \left(-\frac{25\pi}{6}\right)$

সমাধান:

$\cos \left(-\frac{25\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{25\pi}{6}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

উত্তর:$\frac{\sqrt{3}}{2}$

৪. প্রমাণ করো:

ক) $\cos\frac{17\pi}{10} + \cos\frac{13\pi}{10} + \cos\frac{9\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{10} = 0$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \cos\frac{17\pi}{10} + \cos\frac{13\pi}{10} + \cos\frac{9\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{10}$

$= \cos\left(2\pi – \frac{3\pi}{10}\right) + \cos\left(\pi + \frac{3\pi}{10}\right) + \cos\left(\pi – \frac{\pi}{10}\right) + \cos\frac{\pi}{10}$

$= \cos\frac{3\pi}{10} – \cos\frac{3\pi}{10} – \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{10}$

$= 0 = \text{RHS}$ (প্রমাণিত)

খ) $\sin^2\frac{\pi}{7} + \sin^2\frac{5\pi}{14} + \sin^2\frac{8\pi}{7} + \sin^2\frac{9\pi}{14} = 2$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sin^2\frac{\pi}{7} + \sin^2\frac{5\pi}{14} + \sin^2\frac{8\pi}{7} + \sin^2\frac{9\pi}{14}$

$= \sin^2\frac{\pi}{7} + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7}\right)$

$= \sin^2\frac{\pi}{7} + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{7}\right) + \left(-\sin\frac{\pi}{7}\right)^2 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7}\right)$

$= \sin^2\frac{\pi}{7} + \cos^2\frac{\pi}{7} + \sin^2\frac{\pi}{7} + \cos^2\frac{\pi}{7}$

$= \left(\sin^2\frac{\pi}{7} + \cos^2\frac{\pi}{7}\right) + \left(\sin^2\frac{\pi}{7} + \cos^2\frac{\pi}{7}\right)$

$= 1 + 1 = 2 = \text{RHS}$ (প্রমাণিত)

(গ) $\sin\frac{7\pi}{6}\cos\frac{13\pi}{6} – \cos\frac{5\pi}{3}\sin\frac{11\pi}{6} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sin\frac{7\pi}{6}\cos\frac{13\pi}{6} – \cos\left(2\pi – \frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{11\pi}{6}$

$= \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) – \cos\frac{5\pi}{3}\sin\left(2\pi – \frac{\pi}{6}\right)$

$= \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)$

$= -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}$

(ঘ) $\sin\frac{13\pi}{3}\cos\frac{13\pi}{6} – \sin\frac{11\pi}{6}\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sin\frac{13\pi}{3}\cos\frac{13\pi}{6} – \sin\frac{11\pi}{6}\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)$

আমরা জানি, $\cos(-\theta) = \cos\theta$

বা, $\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\frac{5\pi}{3}$

কোণগুলোকে ভেঙে পাই:

$\sin\frac{13\pi}{3} = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{11\pi}{6} = \sin\left(2\pi – \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi – \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{3 + 1}{4}$

$= \frac{4}{4}$

$= 1$

$= \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)

(ঙ) $\tan\theta = \frac{3}{4}$ এবং $\sin\theta$ ঋণাত্মক হলে দেখাও যে, $\frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = \frac{14}{5}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\tan\theta = \frac{3}{4}$ (যা ধনাত্মক)এবং $\sin\theta$ ঋণাত্মক।

সুতরাং, $\theta$ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin\theta$, $\cos\theta$ ও $\sec\theta$ সকলেই ঋণাত্মক এবং $\tan\theta$ ধনাত্মক।

আমরা জানি,

$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$

বা, $\sec^2\theta = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$

বা, $\sec^2\theta = 1 + \frac{9}{16}$

বা, $\sec^2\theta = \frac{25}{16}$

বা, $\sec\theta = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$

বা, $\sec\theta = -\sqrt{\frac{25}{16}}$$[\text{যেহেতু } \theta \text{ ৩য় চতুর্ভাগে}]$

বা, $\sec\theta = -\frac{5}{4}$

অতএব,

$\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} = -\frac{4}{5}$

আবার,

$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$

এখন,

বামপক্ষ $= \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sec\theta + \tan\theta}$

$= \frac{-\frac{3}{5} + \left(-\frac{4}{5}\right)}{-\frac{5}{4} + \frac{3}{4}}$

$= \frac{-\frac{3}{5} – \frac{4}{5}}{-\frac{5}{4} + \frac{3}{4}}$

$= \frac{-\frac{7}{5}}{-\frac{2}{4}}$

$= \frac{-\frac{7}{5}}{-\frac{1}{2}}$

$= \left(-\frac{7}{5}\right) \times \left(-\frac{2}{1}\right)$

$= \frac{14}{5}$

$= \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)

৫. মান নির্ণয় করো:

(ক) $\cos\frac{9\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{31\pi}{36} – \sin\frac{5\pi}{36}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \cos\frac{9\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{31\pi}{36} – \sin\frac{5\pi}{36}$

