অনুশীলনী ১০.২: দ্বিপদী বিস্তৃত
১. $(x + y)^5$ -এর বিস্তৃতিতে দ্বিপদী সহগগুলি হলো:
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী $(x + y)^5$ এর বিস্তৃত করলে পদগুলোর সহগ হবে:
$\binom{5}{0}, \binom{5}{1}, \binom{5}{2}, \binom{5}{3}, \binom{5}{4}, \binom{5}{5}$
মানগুলো হিসাব করলে পাই:
$\binom{5}{0} = 1$
$\binom{5}{1} = 5$
$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
$\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$
$\binom{5}{4} = 5$
$\binom{5}{5} = 1$
সুতরাং, সহগগুলো হলো: $1, 5, 10, 10, 5, 1$
উত্তর: খ) $1, 5, 10, 10, 5, 1$
২. $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^4$ -এর বিস্তৃতিতে $x$ মুক্ত পদ কত?
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই:
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^4 = (x^2)^4 + \binom{4}{1}(x^2)^3\left(\frac{1}{x^2}\right) + \binom{4}{2}(x^2)^2\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 + \binom{4}{3}(x^2)\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^4$
$= x^8 + 4x^6\cdot\frac{1}{x^2} + 6x^4\cdot\frac{1}{x^4} + 4x^2\cdot\frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^8}$
$= x^8 + 4x^4 + 6 + \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^8}$
এখানে $x$ মুক্ত পদ (ধ্রুবক পদ) হলো $6$।
উত্তর: খ) $6$
৩. $(x + y)^4$ বিস্তৃতির সহগগুলি সাজালে আমরা পাই-
সমাধান:
প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের মাধ্যমে ঘাত (power) $n = 0$ থেকে $n = 4$ পর্যন্ত সাজালে পাই:
- $n = 0 \to 1$
- $n = 1 \to 1 \quad 1$
- $n = 2 \to 1 \quad 2 \quad 1$
- $n = 3 \to 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
- $n = 4 \to 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$
প্যাসকেলের অনুক্রমের সাথে ‘খ’ নম্বর অপশনটি হুবহু মিলে যায়।
উত্তর: খ)
$1$
$1 \quad 1$
$1 \quad 2 \quad 1$
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$
৪. নিম্নোক্ত প্রতিটি ক্ষেত্রে বিস্তৃত করো:
ক) $(2 + x^2)^5$
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
$(2 + x^2)^5$
$= 2^5 + \binom{5}{1} \cdot 2^4 \cdot (x^2) + \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot (x^2)^2 + \binom{5}{3} \cdot 2^2 \cdot (x^2)^3 + \binom{5}{4} \cdot 2^1 \cdot (x^2)^4 + (x^2)^5$
$= 32 + (5 \times 16 \times x^2) + (10 \times 8 \times x^4) + (10 \times 4 \times x^6) + (5 \times 2 \times x^8) + x^{10}$
$= 32 + 80x^2 + 80x^4 + 40x^6 + 10x^8 + x^{10}$
উত্তর: $32 + 80x^2 + 80x^4 + 40x^6 + 10x^8 + x^{10}$
খ) $\left(2 – \frac{1}{2x}\right)^6$
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
$\left(2 – \frac{1}{2x}\right)^6$
