অনুশীলনী ৮.২: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ
প্রশ্ন ১. ক্যালকুলেটরের ব্যবহার না করে মান নির্ণয় করো:
(ক) $\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3}}$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}$ [আমরা জানি, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$]
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2\sqrt{3}}{2}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$= \frac{1}{\sqrt{6}}$
উত্তর:$\frac{1}{\sqrt{6}}$।
(খ) $\tan \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{6} \cdot \tan \frac{\pi}{3}$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \tan \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{6} \cdot \tan \frac{\pi}{3}$
$= 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\right)$ [আমরা জানি, $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$]
$= 1 + 1$
$= 2$
উত্তর:$2$।
প্রশ্ন ২. $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ হলে $\tan \theta$ এবং $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$
এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ [অর্থাৎ $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin \theta$ ঋণাত্মক এবং $\tan \theta$ ধনাত্মক।]
আমরা জানি,
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
বা, $\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta$
বা, $\sin^2 \theta = 1 – \left(-\frac{4}{5}\right)^2$
বা, $\sin^2 \theta = 1 – \frac{16}{25}$
বা, $\sin^2 \theta = \frac{25 – 16}{25}$
বা, $\sin^2 \theta = \frac{9}{25}$
বা, $\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}}$
বা, $\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$
বা, $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ [যেহেতু $\theta$ ৩য় চতুর্ভাগে, তাই $\sin \theta$ ঋণাত্মক]
আবার, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
বা, $\tan \theta = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$
বা, $\tan \theta = -\frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{4}\right)$
বা, $\tan \theta = \frac{3}{4}$
উত্তর:$\tan \theta = \frac{3}{4}$ এবং $\sin \theta = -\frac{3}{5}$।
প্রশ্ন ৩. $\sin A = \frac{2}{\sqrt{5}}$ এবং $\frac{\pi}{2} < A < \pi$ এর ক্ষেত্রে $\cos A$ এবং $\tan A$ এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $\sin A = \frac{2}{\sqrt{5}}$
এবং $\frac{\pi}{2} < A < \pi$ [অর্থাৎ $A$ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। দ্বিতীয় চতুর্ভাগে $\cos A$ ও $\tan A$ উভয়ই ঋণাত্মক।]
আমরা জানি,
$\cos^2 A = 1 – \sin^2 A$
বা, $\cos^2 A = 1 – \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$
বা, $\cos^2 A = 1 – \frac{4}{5}$
বা, $\cos^2 A = \frac{5 – 4}{5}$
বা, $\cos^2 A = \frac{1}{5}$
বা, $\cos A = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$
বা, $\cos A = -\sqrt{\frac{1}{5}}$ [যেহেতু $A$ ২য় চতুর্ভাগে, তাই $\cos A$ ঋণাত্মক]
বা, $\cos A = -\frac{1}{\sqrt{5}}$
আবার, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
বা, $\tan A = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}}$
বা, $\tan A = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{1}\right)$
বা, $\tan A = -2$
উত্তর:$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ এবং $\tan A = -2$।
প্রশ্ন ৪. দেওয়া আছে, $\cos A = \frac{1}{2}$ এবং $\cos A$ ও $\sin A$ একই চিহ্নবিশিষ্ট। $\sin A$ ও $\tan A$ এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, $\cos A = \frac{1}{2}$ (যা ধনাত্মক)।
যেহেতু $\cos A$ ও $\sin A$ একই চিহ্নবিশিষ্ট, তাই $\sin A$-ও ধনাত্মক হবে। অতএব, $A$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।
আমরা জানি, $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$
বা, $\sin^2 A = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2$
বা, $\sin^2 A = 1 – \frac{1}{4}$
বা, $\sin^2 A = \frac{3}{4}$
বা, $\sin A = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
বা, $\sin A = \sqrt{\frac{3}{4}}$ [যেহেতু $\sin A$ ধনাত্মক]
বা, $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$
আবার, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
বা, $\tan A = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$
বা, $\tan A = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1}$
বা, $\tan A = \sqrt{3}$
উত্তর:$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\tan A = \sqrt{3}$।
প্রশ্ন ৫. দেওয়া আছে, $\tan A = -\frac{5}{12}$ এবং $\tan A$ ও $\cos A$ বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। $\sin A$ ও $\cos A$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\tan A = -\frac{5}{12}$ (যা ঋণাত্মক)।