কোণগুলোকে ভেঙে পাই,

• $\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\sin\frac{31\pi}{36} = \sin\left(\pi – \frac{5\pi}{36}\right) = \sin\frac{5\pi}{36}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin\frac{5\pi}{36} – \sin\frac{5\pi}{36}$

$= 0$

উত্তর:$0$

(খ) $\cot\frac{\pi}{20}\cot\frac{3\pi}{20}\cot\frac{5\pi}{20}\cot\frac{7\pi}{20}\cot\frac{9\pi}{20}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \cot\frac{\pi}{20}\cot\frac{3\pi}{20}\cot\frac{5\pi}{20}\cot\frac{7\pi}{20}\cot\frac{9\pi}{20}$

আমরা জানি, $\cot\frac{5\pi}{20} = \cot\frac{\pi}{4} = 1$

অন্যান্য কোণ রূপান্তর করি,

• $\cot\frac{9\pi}{20} = \cot\left(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{20}\right) = \tan\frac{\pi}{20}$
• $\cot\frac{7\pi}{20} = \cot\left(\frac{\pi}{2} – \frac{3\pi}{20}\right) = \tan\frac{3\pi}{20}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \cot\frac{\pi}{20} \cdot \cot\frac{3\pi}{20} \cdot 1 \cdot \tan\frac{3\pi}{20} \cdot \tan\frac{\pi}{20}$

$= \left(\cot\frac{\pi}{20} \cdot \tan\frac{\pi}{20}\right) \cdot \left(\cot\frac{3\pi}{20} \cdot \tan\frac{3\pi}{20}\right)$

$= 1 \times 1$

$= 1$

উত্তর:$1$

(গ) $\sin^2\frac{\pi}{4} + \sin^2\frac{3\pi}{4} + \sin^2\frac{5\pi}{4} + \sin^2\frac{7\pi}{4}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \sin^2\frac{\pi}{4} + \sin^2\frac{3\pi}{4} + \sin^2\frac{5\pi}{4} + \sin^2\frac{7\pi}{4}$

কোণগুলোর মান বসিয়ে পাই,

• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\sin\frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\sin\frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin\left(2\pi – \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

রাশিটির মান $= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= 2$

উত্তর:$2$

(ঘ) $\cos^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{3\pi}{8} + \cos^2\frac{5\pi}{8} + \cos^2\frac{7\pi}{8}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \cos^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{3\pi}{8} + \cos^2\frac{5\pi}{8} + \cos^2\frac{7\pi}{8}$

কোণগুলো রূপান্তর করি,

• $\cos\frac{5\pi}{8} = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = -\sin\frac{\pi}{8} \implies \cos^2\frac{5\pi}{8} = \sin^2\frac{\pi}{8}$
• $\cos\frac{7\pi}{8} = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) = -\sin\frac{3\pi}{8} \implies \cos^2\frac{7\pi}{8} = \sin^2\frac{3\pi}{8}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \cos^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{3\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{3\pi}{8}$

$= \left(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}\right) + \left(\sin^2\frac{3\pi}{8} + \cos^2\frac{3\pi}{8}\right)$

$= 1 + 1$

$= 2$

উত্তর:$2$

(ঙ) $\sin^2\frac{17\pi}{18} + \sin^2\frac{5\pi}{18} + \cos^2\frac{37\pi}{18} + \cos^2\frac{23\pi}{18}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \sin^2\frac{17\pi}{18} + \sin^2\frac{5\pi}{18} + \cos^2\frac{37\pi}{18} + \cos^2\frac{23\pi}{18}$

কোণগুলো রূপান্তর করি,

• $\sin\frac{17\pi}{18} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{18}\right) = \sin\frac{\pi}{18} \implies \sin^2\frac{17\pi}{18} = \sin^2\frac{\pi}{18}$
• $\cos\frac{37\pi}{18} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{18}\right) = \cos\frac{\pi}{18} \implies \cos^2\frac{37\pi}{18} = \cos^2\frac{\pi}{18}$
• $\cos\frac{23\pi}{18} = \cos\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = -\cos\frac{5\pi}{18} \implies \cos^2\frac{23\pi}{18} = \cos^2\frac{5\pi}{18}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sin^2\frac{\pi}{18} + \sin^2\frac{5\pi}{18} + \cos^2\frac{\pi}{18} + \cos^2\frac{5\pi}{18}$

$= \left(\sin^2\frac{\pi}{18} + \cos^2\frac{\pi}{18}\right) + \left(\sin^2\frac{5\pi}{18} + \cos^2\frac{5\pi}{18}\right)$

$= 1 + 1$

$= 2$

উত্তর:$2$

৬. $\theta = \frac{\pi}{3}$ হলে নিম্নোক্ত অভেদসমূহ যাচাই করো:

(ক) $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta}$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

১ম পক্ষ$= \sin 2\theta = \sin\left(2 \times \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

২য় পক্ষ$= 2\sin\theta\cos\theta = 2 \sin\frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

৩য় পক্ষ$= \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{2\tan\frac{\pi}{3}}{1 + \tan^2\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{1 + (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