$= 2^6 + \binom{6}{1} \cdot 2^5 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right) + \binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^2 + \binom{6}{3} \cdot 2^3 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^3 + \binom{6}{4} \cdot 2^2 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^4 + \binom{6}{5} \cdot 2^1 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^5 + \left(-\frac{1}{2x}\right)^6$
মানগুলো হিসাব করে সাজিয়ে পাই,
$= 64 + 6 \cdot 32 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right) + 15 \cdot 16 \cdot \left(\frac{1}{4x^2}\right) + 20 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{8x^3}\right) + 15 \cdot 4 \cdot \left(\frac{1}{16x^4}\right) + 6 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{32x^5}\right) + \frac{1}{64x^6}$
$= 64 – \frac{192}{2x} + \frac{240}{4x^2} – \frac{160}{8x^3} + \frac{60}{16x^4} – \frac{12}{32x^5} + \frac{1}{64x^6}$
$= 64 – \frac{96}{x} + \frac{60}{x^2} – \frac{20}{x^3} + \frac{15}{4x^4} – \frac{3}{8x^5} + \frac{1}{64x^6}$
উত্তর:$64 – \frac{96}{x} + \frac{60}{x^2} – \frac{20}{x^3} + \frac{15}{4x^4} – \frac{3}{8x^5} + \frac{1}{64x^6}$
৫. নিম্নোক্ত বিস্তৃতিসমূহের প্রথম চারটি পদ নির্ণয় করো।
ক) $(2 + 3x)^6$
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে প্রথম ৪টি পদ বিস্তৃত করি:
$(2 + 3x)^6 = 2^6 + \binom{6}{1} 2^5 (3x) + \binom{6}{2} 2^4 (3x)^2 + \binom{6}{3} 2^3 (3x)^3 + \cdots$
$= 64 + 6 \times 32 \times 3x + 15 \times 16 \times 9x^2 + 20 \times 8 \times 27x^3 + \cdots$
$= 64 + 576x + 2160x^2 + 4320x^3 + \cdots$
উত্তর: প্রথম চারটি পদ হলো: $64, 576x, 2160x^2, 4320x^3$
খ) $\left(4 – \frac{1}{2x}\right)^5$
সমাধান:
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে প্রথম ৪টি পদ বিস্তৃত করি:
$\left(4 – \frac{1}{2x}\right)^5 = 4^5 + \binom{5}{1} 4^4 \left(-\frac{1}{2x}\right) + \binom{5}{2} 4^3 \left(-\frac{1}{2x}\right)^2 + \binom{5}{3} 4^2 \left(-\frac{1}{2x}\right)^3 + \cdots$
$= 1024 + 5 \times 256 \times \left(-\frac{1}{2x}\right) + 10 \times 64 \times \left(\frac{1}{4x^2}\right) + 10 \times 16 \times \left(-\frac{1}{8x^3}\right) + \cdots$
$= 1024 – \frac{640}{x} + \frac{160}{x^2} – \frac{20}{x^3} + \cdots$
উত্তর: প্রথম চারটি পদ হলো: $1024, -\frac{640}{x}, \frac{160}{x^2}, -\frac{20}{x^3}$
৬. $\left(p – \frac{1}{2}x\right)^6 = r – 96x + sx^2 + \cdots$ হলে, $p, r$ এবং $s$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
বামপক্ষকে বিস্তৃত করে পাই:
$\left(p – \frac{1}{2}x\right)^6 = p^6 + \binom{6}{1} p^5 \left(-\frac{1}{2}x\right) + \binom{6}{2} p^4 \left(-\frac{1}{2}x\right)^2 + \cdots$
$= p^6 – 3p^5 x + \frac{15}{4}p^4 x^2 + \cdots$
প্রশ্নমতে,
$p^6 – 3p^5 x + \frac{15}{4}p^4 x^2 + \cdots = r – 96x + sx^2 + \cdots$
উভয় পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই:
$1) \quad r = p^6$
$2) \quad -3p^5 = -96 \implies p^5 = 32 \implies p^5 = 2^5 \implies p = 2$
$3) \quad s = \frac{15}{4}p^4$