যেহেতু $\tan A$ ও $\cos A$ বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট, তাই $\cos A$ ধনাত্মক হবে। $\tan A$ ঋণাত্মক এবং $\cos A$ ধনাত্মক হওয়ায় $A$ কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত। চতুর্থ চতুর্ভাগে $\sin A$ ঋণাত্মক।
আমরা জানি,
$\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$
বা, $\sec^2 A = 1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2$
বা, $\sec^2 A = 1 + \frac{25}{144}$
বা, $\sec^2 A = \frac{144 + 25}{144}$
বা, $\sec^2 A = \frac{169}{144}$
বা, $\sec A = \pm \sqrt{\frac{169}{144}}$
বা, $\sec A = \sqrt{\frac{169}{144}}$ [যেহেতু ৪র্থ চতুর্ভাগে $\sec A$ ধনাত্মক]
বা, $\sec A = \frac{13}{12}$
অতএব,
$\cos A = \frac{1}{\sec A} = \frac{12}{13}$
আবার, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
বা, $\sin A = \tan A \cdot \cos A$
বা, $\sin A = \left(-\frac{5}{12}\right) \times \frac{12}{13}$
বা, $\sin A = -\frac{5}{13}$
উত্তর:$\sin A = -\frac{5}{13}$ এবং $\cos A = \frac{12}{13}$।
প্রশ্ন ৬. নিম্নলিখিত অভেদসমূহ প্রমাণ করো:
(ক) $\tan A + \cot A = \sec A \cosec A$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \tan A + \cot A$
$= \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}$
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\cos A \sin A}$
$= \frac{1}{\cos A \sin A}$$[ \text{যেহেতু } \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]$
$= \frac{1}{\cos A} \cdot \frac{1}{\sin A}$
$= \sec A \cosec A$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore \tan A + \cot A = \sec A \cosec A$(প্রমাণিত)
(খ) $\sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 – \cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta = \sqrt{\frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta – 1}}$
সমাধান:
প্রথম রাশি $= \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 – \cos \theta}}$
$= \sqrt{\frac{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1 – \cos \theta)(1 + \cos \theta)}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{1 + \cos \theta}$ দ্বারা গুণ করে]
$= \sqrt{\frac{(1 + \cos \theta)^2}{1 – \cos^2 \theta}}$
$= \sqrt{\frac{(1 + \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}}$$[ \text{যেহেতু } 1 – \cos^2 \theta = \sin^2 \theta ]$
$= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \cosec \theta + \cot \theta$
$= \text{দ্বিতীয় রাশি}$
আবার, তৃতীয় রাশি $= \sqrt{\frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta – 1}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{1}{\cos \theta} + 1}{\frac{1}{\cos \theta} – 1}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 – \cos \theta}{\cos \theta}}}$
$= \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 – \cos \theta}}$
$= \text{প্রথম রাশি} = \cosec \theta + \cot \theta$
$\therefore \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 – \cos \theta}} = \cosec \theta + \cot \theta = \sqrt{\frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta – 1}}$(প্রমাণিত)
(গ) $\sqrt{\frac{1 – \sin A}{1 + \sin A}} = \sec A – \tan A$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \sqrt{\frac{1 – \sin A}{1 + \sin A}}$
$= \sqrt{\frac{(1 – \sin A)(1 – \sin A)}{(1 + \sin A)(1 – \sin A)}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{1 – \sin A}$ দ্বারা গুণ করে]
$= \sqrt{\frac{(1 – \sin A)^2}{1 – \sin^2 A}}$
$= \sqrt{\frac{(1 – \sin A)^2}{\cos^2 A}}$$[ \text{যেহেতু } 1 – \sin^2 A = \cos^2 A ]$
$= \frac{1 – \sin A}{\cos A}$
$= \frac{1}{\cos A} – \frac{\sin A}{\cos A}$
$= \sec A – \tan A$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore \sqrt{\frac{1 – \sin A}{1 + \sin A}} = \sec A – \tan A$(প্রমাণিত)
(ঘ) $\sec^4 \theta – \sec^2 \theta = \tan^4 \theta + \tan^2 \theta$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \sec^4 \theta – \sec^2 \theta$
$= \sec^2 \theta (\sec^2 \theta – 1)$
$= (1 + \tan^2 \theta) \cdot \tan^2 \theta$ [আমরা জানি, $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ এবং $\sec^2 \theta – 1 = \tan^2 \theta$]
$= \tan^2 \theta + \tan^4 \theta$
$= \tan^4 \theta + \tan^2 \theta$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore \sec^4 \theta – \sec^2 \theta = \tan^4 \theta + \tan^2 \theta$(প্রমাণিত)
(ঙ) $(\sec \theta – \cos \theta)(\csc \theta – \sin \theta)(\tan \theta + \cot \theta) = 1$
সমাধান:
বামপক্ষ $= (\sec \theta – \cos \theta)(\cosec \theta – \sin \theta)(\tan \theta + \cot \theta)$
$= \left(\frac{1}{\cos \theta} – \cos \theta\right) \left(\frac{1}{\sin \theta} – \sin \theta\right) \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