সুতরাং, ১ম পক্ষ = ২য় পক্ষ = ৩য় পক্ষ (যাচাই করা হলো)

(খ) $\sin 3\theta = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

বামপক্ষ$= \sin 3\theta = \sin\left(3 \times \frac{\pi}{3}\right) = \sin\pi = 0$

ডানপক্ষ$= 3\sin\theta – 4\sin^3\theta = 3\sin\frac{\pi}{3} – 4\left(\sin\frac{\pi}{3}\right)^3$
$= 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$
$= \frac{3\sqrt{3}}{2} – 4\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$
$= \frac{3\sqrt{3}}{2} – \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (যাচাই করা হলো)

(গ) $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

বামপক্ষ$= \cos 3\theta = \cos\left(3 \times \frac{\pi}{3}\right) = \cos\pi = -1$

ডানপক্ষ$= 4\cos^3\theta – 3\cos\theta = 4\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)^3 – 3\cos\frac{\pi}{3}$
$= 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 – 3\left(\frac{1}{2}\right)$
$= 4\left(\frac{1}{8}\right) – \frac{3}{2}$
$= \frac{1}{2} – \frac{3}{2} = \frac{1 – 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (যাচাই করা হলো)

(ঘ) $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta}$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

বামপক্ষ$= \tan 2\theta = \tan\left(2 \times \frac{\pi}{3}\right) = \tan\frac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

ডানপক্ষ$= \frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta} = \frac{2\tan\frac{\pi}{3}}{1 – \tan^2\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{1 – (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1 – 3} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (যাচাই করা হলো)

৭. প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে $\alpha$ (আলফা) এর মান নির্ণয় করো:

(ক) $\cot\alpha = -\sqrt{3}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\cot\alpha = -\sqrt{3}$

শর্ত অনুযায়ী, $\alpha$ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)।

আমরা জানি, $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

চতুর্থ চতুর্ভাগে, $\cot\alpha = \cot\left(2\pi – \frac{\pi}{6}\right)$

বা, $\cot\alpha = \cot\left(\frac{11\pi}{6}\right)$

বা, $\alpha = \frac{11\pi}{6}$

উত্তর:$\alpha = \frac{11\pi}{6}$

(খ) $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$

শর্ত অনুযায়ী, $\alpha$ দ্বিতীয় অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

২য় চতুর্ভাগে:
$\cos\alpha = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{2\pi}{3}$

৩য় চতুর্ভাগে:
$\cos\alpha = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{4\pi}{3} \implies \alpha = \frac{4\pi}{3}$

উত্তর:$\alpha = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(গ) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

শর্ত অনুযায়ী, $\alpha$ দ্বিতীয় অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে সীমাবদ্ধ, কিন্তু $\sin\alpha$ ঋণাত্মক হওয়ায় $\alpha$ শুধুমাত্র তৃতীয় চতুর্ভাগে থাকবে।

আমরা জানি, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin\alpha = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{4\pi}{3}$

বা, $\alpha = \frac{4\pi}{3}$

উত্তর:$\alpha = \frac{4\pi}{3}$

(ঘ) $\cot\alpha = -1$, $\pi < \alpha < 2\pi$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\cot\alpha = -1$

শর্ত অনুযায়ী $\alpha$ ৩য় বা ৪থ চতুর্ভাগে, কিন্তু $\cot\alpha$ ঋণাত্মক হওয়ায় $\alpha$চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, $\cot\frac{\pi}{4} = 1$

৪থ চতুর্ভাগে, $\cot\alpha = \cot\left(2\pi – \frac{\pi}{4}\right) = \cot\frac{7\pi}{4}$

বা, $\alpha = \frac{7\pi}{4}$

উত্তর:$\alpha = \frac{7\pi}{4}$

৮. সমাধান করো: (যখন $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)

(ক) $2\cos^2\theta = 1 + 2\sin^2\theta$

সমাধান: $2\cos^2\theta = 1 + 2\sin^2\theta$

বা, $2(1 – \sin^2\theta) = 1 + 2\sin^2\theta$

বা, $2 – 2\sin^2\theta = 1 + 2\sin^2\theta$

বা, $2\sin^2\theta + 2\sin^2\theta = 2 – 1$

বা, $4\sin^2\theta = 1$

বা, $\sin^2\theta = \frac{1}{4}$

বা, $\sin\theta = \frac{1}{2}$$[\text{যেহেতু } 0 < \theta < \frac{\pi}{2}, \text{ তাই ধনাত্মক মান গ্রাহ্য}]$