$p = 2$ বসিয়ে পাই:
$r = 2^6 = 64$
$s = \frac{15}{4} \times 2^4 = \frac{15}{4} \times 16 = 60$
উত্তর:$p = 2, r = 64, s = 60$
৭. $x$ এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে $\left(2 + \frac{x}{4}\right)^6$ কে $x^3$ পর্যন্ত বিস্তৃত করো। উহার সাহায্যে $(1.9975)^6$ এর আসন্ন মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
সমাধান:
$\left(2 + \frac{x}{4}\right)^6 = 2^6 + \binom{6}{1} 2^5 \left(\frac{x}{4}\right) + \binom{6}{2} 2^4 \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \binom{6}{3} 2^3 \left(\frac{x}{4}\right)^3 + \cdots$
$= 64 + 6 \times 32 \times \frac{x}{4} + 15 \times 16 \times \frac{x^2}{16} + 20 \times 8 \times \frac{x^3}{64} + \cdots$
$= 64 + 48x + 15x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \cdots$ …….. (১)
এখন,
$2 + \frac{x}{4} = 1.9975$
বা, $\frac{x}{4} = 1.9975 – 2 = -0.0025$
বা, $x = 4 \times (-0.0025) = -0.01$
(১) নং সমীকরণে $x = -0.01$ বসিয়ে পাই:
$(1.9975)^6 \approx 64 + 48(-0.01) + 15(-0.01)^2 + 2.5(-0.01)^3$
$= 64 – 0.48 + 15(0.0001) + 2.5(-0.000001)$
$= 64 – 0.48 + 0.0015 – 0.0000025$
$= 63.5214975 \approx 63.5215$
উত্তর:$63.5215$ (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)।
৮. দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে $(1.99)^5$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
সমাধান:
$(1.99)^5 = (2 – 0.01)^5$
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে বিস্তৃত করি:
$(2 – 0.01)^5 = 2^5 + \binom{5}{1} 2^4 (-0.01) + \binom{5}{2} 2^3 (-0.01)^2 + \binom{5}{3} 2^2 (-0.01)^3 + \binom{5}{4} 2^1 (-0.01)^4 + (-0.01)^5$
$= 32 + 5 \times 16 \times (-0.01) + 10 \times 8 \times (0.0001) + 10 \times 4 \times (-0.000001) + \cdots$
$= 32 – 0.8 + 0.008 – 0.00004 + \cdots$
$= 31.20796 \approx 31.2080$
উত্তর:$31.2080$ (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)।
৯. $\left(1 + \frac{x}{4}\right)^n$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় পদের সহগ চতুর্থ পদের সহগের দ্বিগুণ। $n$ এর মান নির্ণয় করো। বিস্তৃতির পদসংখ্যা ও মধ্যপদ নির্ণয় করো।
সমাধান:
$\left(1 + \frac{x}{4}\right)^n$ এর বিস্তৃত রূপ:
তৃতীয় পদ, $T_3 = \binom{n}{2} \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{x^2}{16} \implies \text{সহগ} = \frac{n(n-1)}{32}$
চতুর্থ পদ, $T_4 = \binom{n}{3} \left(\frac{x}{4}\right)^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot \frac{x^3}{64} \implies \text{সহগ} = \frac{n(n-1)(n-2)}{384}$
প্রশ্নমতে,
$\frac{n(n-1)}{32} = 2 \times \frac{n(n-1)(n-2)}{384}$
উভয় পক্ষকে $n(n-1)$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($n \neq 0, 1$):
$\frac{1}{32} = \frac{n-2}{192}$
বা, $32(n – 2) = 192$
বা, $n – 2 = \frac{192}{32}$
বা, $n – 2 = 6 \implies n = 8$
- পদসংখ্যা:$n + 1 = 8 + 1 = 9$ টি।