$= \left(\frac{1 – \cos^2 \theta}{\cos \theta}\right) \left(\frac{1 – \sin^2 \theta}{\sin \theta}\right) \left(\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}\right)$
$= \left(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\right) \left(\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}\right) \left(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}\right)$
$= \frac{\sin^2 \theta \cdot \cos^2 \theta \cdot 1}{\cos \theta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}$
$= 1$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore (\sec \theta – \cos \theta)(\cosec \theta – \sin \theta)(\tan \theta + \cot \theta) = 1$(প্রমাণিত)
(চ) $\frac{\tan \theta + \sec \theta – 1}{\tan \theta – \sec \theta + 1} = \tan \theta + \sec \theta$
সমাধান:
বামপক্ষ $= \frac{\tan \theta + \sec \theta – 1}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$
$= \frac{(\tan \theta + \sec \theta) – (\sec^2 \theta – \tan^2 \theta)}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$ [আমরা জানি, $1 = \sec^2 \theta – \tan^2 \theta$]
$= \frac{(\sec \theta + \tan \theta) – (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta – \tan \theta)}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$
$= \frac{(\sec \theta + \tan \theta) \{1 – (\sec \theta – \tan \theta)\}}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$
$= \frac{(\sec \theta + \tan \theta) (1 – \sec \theta + \tan \theta)}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$
$= \frac{(\sec \theta + \tan \theta) (\tan \theta – \sec \theta + 1)}{\tan \theta – \sec \theta + 1}$
$= \sec \theta + \tan \theta$
$= \tan \theta + \sec \theta$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore \frac{\tan \theta + \sec \theta – 1}{\tan \theta – \sec \theta + 1} = \tan \theta + \sec \theta$(প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৭. যদি $\csc A = \frac{a}{b}$ হয়, যেখানে $a > b > 0$, তবে প্রমাণ করো যে, $\tan A = \frac{\pm b}{\sqrt{a^2 – b^2}}$।
সমাধান: দেওয়া আছে, $\cosec A = \frac{a}{b}$
আমরা জানি,
$\sin A = \frac{1}{\cosec A} = \frac{b}{a}$
আবার,
$\cos^2 A = 1 – \sin^2 A$
বা, $\cos^2 A = 1 – \left(\frac{b}{a}\right)^2$
বা, $\cos^2 A = 1 – \frac{b^2}{a^2}$
বা, $\cos^2 A = \frac{a^2 – b^2}{a^2}$
বা, $\cos A = \pm \sqrt{\frac{a^2 – b^2}{a^2}}$
বা, $\cos A = \frac{\pm \sqrt{a^2 – b^2}}{a}$
এখন,
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
বা, $\tan A = \frac{\frac{b}{a}}{\frac{\pm \sqrt{a^2 – b^2}}{a}}$
বা, $\tan A = \frac{b}{a} \times \frac{a}{\pm \sqrt{a^2 – b^2}}$
বা, $\tan A = \frac{\pm b}{\sqrt{a^2 – b^2}}$(প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৮. যদি $\cos \theta – \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ হয়, তবে দেখাও যে, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$।
সমাধান: দেওয়া আছে, $\cos \theta – \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$
বা, $\cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta$
বা, $\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
বা, $(\sqrt{2} – 1) \cos \theta = (\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1) \sin \theta$ [উভয়পক্ষকে $(\sqrt{2} – 1)$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $\sqrt{2} \cos \theta – \cos \theta = \{(\sqrt{2})^2 – 1^2\} \sin \theta$
বা, $\sqrt{2} \cos \theta – \cos \theta = (2 – 1) \sin \theta$
বা, $\sqrt{2} \cos \theta – \cos \theta = 1 \cdot \sin \theta$
বা, $\sqrt{2} \cos \theta – \cos \theta = \sin \theta$
বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$(দেখানো হলো)
প্রশ্ন ৯. $\tan \theta = \frac{x}{y}$, $x \neq y$ হলে, $\frac{x \sin \theta + y \cos \theta}{x \sin \theta – y \cos \theta}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে, $\tan \theta = \frac{x}{y}$
বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{y}$
বা, $\frac{x \sin \theta}{y \cos \theta} = \frac{x \cdot x}{y \cdot y}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{x}{y}$ দ্বারা গুণ করে]
বা, $\frac{x \sin \theta}{y \cos \theta} = \frac{x^2}{y^2}$
বা, $\frac{x \sin \theta + y \cos \theta}{x \sin \theta – y \cos \theta} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2}$ [যোজন-বিয়োজন করে পাই]
উত্তর:$\frac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2}$।
প্রশ্ন ১০. $\tan \theta + \sec \theta = x$ হলে, দেখাও যে, $\sin \theta = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$।
প্রমাণ: দেওয়া আছে, $\tan \theta + \sec \theta = x$
বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = x$
বা, $\frac{\sin \theta + 1}{\cos \theta} = x$