বা, $\sin\theta = \sin\frac{\pi}{6}$

বা, $\theta = \frac{\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{6}$

(খ) $2\sin^2\theta – 3\cos\theta = 0$

সমাধান: $2\sin^2\theta – 3\cos\theta = 0$

বা, $2(1 – \cos^2\theta) – 3\cos\theta = 0$

বা, $2 – 2\cos^2\theta – 3\cos\theta = 0$

বা, $2\cos^2\theta + 3\cos\theta – 2 = 0$

বা, $2\cos^2\theta + 4\cos\theta – \cos\theta – 2 = 0$

বা, $2\cos\theta(\cos\theta + 2) – 1(\cos\theta + 2) = 0$

বা, $(\cos\theta + 2)(2\cos\theta – 1) = 0$

যেহেতু $\cos\theta + 2 \neq 0$ [কারণ $-1 \leq \cos\theta \leq 1$],

অতএব, $2\cos\theta – 1 = 0$

বা, $2\cos\theta = 1$

বা, $\cos\theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos\theta = \cos\frac{\pi}{3}$

বা, $\theta = \frac{\pi}{3}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{3}$

(গ) $6\sin^2\theta – 11\sin\theta + 4 = 0$

সমাধান: $6\sin^2\theta – 11\sin\theta + 4 = 0$

বা, $6\sin^2\theta – 8\sin\theta – 3\sin\theta + 4 = 0$

বা, $2\sin\theta(3\sin\theta – 4) – 1(3\sin\theta – 4) = 0$

বা, $(3\sin\theta – 4)(2\sin\theta – 1) = 0$

হয়, $3\sin\theta – 4 = 0 \implies \sin\theta = \frac{4}{3} > 1$ (যা গ্রহণযোগ্য নয়)

অথবা, $2\sin\theta – 1 = 0 \implies \sin\theta = \frac{1}{2}$

বা, $\sin\theta = \sin\frac{\pi}{6}$

বা, $\theta = \frac{\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{6}$

(ঘ) $\tan\theta + \cot\theta = \frac{4}{\sqrt{3}}$

সমাধান: $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\tan^2\theta + 1}{\tan\theta} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $\sqrt{3}\tan^2\theta + \sqrt{3} = 4\tan\theta$

বা, $\sqrt{3}\tan^2\theta – 4\tan\theta + \sqrt{3} = 0$

বা, $\sqrt{3}\tan^2\theta – 3\tan\theta – \tan\theta + \sqrt{3} = 0$

বা, $\sqrt{3}\tan\theta(\tan\theta – \sqrt{3}) – 1(\tan\theta – \sqrt{3}) = 0$

বা, $(\tan\theta – \sqrt{3})(\sqrt{3}\tan\theta – 1) = 0$

হয়, $\tan\theta – \sqrt{3} = 0 \implies \tan\theta = \sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$

অথবা, $\sqrt{3}\tan\theta – 1 = 0 \implies \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\frac{\pi}{6} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$

(ঙ) $2\sin^2\theta + 3\cos\theta = 3$

সমাধান: $2(1 – \cos^2\theta) + 3\cos\theta = 3$

বা, $2 – 2\cos^2\theta + 3\cos\theta – 3 = 0$

বা, $-2\cos^2\theta + 3\cos\theta – 1 = 0$

বা, $2\cos^2\theta – 3\cos\theta + 1 = 0$

বা, $2\cos^2\theta – 2\cos\theta – \cos\theta + 1 = 0$

বা, $2\cos\theta(\cos\theta – 1) – 1(\cos\theta – 1) = 0$

বা, $(\cos\theta – 1)(2\cos\theta – 1) = 0$

যেহেতু শর্ত $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, তাই $\cos\theta = 1$ হলে $\theta = 0^\circ$ হয় যা সীমার বাইরে।

অতএব, $2\cos\theta – 1 = 0$

বা, $\cos\theta = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$

বা, $\theta = \frac{\pi}{3}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{3}$

৯. সমাধান করো: (যখন $0 < \theta < 2\pi$)

(ক) $2\sin^2\theta + 3\cos\theta = 0$

সমাধান: $2\sin^2\theta + 3\cos\theta = 0$

বা, $2(1 – \cos^2\theta) + 3\cos\theta = 0$

বা, $2 – 2\cos^2\theta + 3\cos\theta = 0$

বা, $2\cos^2\theta – 3\cos\theta – 2 = 0$

বা, $(\cos\theta – 2)(2\cos\theta + 1) = 0$

যেহেতু $\cos\theta – 2 \neq 0$,

অতএব, $2\cos\theta + 1 = 0 \implies \cos\theta = -\frac{1}{2}$

যেহেতু $\cos\theta$ ঋণাত্মক, $\theta$ দ্বিতীয় ও তৃতীয় চতুর্ভাগে থাকবে।

আমরা জানি, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

২য় চতুর্ভাগে:$\theta = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

৩য় চতুর্ভাগে:$\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

উত্তর:$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(খ) $4(\cos^2\theta + \sin\theta) = 5$

সমাধান: $4(\cos^2\theta + \sin\theta) = 5$

বা, $4(1 – \sin^2\theta + \sin\theta) = 5$

বা, $4 – 4\sin^2\theta + 4\sin\theta = 5$

বা, $4\sin^2\theta – 4\sin\theta + 1 = 0$

বা, $(2\sin\theta – 1)^2 = 0$

বা, $2\sin\theta – 1 = 0$

বা, $\sin\theta = \frac{1}{2}$

যেহেতু $\sin\theta$ ধনাত্মক, $\theta$ প্রথম ও দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকবে।