- মধ্যপদ: পদসংখ্যা ৯ (বিজোড়), সুতরাং মধ্যপদ হবে $\left(\frac{8}{2} + 1\right) = 5$ তম পদ।
মধ্যপদ ($T_5$) $= \binom{8}{4} \left(\frac{x}{4}\right)^4 = 70 \times \frac{x^4}{256} = \frac{35}{128}x^4$
উত্তর:$n = 8$, পদসংখ্যা $= 9$, মধ্যপদ $= \frac{35}{128}x^4$
১০. $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ $160$ হলে $k$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r = \binom{6}{r} x^{12-2r} \cdot k^r \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} k^r x^{12-3r}$
$x^3$ এর সহগের জন্য:
$12 – 3r = 3 \implies 3r = 9 \implies r = 3$
সুতরাং, $x^3$ এর সহগ $= \binom{6}{3} k^3 = 20k^3$
প্রশ্নমতে,
$20k^3 = 160$
বা, $k^3 = 8 \implies k^3 = 2^3 \implies k = 2$
উত্তর:$k = 2$
১১. $(A + Bx)^n$ একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) $A = 1, B = 2$ এবং $n = 5$ হলে প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে রাশিটির বিস্তৃতি নির্ণয় করো।
সমাধান:
রাশিটি দাঁড়ায় $(1 + 2x)^5$
$n = 5$ এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজের সহগসমূহ: $1, 5, 10, 10, 5, 1$
সুতরাং,
$(1 + 2x)^5 = 1(1) + 5(1)(2x) + 10(1)(2x)^2 + 10(1)(2x)^3 + 5(1)(2x)^4 + 1(2x)^5$
$= 1 + 10x + 10(4x^2) + 10(8x^3) + 5(16x^4) + 32x^5$
$= 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$
উত্তর:$1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$
খ) $B = 3$ এবং $n = 7$ হলে রাশিটির বিস্তৃতির $x^4$ এর সহগ $22680$ হয়। $A$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
রাশিটি $(A + 3x)^7$
$x^4$ সংবলিত পদটি হলো $T_5 = \binom{7}{4} A^{7-4} (3x)^4 = 35 \cdot A^3 \cdot 81x^4 = 2835 A^3 x^4$
$x^4$ এর সহগ $= 2835 A^3$
প্রশ্নমতে,
$2835 A^3 = 22680$
বা, $A^3 = \frac{22680}{2835} = 8$
বা, $A^3 = 2^3 \implies A = 2$
উত্তর:$A = 2$
গ) $A = 2$ এবং $B = 1$ হলে রাশিটির বিস্তৃতির পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদের সহগ সমান হয়। $n$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
রাশিটি $(2 + x)^n$
পঞ্চম পদ, $T_5 = \binom{n}{4} 2^{n-4} x^4 \implies \text{সহগ} = \binom{n}{4} 2^{n-4}$
ষষ্ঠ পদ, $T_6 = \binom{n}{5} 2^{n-5} x^5 \implies \text{সহগ} = \binom{n}{5} 2^{n-5}$
প্রশ্নমতে,
$\binom{n}{4} 2^{n-4} = \binom{n}{5} 2^{n-5}$
বা, $\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{5}} = \frac{2^{n-5}}{2^{n-4}}$
বা, $\frac{\frac{n!}{4!(n-4)!}}{\frac{n!}{5!(n-5)!}} = 2^{(n-5)-(n-4)}$
বা, $\frac{5!(n-5)!}{4!(n-4)!} = 2^{-1}$
বা, $\frac{5 \times (n-5)!}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{2}$
বা, $\frac{5}{n-4} = \frac{1}{2} \implies n – 4 = 10 \implies n = 14$
উত্তর:$n = 14$
১২. $a_1, a_2, a_3, a_4$ যদি $(1 + x)^n$ এর বিস্তৃতির চারটি ক্রমিক পদের সহগ হয়ে থাকে তাহলে প্রমাণ করো যে, $\frac{a_1}{a_1 + a_2} + \frac{a_3}{a_3 + a_4} = \frac{2a_2}{a_2 + a_3}$
প্রমাণ:
ধরি, $(1 + x)^n$ এর বিস্তৃতির চারটি ক্রমিক পদ যথাক্রমে $r$ তম, $(r+1)$ তম, $(r+2)$ তম ও $(r+3)$ তম পদ।
অতএব,
$a_1 = \binom{n}{r-1}$
$a_2 = \binom{n}{r}$
$a_3 = \binom{n}{r+1}$
$a_4 = \binom{n}{r+2}$
আমরা জানি, $\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$
সুতরাং,
$a_1 + a_2 = \binom{n+1}{r}$
$a_2 + a_3 = \binom{n+1}{r+1}$
$a_3 + a_4 = \binom{n+1}{r+2}$
এখন, বামপক্ষের অংশগুলো আলাদা হিসাব করি:
$\frac{a_1}{a_1 + a_2} = \frac{\binom{n}{r-1}}{\binom{n+1}{r}} = \frac{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}{\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}} = \frac{r}{n+1}$
$\frac{a_3}{a_3 + a_4} = \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n+1}{r+2}} = \frac{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}}{\frac{(n+1)!}{(r+2)!(n-r-1)!}} = \frac{r+2}{n+1}$
বামপক্ষ $= \frac{a_1}{a_1 + a_2} + \frac{a_3}{a_3 + a_4} = \frac{r}{n+1} + \frac{r+2}{n+1} = \frac{2r + 2}{n+1} = \frac{2(r+1)}{n+1}$
এখন ডানপক্ষ:
$\frac{2a_2}{a_2 + a_3} = 2 \times \frac{\binom{n}{r}}{\binom{n+1}{r+1}} = 2 \times \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}} = 2 \times \frac{r+1}{n+1} = \frac{2(r+1)}{n+1}$
অতএব, $\text{বামপক্ষ} = \text{ডানপক্ষ}$(প্রমাণিত)
নমুনা প্রশ্ন (বহুনির্বাচনি):
১. $(1 – x)\left(1 + \frac{x}{2}\right)^8$ -এর বিস্তৃতিতে $x$ এর সহগ—
সমাধান:
প্রথমে $\left(1 + \frac{x}{2}\right)^8$ কে বিস্তৃত করি:
$\left(1 + \frac{x}{2}\right)^8 = 1 + \binom{8}{1}\left(\frac{x}{2}\right) + \cdots = 1 + 8 \cdot \frac{x}{2} + \cdots = 1 + 4x + \cdots$
এখন,
$(1 – x)\left(1 + \frac{x}{2}\right)^8 = (1 – x)(1 + 4x + \cdots)$
গুণ করলে $x$ সংবলিত পদগুলো পাওয়া যাবে:
$= 1 \cdot (4x) + (-x) \cdot 1 = 4x – x = 3x$
সুতরাং, $x$ এর সহগ $= 3$
উত্তর: গ) $3$
২. $(1 + 2x + x^2)^3$ এর বিস্তৃতিতে—
(i) পদসংখ্যা $7$
(ii) $2$য় পদ $6x$
(iii) শেষ পদ $x^6$
যাচাই:
রাশিটিকে সরল করলে পাই,
$(1 + 2x + x^2)^3 = \{(1 + x)^2\}^3 = (1 + x)^6$
- (i) পদসংখ্যা: দ্বিপদী বিস্তৃতি $(1 + x)^n$ এর পদসংখ্যা হয় $(n + 1)$ টি।
এখানে $n = 6$, তাই পদসংখ্যা $= 6 + 1 = 7$ টি। [উক্তি (i) সত্য] - (ii) $2$য় পদ:
$T_2 = \binom{6}{1} (1)^{6-1} (x)^1 = 6x$ [উক্তি (ii) সত্য] - (iii) শেষ পদ:
$T_7 = \binom{6}{6} x^6 = x^6$ [উক্তি (iii) সত্য]
উত্তর: ঘ) $i, ii \text{ ও } iii$
উদ্দীপক (৩ ও ৪ নং প্রশ্নের জন্য):
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^n$, যেখানে $n$ জোড় সংখ্যা।
৩. $(r + 1)$ তম পদটি $x$ বর্জিত হলে $r$ এর মান কত?
সমাধান:
সাধারণ পদ,
$T_{r+1} = \binom{n}{r} (x)^{n-r} \left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{n}{r} x^{n-r} \cdot x^{-r} = \binom{n}{r} x^{n-2r}$
যেহেতু পদটি $x$ বর্জিত (অর্থাৎ $x^0$), সুতরাং:
$n – 2r = 0 \implies 2r = n \implies r = \frac{n}{2}$
উত্তর: খ) $\frac{n}{2}$
৪. $n = 4$ হলে, চতুর্থ পদ কত?