বা, $\left(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\right)^2 = x^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{(1 + \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta} = x^2$
বা, $\frac{(1 + \sin \theta)^2}{1 – \sin^2 \theta} = x^2$
বা, $\frac{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{(1 + \sin \theta)(1 – \sin \theta)} = x^2$
বা, $\frac{1 + \sin \theta}{1 – \sin \theta} = x^2$
বা, $\frac{(1 + \sin \theta) – (1 – \sin \theta)}{(1 + \sin \theta) + (1 – \sin \theta)} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$ [বিয়োজন-যোজন করে]
বা, $\frac{1 + \sin \theta – 1 + \sin \theta}{1 + \sin \theta + 1 – \sin \theta} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$
বা, $\frac{2 \sin \theta}{2} = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$
বা, $\sin \theta = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$(দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১১. মান নির্ণয় করো:
(ক) $\sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \tan^2 \frac{\pi}{3} + \cot^2 \frac{\pi}{6}$
সমাধান: আমরা জানি,
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ এবং $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
প্রদত্ত রাশি $= \sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \tan^2 \frac{\pi}{3} + \cot^2 \frac{\pi}{6}$
$= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 + 3$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6$
$= \frac{1 + 2 + 24}{4}$
$= \frac{27}{4}$
$= 6\frac{3}{4}$
উত্তর:$\frac{27}{4}$ বা $6\frac{3}{4}$।
(খ) $3 \tan^2 \frac{\pi}{4} – \sin^2 \frac{\pi}{3} – \frac{1}{2} \cot^2 \frac{\pi}{6} + \frac{1}{3} \sec^2 \frac{\pi}{4}$
সমাধান: আমরা জানি,
$\tan \frac{\pi}{4} = 1$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ এবং $\sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$
প্রদত্ত রাশি $= 3(1)^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \frac{1}{2} (\sqrt{3})^2 + \frac{1}{3} (\sqrt{2})^2$
$= 3(1) – \frac{3}{4} – \frac{1}{2}(3) + \frac{1}{3}(2)$
$= 3 – \frac{3}{4} – \frac{3}{2} + \frac{2}{3}$
$= \frac{36 – 9 – 18 + 8}{12}$
$= \frac{44 – 27}{12}$
$= \frac{17}{12}$
$= 1\frac{5}{12}$
উত্তর:$\frac{17}{12}$ বা $1\frac{5}{12}$।
(গ) $\tan^2 \frac{\pi}{4} – \sin^2 \frac{\pi}{3} \tan^2 \frac{\pi}{6} \tan^2 \frac{\pi}{3} \cos^2 \frac{\pi}{4}$
সমাধান: আমরা জানি,
$\tan \frac{\pi}{4} = 1$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ এবং $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
প্রদত্ত রাশি $= (1)^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$= 1 – \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$
$= 1 – \frac{3}{8}$
$= \frac{8 – 3}{8}$
$= \frac{5}{8}$
উত্তর:$\frac{5}{8}$।
(ঘ) $\frac{\tan \frac{\pi}{3} – \tan \frac{\pi}{6}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6}} + \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{6}$
সমাধান: আমরা জানি,
$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{\sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)$
$= \frac{\frac{3 – 1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{4}$
$= \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{2 + 3}{2\sqrt{3}}$
$= \frac{5}{2\sqrt{3}}$
উত্তর:$\frac{5}{2\sqrt{3}}$।
প্রশ্ন ১২. সরল করো:
$\frac{1 – \sin^2 \frac{\pi}{6}}{1 + \sin^2 \frac{\pi}{4}} \times \frac{\cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6}}{\csc^2 \frac{\pi}{2} – \cot^2 \frac{\pi}{2}} \div \left( \sin \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6} \right) + \left( \sec^2 \frac{\pi}{6} – \tan^2 \frac{\pi}{6} \right)$
সমাধান: আমরা জানি,
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\csc \frac{\pi}{2} = 1$, $\cot \frac{\pi}{2} = 0$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\sec^2 \frac{\pi}{6} – \tan^2 \frac{\pi}{6} = 1$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} \times \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{(1)^2 – (0)^2} \div \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 1$
$= \frac{1 – \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{2}} \times \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{1} \div \left( \frac{1}{2} \right) + 1$
$= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} \times \frac{1}{1} \div \frac{1}{2} + 1$
$= \left(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\right) \times 1 \times \frac{2}{1} + 1$
$= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 + 1$
$= 1 + 1$
$= 2$
উত্তর:$2$।