আমরা জানি, $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে:$\theta = \frac{\pi}{6}$

২য় চতুর্ভাগে:$\theta = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(গ) $\cot^2\theta + \cosec^2\theta = 3$

সমাধান:

$\cot^2\theta + (1 + \cot^2\theta) = 3$

বা, $2\cot^2\theta + 1 = 3$

বা, $2\cot^2\theta = 2$

বা, $\cot^2\theta = 1$

বা, $\cot\theta = \pm 1$

যদি $\cot\theta = 1$ হয় (১ম ও ৩য় চতুর্ভাগ):
$\theta = \frac{\pi}{4}$ এবং $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

যদি $\cot\theta = -1$ হয় (২য় ও ৪থ চতুর্ভাগ):
$\theta = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ এবং $\theta = 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(ঘ) $\tan^2\theta + \cot^2\theta = 2$

সমাধান: $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = 2$

বা, $\frac{\tan^4\theta + 1}{\tan^2\theta} = 2$

বা, $\tan^4\theta – 2\tan^2\theta + 1 = 0$

বা, $(\tan^2\theta – 1)^2 = 0$

বা, $\tan^2\theta = 1$

বা, $\tan\theta = \pm 1$

যদি $\tan\theta = 1$ হয়:
$\theta = \frac{\pi}{4}, \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

যদি $\tan\theta = -1$ হয়:
$\theta = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}, 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

৯. সমাধান করো: (যখন $0 \leq \theta \leq 2\pi$ বা $0 \leq x \leq 2\pi$)

(ঙ) $\sec^2\theta + \tan^2\theta = \frac{5}{3}$

সমাধান: $\sec^2\theta + \tan^2\theta = \frac{5}{3}$

আমরা জানি, $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$

বা, $(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = \frac{5}{3}$

বা, $1 + 2\tan^2\theta = \frac{5}{3}$

বা, $2\tan^2\theta = \frac{5}{3} – 1$

বা, $2\tan^2\theta = \frac{2}{3}$

বা, $\tan^2\theta = \frac{1}{3}$

বা, $\tan\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

ধনাত্মক মান নিলে ($\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$): [১ম ও ৩য় চতুর্ভাগ]

১ম চতুর্ভাগে: $\theta = \frac{\pi}{6}$

৩য় চতুর্ভাগে: $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

ঋণাত্মক মান নিলে ($\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$): [২য় ও ৪থ চতুর্ভাগ]

২য় চতুর্ভাগে: $\theta = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

৪থ চতুর্ভাগে: $\theta = 2\pi – \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(চ) $5\cosec^2\theta – 7\cot\theta\cosec\theta – 2 = 0$

সমাধান: $5\csc^2\theta – 7\cot\theta\csc\theta – 2 = 0$

সমীকরণটিকে $\sin\theta$ ও $\cos\theta$-এ প্রকাশ করে পাই,

বা, $5\left(\frac{1}{\sin^2\theta}\right) – 7\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)\left(\frac{1}{\sin\theta}\right) – 2 = 0$

বা, $\frac{5 – 7\cos\theta}{\sin^2\theta} = 2$

বা, $5 – 7\cos\theta = 2\sin^2\theta$

বা, $5 – 7\cos\theta = 2(1 – \cos^2\theta)$

বা, $5 – 7\cos\theta = 2 – 2\cos^2\theta$

বা, $2\cos^2\theta – 7\cos\theta + 3 = 0$

বা, $2\cos^2\theta – 6\cos\theta – \cos\theta + 3 = 0$

বা, $2\cos\theta(\cos\theta – 3) – 1(\cos\theta – 3) = 0$

বা, $(\cos\theta – 3)(2\cos\theta – 1) = 0$

যেহেতু $\cos\theta – 3 \neq 0$ [কারণ $-1 \leq \cos\theta \leq 1$],

অতএব, $2\cos\theta – 1 = 0$

বা, $\cos\theta = \frac{1}{2}$

যেহেতু $\cos\theta$ ধনাত্মক, তাই $\theta$ প্রথম ও চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে: $\theta = \frac{\pi}{3}$

৪থ চতুর্ভাগে: $\theta = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

উত্তর:$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(ছ) $2\sin x \cos x = \sin x$ $(0 \leq x \leq 2\pi)$

সমাধান: দেওয়া আছে, $2\sin x \cos x = \sin x$

বা, $2\sin x \cos x – \sin x = 0$

বা, $\sin x (2\cos x – 1) = 0$

হয়, $\sin x = 0$

বা, $x = 0, \pi, 2\pi$$[0 \leq x \leq 2\pi \text{ সীমার মধ্যে}]$

অথবা, $2\cos x – 1 = 0$

বা, $\cos x = \frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে: $x = \frac{\pi}{3}$