সমাধান:
$n = 4$ হলে রাশিটি হয় $\left(x + \frac{1}{x}\right)^4$
চতুর্থ পদ ($T_4 = T_{3+1}$):
$T_4 = \binom{4}{3} (x)^{4-3} \left(\frac{1}{x}\right)^3$
$= 4 \cdot x^1 \cdot \frac{1}{x^3}$
$= 4 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^2}$
উত্তর: ঘ) $\frac{4}{x^2}$
সৃজনশীল প্রশ্ন (৫ ও ৬)
৫. $A = (1 + x)^7$ এবং $B = (1 – x)^8$
ক) প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে $A$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় করো।
সমাধান:
$A = (1 + x)^7$
$n = 7$ এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজের সহগসমূহ:
$1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$
প্যাসকেলের ত্রিভুজের সহগ ব্যবহার করে বিস্তৃতি:
$(1 + x)^7 = 1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7$
খ) $B$ এর বিস্তৃতির চার পদ পর্যন্ত নির্ণয় করে উক্ত ফলাফল ব্যবহার করে $(0.99)^8$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
সমাধান:
$B = (1 – x)^8$
প্রথম চার পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি:
$(1 – x)^8 = 1 + \binom{8}{1}(-x) + \binom{8}{2}(-x)^2 + \binom{8}{3}(-x)^3 + \cdots$
$= 1 – 8x + 28x^2 – 56x^3 + \cdots$ …….. (১)
এখন, $(1 – x)^8 = (0.99)^8$ ধরে,
$1 – x = 0.99 \implies x = 1 – 0.99 = 0.01$
(১) নং সমীকরণে $x = 0.01$ বসিয়ে পাই:
$(0.99)^8 \approx 1 – 8(0.01) + 28(0.01)^2 – 56(0.01)^3$
$= 1 – 0.08 + 28(0.0001) – 56(0.000001)$
$= 1 – 0.08 + 0.0028 – 0.000056$
$= 0.922744 \approx 0.9227$
উত্তর:$0.9227$ (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)
গ) $AB$ এর বিস্তৃতির $x^7$ এর সহগ নির্ণয় করো।
সমাধান:
$AB = (1 + x)^7 (1 – x)^8 = (1 + x)^7 (1 – x)^7 (1 – x)$
$= \{(1 + x)(1 – x)\}^7 (1 – x)$
$= (1 – x^2)^7 (1 – x)$
দ্বিপদী উপপাদ্য সাহায্যে $(1 – x^2)^7$ বিস্তৃত করি:
$(1 – x^2)^7 = \binom{7}{0} – \binom{7}{1}x^2 + \binom{7}{2}x^4 – \binom{7}{3}x^6 + \binom{7}{4}x^8 – \cdots$
$= 1 – 7x^2 + 21x^4 – 35x^6 + 35x^8 – \cdots$
অতএব,
$AB = (1 – 7x^2 + 21x^4 – 35x^6 + 35x^8 – \cdots)(1 – x)$
গুণফল থেকে $x^7$ সংবলিত পদগুলো হিসাব করলে দাঁড়ায়:
$= (-35x^6) \cdot (-x) + (35x^8) \cdot 0 = 35x^7$
সুতরাং, $x^7$ এর সহগ $= 35$
উত্তর:$35$
৬. $A = \left(2x^2 – \frac{1}{2x^3}\right)^{10}$ এবং $B = \left(3k – \frac{2x}{3}\right)^5$
ক) $A$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
$A = \left(2x^2 – \frac{1}{2x^3}\right)^{10}$
এখানে $n = 10$ (জোড় সংখ্যা)। পদসংখ্যা $10 + 1 = 11$ টি।
মধ্যপদ হবে $\left(\frac{10}{2} + 1\right) = 6$ তম পদ।
$6$ তম পদ ($T_6 = T_{5+1}$):
$T_6 = \binom{10}{5} (2x^2)^{10-5} \left(-\frac{1}{2x^3}\right)^5$
$= 252 \cdot (2x^2)^5 \cdot \left(-\frac{1}{32x^{15}}\right)$