৪থ চতুর্ভাগে: $x = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

উত্তর:$x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi$

১০. পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6440$ কিলোমিটার। ঢাকা ও পঞ্চগড় পৃথিবীর কেন্দ্রে $3.5^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। শীতকালে একজন মানুষ পঞ্চগড়ের অপরূপ নৈসর্গিক দৃশ্য দেখতে চায়। সে $0.84$ মিটার ব্যাস বিশিষ্ট চাকাওয়ালা একটি গাড়ি নিয়ে গেল।

(ক) পৃথিবীর কেন্দ্রে ঢাকা ও পঞ্চগড় থেকে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ কত রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান: উৎপন্ন কোণ, $\theta = 3.5^\circ$

$\= 3.5 \times \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান}$ [আমরা জানি, $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান}$]

$= \frac{3.5 \times 3.1416}{180} \text{ রেডিয়ান}$

$= 0.0610866 \text{ রেডিয়ান (প্রায়)}$

উত্তর:$0.0610866$ রেডিয়ান (বা $\frac{7\pi}{360}$ রেডিয়ান)।

(খ) ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $r = 6440 \text{ কি.মি.}$

উৎপন্ন কোণ, $\theta = 3.5^\circ = 0.0610866 \text{ রেডিয়ান}$

আমরা জানি, দূরত্ব, $s = r\theta$

বা, $s = 6440 \times 0.0610866 \text{ কি.মি.}$

$= 393.398 \text{ কি.মি. (প্রায়)}$

উত্তর: ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের দূরত্ব $393.398$ কি.মি. (প্রায়)।

(গ) ঢাকা হতে পঞ্চগড় আসা যাওয়ার ক্ষেত্রে গাড়ির প্রতিটি চাকা কতবার ঘুরবে?

সমাধান:

(খ) হতে পাই, ঢাকা হতে পঞ্চগড়ের একমুখী দূরত্ব $= 393.398 \text{ কি.মি.}$

অতএব, আসা-যাওয়ার মোট দূরত্ব, $S = 2 \times 393.398 \text{ কি.মি.}$

$= 786.796 \text{ কি.মি.}$

$= 786.796 \times 1000 \text{ মিটার} = 786796 \text{ মিটার}$

দেওয়া আছে, গাড়ির চাকার ব্যাস $= 0.84 \text{ মিটার}$

বা, চাকার ব্যাসার্ধ, $a = \frac{0.84}{2} \text{ মিটার} = 0.42 \text{ মিটার}$

অতএব, চাকার পরিধি $= 2\pi a$

$= 2 \times 3.1416 \times 0.42 \text{ মিটার}$

$= 2.638944 \text{ মিটার}$

ধরি, আসা-যাওয়ার ক্ষেত্রে চাকাটি মোট $N$ বার ঘুরবে।

অতএব, $N = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{চাকার পরিধি}}$

বা, $N = \frac{786796}{2.638944}$

$= 298148.05 \text{ বার (প্রায়)}$

উত্তর: চাকাটি প্রায় $298148$ বার ঘুরবে।

১১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য $7$ সেমি এবং সবচেয়ে ছোট কোণের পরিমাণ $15^\circ$ হলে তার অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভুজ $= c$ সেমি।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুই হলো ওই কোণের বিপরীত বাহু (লম্ব)।

ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহুই হলো সবচেয়ে ছোট বাহু।

দেওয়া আছে,

ক্ষুদ্রতম কোণ, $\theta = 15^\circ$

ক্ষুদ্রতম বাহু (লম্ব) $= 7 \text{ সেমি}$

ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে,

$\sin 15^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

বা, $\sin 15^\circ = \frac{7}{c}$

বা, $c = \frac{7}{\sin 15^\circ}$

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে বা মান বসিয়ে পাই,

$\sin 15^\circ \approx 0.258819$

বা, $c = \frac{7}{0.258819}$

বা, $c = 27.046 \text{ সেমি (প্রায়)}$

উত্তর: অতিভুজের দৈর্ঘ্য $27.046$ সেমি (প্রায়)।

নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি)

১. $-300^\circ$ কোণটি কোন চতুর্ভাগে থাকবে?

সমাধান:

$-300^\circ = -(360^\circ – 60^\circ) = -360^\circ + 60^\circ$

ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে ($-360^\circ$) পুনরায় বিপরীত দিকে $60^\circ$ যাবে, যা প্রথম চতুর্ভাগে পড়ে।

সঠিক উত্তর:ক) প্রথম

২. পাশের চিত্র অনুসারে:

(চিত্রে $AB = 4$, $BC = 3$ এবং $\angle B = 90^\circ$)

সমাধান:

অতিভুজ, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$(i)$$\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ (সঠিক)

$(ii)$$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} \neq \frac{3}{5}$ (ভুল)

$(iii)$$\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{3}{5}$
অতএব, $\cos^2\theta = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ (সঠিক)

সুতরাং, $(i)$ ও $(iii)$ সঠিক।

সঠিক উত্তর:খ) i ও iii

নিচের চিত্রের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

(চিত্রে $\angle A = 90^\circ$, লম্ব $AC = b$, অতিভুজ $BC = a$ এবং ভূমি $AB = \sqrt{a^2 – b^2}$)

৩. $\sin B + \cos C =$ কত?

সমাধান:

$\sin B = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$

$\cos C = \frac{\text{সন্নিহিত বাহু}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$

অতএব,

$\sin B + \cos C = \frac{b}{a} + \frac{b}{a} = \frac{2b}{a}$

সঠিক উত্তর:ক) $\frac{2b}{a}$

৪. $\tan B$ এর মান কোনটি?

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:

$$AB = \sqrt{BC^2 – AC^2} = \sqrt{a^2 – b^2}$$

আমরা জানি,

$\tan B = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{\sqrt{a^2 – b^2}}$

সঠিক উত্তর:ঘ) $\frac{b}{\sqrt{a^2 – b^2}}$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. উদ্দীপক: $a\cos\theta – b\sin\theta = p$

(ক) $A = \frac{\pi}{3}$ হলে দেখাও যে, $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 – \tan^2 A}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

বামপক্ষ: $= \tan 2A = \tan\left(2 \times \frac{\pi}{3}\right) = \tan\frac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

ডানপক্ষ $= \frac{2\tan A}{1 – \tan^2 A} = \frac{2\tan\frac{\pi}{3}}{1 – \tan^2\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{1 – (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1 – 3} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}$

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ(দেখানো হলো)

(খ) প্রমাণ করো যে, $a\sin\theta + b\cos\theta = \pm\sqrt{a^2 + b^2 – p^2}$

সমাধান: দেওয়া আছে, $a\cos\theta – b\sin\theta = p$

বা, $(a\cos\theta – b\sin\theta)^2 = p^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $a^2\cos^2\theta – 2ab\cos\theta\sin\theta + b^2\sin^2\theta = p^2$

বা, $a^2(1 – \sin^2\theta) – 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2(1 – \cos^2\theta) = p^2$

বা, $a^2 – a^2\sin^2\theta – 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2 – b^2\cos^2\theta = p^2$

বা, $a^2 + b^2 – p^2 = a^2\sin^2\theta + 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2\cos^2\theta$

বা, $(a\sin\theta + b\cos\theta)^2 = a^2 + b^2 – p^2$

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই,

$a\sin\theta + b\cos\theta = \pm\sqrt{a^2 + b^2 – p^2} \quad \text{(প্রমাণিত)}$

(গ) $a = \sqrt{3}$, $b = 1$ এবং $p = 2$ হলে, উদ্দীপকের সমীকরণটি সমাধান করো। (যেখানে, $0 < \theta < 2\pi$)

সমাধান: দেওয়া আছে, $a\cos\theta – b\sin\theta = p$

$\sqrt{3}\cos\theta – \sin\theta = 2$ [দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3}$, $b = 1$ এবং $p = 2$]

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta – \frac{1}{2}\sin\theta = 1$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]

আমরা জানি, $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

বা, $\cos\theta\cos\frac{\pi}{6} – \sin\theta\sin\frac{\pi}{6} = 1$

বা, $\cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 1$

আমরা জানি, $0 < \theta < 2\pi$ সীমার মধ্যে $\cos x = 1$ হয় যখন $x = 0, 2\pi$ ইত্যাদি।

অতএব,

$\theta + \frac{\pi}{6} = 2\pi$

বা, $\theta = 2\pi – \frac{\pi}{6}$

বা, $\theta = \frac{11\pi}{6}$

উত্তর:$\theta = \frac{11\pi}{6}$

৬. $p = \tan\theta$, $q = \cot\theta$

(ক) ৯ টা ১৫ মিনিটের সময় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, ঘড়ির ডায়ালটি $360^\circ$ বা $12$ টি বড় ভাগে বিভক্ত। প্রতি ভাগের মান $= \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।

• $9$ টা $15$ মিনিটে মিনিটের কাঁটাটি $3$ এর ঘরে থাকে।
• ৯ টা থেকে ৩ টা পর্যন্ত মোট ঘর সংখ্যা $= 6$ টি।
• কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী প্রাথমিক কোণ $= 6 \times 30^\circ = 180^\circ$।

কিন্তু $15$ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটাটি $9$ এর ঘর থেকে কিছুটা $10$ এর দিকে সরে যায়।

ঘণ্টার কাঁটা $60$ মিনিটে ঘোরে $30^\circ$।

অতএব, $15$ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ঘোরে $= \frac{30^\circ \times 15}{60} = 7.5^\circ$।

যেহেতু ঘণ্টার কাঁটা সরে যাওয়ার ফলে দুই কাঁটার মধ্যবর্তী দূরত্ব কমে যায়:

নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ $= 180^\circ – 7.5^\circ = 172.5^\circ$ বা $172^\circ 30’$।

রেডিয়ান এককে প্রকাশ করলে:

$172.5^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{172.5 \times 3.1416}{180} \approx 3.0107 \text{ রেডিয়ান}$