$= 252 \cdot 32x^{10} \cdot \left(-\frac{1}{32x^{15}}\right)$
$= -252 \cdot \frac{x^{10}}{x^{15}} = -\frac{252}{x^5}$
উত্তর:$-\frac{252}{x^5}$
খ) $A$ এর বিস্তৃতিতে $x$ মুক্ত পদের মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} \left(-\frac{1}{2x^3}\right)^r$
$= \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r} (-1)^r 2^{-r} x^{-3r}$
$= \binom{10}{r} (-1)^r 2^{10-2r} x^{20-5r}$
$x$ মুক্ত পদের জন্য:
$20 – 5r = 0 \implies 5r = 20 \implies r = 4$
অতএব, $x$ মুক্ত পদটি হলো $(4+1) = 5$ তম পদ।
পদের মান $= \binom{10}{4} (-1)^4 2^{10-2(4)} = 210 \times 1 \times 2^2 = 210 \times 4 = 840$
উত্তর:$840$
গ) $B$ এর বিস্তৃতিতে $k^3$ এর সহগ $30$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
$B = \left(3k – \frac{2x}{3}\right)^5$
সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{5}{r} (3k)^{5-r} \left(-\frac{2x}{3}\right)^r$
$k^3$ পদটি পাওয়ার জন্য $(3k)^{5-r}$ থেকে $5 – r = 3 \implies r = 2$
$r = 2$ হলে পদটি হয়:
$T_3 = \binom{5}{2} (3k)^3 \left(-\frac{2x}{3}\right)^2$
$= 10 \cdot 27k^3 \cdot \frac{4x^2}{9}$
$= 120 x^2 k^3$
$k^3$ এর সহগ $= 120 x^2$
প্রশ্নমতে,
$120 x^2 = 30$
$\implies x^2 = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}$
$\implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$
উত্তর:$x = \pm \frac{1}{2}$
৭. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন:
ক) প্যাসক্যাল এর ত্রিভুজ বিধির সাহায্যে $(1 – 2x^2)^5$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় করো।
সমাধান:
$n = 5$ এর জন্য সহগসমূহ: $1, 5, 10, 10, 5, 1$
$(1 – 2x^2)^5 = 1(1) + 5(1)(-2x^2) + 10(1)(-2x^2)^2 + 10(1)(-2x^2)^3 + 5(1)(-2x^2)^4 + 1(-2x^2)^5$
$= 1 – 10x^2 + 10(4x^4) – 10(8x^6) + 5(16x^8) – 32x^{10}$
$= 1 – 10x^2 + 40x^4 – 80x^6 + 80x^8 – 32x^{10}$
খ) $\left(1 + \frac{x}{2}\right)^8$ এর বিস্তৃতির $x^3$ এর সহগ নির্ণয় করো।
সমাধান:
$x^3$ সংবলিত পদ $T_4 = \binom{8}{3} (1)^{8-3} \left(\frac{x}{2}\right)^3 = 56 \times \frac{x^3}{8} = 7x^3$
সহগ $= 7$
উত্তর:$7$
গ) $\left(2k – \frac{x}{2}\right)^5$ এর বিস্তৃতিতে $k^3$ এর সহগ $720$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
$k^3$ পদটি পাওয়ার জন্য $(2k)^{5-r} \implies 5 – r = 3 \implies r = 2$
পদটি $T_3 = \binom{5}{2} (2k)^3 \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = 10 \cdot 8k^3 \cdot \frac{x^2}{4} = 20x^2 k^3$
$k^3$ এর সহগ $= 20x^2$
প্রশ্নমতে,
$20x^2 = 720 \implies x^2 = 36 \implies x = \pm 6$
উত্তর:$x = \pm 6$
ঘ) $\binom{n}{5} = \binom{n}{7}$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ হলে $x = y$ অথবা $n = x + y$
এখানে $5 \neq 7$, সুতরাং:
$n = 5 + 7 = 12$
উত্তর:$n = 12$