উত্তর:$172.5^\circ$ (বা $3.0107$ রেডিয়ান)।

(খ) $p + q = 2$ হলে দেখাও যে, $p^n + q^n = 2$

সমাধান: দেওয়া আছে, $p + q = 2$

বা, $\tan\theta + \cot\theta = 2$

বা, $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 2$

বা, $\frac{\tan^2\theta + 1}{\tan\theta} = 2$

বা, $\tan^2\theta – 2\tan\theta + 1 = 0$

বা, $(\tan\theta – 1)^2 = 0$

বা, $\tan\theta = 1$

অতএব, $p = 1$

এবং $q = \frac{1}{p} = \frac{1}{1} = 1$

এখন, বামপক্ষ:

$p^n + q^n = (1)^n + (1)^n = 1 + 1 = 2 = \text{ডানপক্ষ}$ (দোখানো হলো)

(গ) $q = \frac{3}{4}$ এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ হলে, $\frac{\cot(-\theta) + \csc\theta}{\cos\theta + \sin(-\theta)}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $q = \cot\theta = \frac{3}{4}$

শর্ত অনুযায়ী, $\theta$ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ($\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$)।

তৃতীয় চতুর্ভাগে $\cot\theta$ ও $\tan\theta$ ধনাত্মক, কিন্তু $\sin\theta$, $\cos\theta$ ও $\csc\theta$ ঋণাত্মক।

আমরা জানি,

• $\tan\theta = \frac{4}{3}$
• $\csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \implies \csc\theta = -\frac{5}{4}$
• $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} = -\frac{4}{5}$
• $\cos\theta = \cot\theta \cdot \sin\theta = \left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$

আমরা জানি, $\cot(-\theta) = -\cot\theta$ এবং $\sin(-\theta) = -\sin\theta$।

প্রদত্ত রাশি:

$= \frac{-\cot\theta + \csc\theta}{\cos\theta – \sin\theta}$

মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{-\frac{3}{4} + \left(-\frac{5}{4}\right)}{-\frac{3}{5} – \left(-\frac{4}{5}\right)} = \frac{-\frac{3}{4} – \frac{5}{4}}{-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{8}{4}}{\frac{1}{5}} = \frac{-2}{\frac{1}{5}} = -2 \times 5 = -10$

উত্তর:$-10$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৭.

(ক) $0.9795$ রেডিয়ানকে ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সমাধান:

আমরা জানি, $1 \text{ রেডিয়ান} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$

অতএব,

$0.9795 \text{ রেডিয়ান} = 0.9795 \times \frac{180}{3.1416}^\circ \approx 56.12172^\circ$

• পূর্ণ ডিগ্রি $= 56^\circ$
• ভগ্নাংশকে মিনিটে রূপান্তর: $0.12172 \times 60′ = 7.3032’$
• মিনিটে পূর্ণ অংশ $= 7’$
• ভগ্নাংশকে সেকেন্ডে রূপান্তর: $0.3032 \times 60” \approx 18.19”$

উত্তর:$56^\circ 7′ 18”$ (প্রায়)।

(খ) $\sec\left(-\frac{21\pi}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, $\sec(-\theta) = \sec\theta$

$$\sec\left(-\frac{21\pi}{2}\right) = \sec\left(\frac{21\pi}{2}\right) = \sec\left(10\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sec\frac{\pi}{2}$$

যেহেতু $\sec 90^\circ = \frac{1}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$, তাই এটি অসংজ্ঞায়িত।

উত্তর: অসংজ্ঞায়িত

(গ) $\tan\frac{\pi}{12}\tan\frac{5\pi}{12}\tan\frac{7\pi}{12}\tan\frac{11\pi}{12}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \tan\frac{\pi}{12}\tan\frac{5\pi}{12}\tan\frac{7\pi}{12}\tan\frac{11\pi}{12}$

কোণগুলোকে রূপান্তর করে পাই:

• $\tan\frac{7\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cot\frac{\pi}{12}$
• $\tan\frac{11\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{12}\right) = -\cot\frac{5\pi}{12}$

মান বসিয়ে পাই:

$= \tan\frac{\pi}{12} \cdot \tan\frac{5\pi}{12} \cdot \left(-\cot\frac{\pi}{12}\right) \cdot \left(-\cot\frac{5\pi}{12}\right)$

$= \left(\tan\frac{\pi}{12} \cdot \cot\frac{\pi}{12}\right) \left(\tan\frac{5\pi}{12} \cdot \cot\frac{5\pi}{12}\right)$

$= 1 \times 1 = 1$

উত্তর:$1$

(ঘ) $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ হলে, $\alpha$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$

শর্ত অনুযায়ী $\alpha$ দ্বিতীয় ও তৃতীয় চতুর্ভাগের মধ্যে সীমাবদ্ধ। কিন্তু $\sin\alpha$ ঋণাত্মক হওয়ায় $\alpha$ শুধুমাত্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

আমরা জানি, $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

তৃতীয় চতুর্ভাগে:

$\sin\alpha = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{7\pi}{6}$

$\implies \alpha = \frac{7\pi}{6}$

উত্তর:$\alpha = \frac{7\pi}{6}$